Transcript Dilute Systems with the Density Matrix - ETH E

DISS. ETH NO. 23750
Dilute Systems with the
Density Matrix Renormalization Group:
From Continuum to Lattice Models
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
MICHELE FRANCESCO DOLFI
MSc. in Physics ETH Zurich
born on 03.04.1987
citizen of
Bedigliora (TI)
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Matthias Troyer, examiner
Prof. Dr. Thierry Giamarchi, co-examiner
2016
Abstract
Strongly interacting and correlated systems are currently a central topic in quantum many-body physics, since many interesting exotic phenomena have been observed by the condensed matter and the cold atomic gases communities, like e.g.
superconductive and Mott-insulating phases, which manifest themselves only in
the presence of many interacting particles.
In low dimensional systems the method of choice is the density matrix renormalization group (DMRG) algorithms. It enables the computation of static and
dynamic properties of strongly correlated systems with an accuracy which can be
systematically controlled by the number of states kept in the DMRG scheme.
In this thesis we address some of the strongly correlated systems that have
proven to be problematic for the DMRG method. On one hand our interest is
to enable simulations with a huge number of states needed to perform accurate
two-dimensional calculations, where the computational complexity is expected to
grow exponentially with the width of the system. On the other hand we address a
particular class of problems, i.e. dilute systems where a small number of particles
(or holes in a doped fermionic or bosonic system) are delocalized over a large
number of sites, for which the DMRG optimization becomes inefficient or retains
a strong dependence on the initial state.
For the first topic we implement an efficient massively-parallel DMRG application which allows to tackle more than 20’000 DMRG states on modern super
computers using both distributed and shared memory architectures. For the second
issue we develop a new multigrid DMRG (MG-DMRG) algorithm, which speeds up
convergence, and overcomes local minima by coarse graining. With the multigrid
scheme long-range properties, such as pair correlations and density fluctuations,
will converge faster and more reliably.
Using our state-of-the-art code we settle the long-standing question of whether
weakly hole-doped Hubbard ladders are dominated by superconducting or chargedensity-wave correlations. Performing careful extrapolations of the results, we
obtain improved estimates for the Luttinger liquid parameter and the correlation
functions at long distances. Our results confirm that, as suggested by analytical
considerations, superconducting correlations become dominant in the limit of very
iii
small doping.
The new MG-DMRG algorithm is used to simulate the loading of a quantum
gas into a one-dimensional optical lattice, we analyze the scaling of the defects that
introduce excess heat for several loading profiles and speeds both for homogeneous
lattices and physically confined systems. We find that the redistribution of atomic
density inside a global confining potential is by far the dominant source of heating.
Based on these results we propose to adjust the trapping potential during loading
to minimize changes to the density distribution. Our estimates report an increase
of at least an order of magnitude in the final fidelity.
iv
Riassunto
Attualmente uno degli argomenti centrali della fisica quantistica a molti corpi è
rappresentato dai sistemi con forti interazioni e correlazioni, poiché molti fenomeni
interessanti sono stati osservati nello studio dei sistemi correlati e negli esperimenti
di atomi ultra freddi. Per esempio fasi non convenzionali della materia, come
i superconduttori e gli isolatori di Mott, si manifestano solo con la presenza di
molte particelle interagenti.
Nei sistemi a dimensione bassa il metodo di riferimento è l’algoritmo di “density
matrix renormalization group” (DMRG, gruppo di rinormalizzazione della matrice
di densità). Questo metodo permette di calcolare le proprietà statiche e dinamiche dei sistemi fortemente correlati con una precisione che può essere controllata
sistematicamente dal numero di stati considerati da DMRG.
In questa tesi ci dedichiamo ad alcuni sistemi fortemente correlati che si sono
dimostrati problematici per il metodo DMRG. Da un lato ci interessa permettere la simulazione di un ingente quantità di stati, che sono necessari per ottenere
risultati precisi in sistemi a due dimensioni. In queste circostanze la complessità
computazionale cresce in modo esponenziale con la larghezza del sistema. Dall’altro lato ci dedichiamo a una classe di problemi particolari, cioè i sistemi diluiti
in cui un piccolo numero di particelle (o di buche nel caso di sistemi dopati con
fermioni o bosoni) deve delocalizzarsi su di un gran numero di siti. Per questi problemi l’algoritmo di ottimizzazione DMRG risulta essere inefficiente o serba una
forte dipendenza dallo stato iniziale.
Per quanto riguarda il primo argomento abbiamo implementato un’applicazione
DMRG parallelizzata in modo massiccio per usufruire dei moderni super computer
ad architettura condivisa e distribuita. Questo ci permette di raggiungere più di
20’000 stati di DMRG. Per il secondo argomento abbiamo sviluppato un nuovo
algoritmo “multigrid” per DMRG (MG-DMRG), che è basato su un principio di
mappatura su griglie più grossolane, grazie al quale si velocizza la convergenza e si
possono evitare i minimi locali. Le proprietà a lungo raggio come le correlazioni di
coppie di particelle e le fluttuazioni di densità convergono quindi più rapidamente
e in modo più affidabile.
Utilizzando il nostro codice all’avanguardia abbiamo risolto un problema di
v
vecchia data riguardante una scala di Hubbard leggermente dopata. Ovvero se lo
stato fondamentale di questo modello è dominato da fenomeni di superconduttività
o da perturbazioni della densità di carica. Effettuando accurate estrapolazioni
dei nostri dati, otteniamo un miglior valore del parametro di Luttinger e delle
migliori correlazioni a lungo raggio. Questi risultati ci permettono di confermare
la predizione suggerita da calcoli analitici, ossia che le correlazioni rilevanti per la
superconduttività diventano dominanti nel limite di un doping molto piccolo.
Il nuovo algoritmo MG-DMRG ci permette di simulare l’accensione del reticolo
ottico nei gas quantistici ultra freddi. Analizziamo la dipendenza dei difetti non
adiabatici (responsabili per il calore in eccesso) in relazione al tipo di profilo utilizzato per l’accensione e alla velocità di tale meccanismo per sistemi sia con un
reticolo omogeneo sia confinati fisicamente. Dai nostri risultati scaturisce che la
ridistribuzione delle densità di particelle atomiche all’interno di un confinamento
fisico è una delle principali cause di calore in eccesso. Basandoci su questi dati
proponiamo di aggiustare la frequenza del potenziale di confinamento durante l’accensione, in modo da ridurre le variazioni della distribuzione di densità. La nostra
valutazione è che questo aumenti l’accuratezza rispetto allo stato finale di almeno
un ordine di grandezza.
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