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Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n° 9 Il modello di regressione lineare 1. Introduzione ai modelli di regressione – Case Study 2. Obiettivi 3. Le ipotesi del modello 4. La stima del modello 5. La valutazione del modello 6. Commenti Case Study – Club del Libro La classificazione dei clienti/prospect in termini predittivi Il problema di analisi anzianità CAT 1 CAT n L’obiettivo dell’analisi Prevedere la redditivita’ del socio fin dalle prime evidenze L’impostazione del problema Redditività = ricavi - costi redditività var. continua classi di redditività ( < 0 ; >= 0) I dati di input Y: Redditività consolidata X: # ordini pagato ordini pagato rateale mensile sesso (dicotomica) area (dicotomiche) # liste Predisposizione Banca Dati Costruzione Var. Obiettivo Il Analisi Preliminari percorso di analisi Stima del Modello Validazione Implementazione Analisi preliminari lo studio della distribuzione lo studio della concentrazione la struttura di correlazione L’impostazione del problema Redditività var. continua Regressione Lineare Redditività var. dicotomica Regressione Logistica Il modello di regressione lineare 1. Introduzione ai modelli di regressione – Case Study 2. Obiettivi 3. Le ipotesi del modello 4. La stima del modello 5. La valutazione del modello 6. Commenti I modelli di regressione Modelli di dipendenza per la rappresentazione di relazioni non simmetriche tra le variabili • Y “variabile dipendente” (variabile target da spiegare) • X1,…,Xp “variabili indipendenti” (variabili esplicative o regressori) Il modello di regressione lineare Si vuole descrivere la relazione tra Y e X1,…,Xp con una funzione lineare • se p=1 osservazioni in uno spazio a due dimensioni (i=1,…,n) Yi f ( Xi1) • se p>1 osservazioni in uno spazio a p+1 dimensioni (i=1,…,n) Yi g ( Xi1,..., Xip) Il modello di regressione lineare • se p=1 spazio a due dimensioni retta di regressione lineare semplice Y X Il modello di regressione lineare Y • se p>1 spazio a p+1 dimensioni “retta” di regressione lineare multipla X1 Il modello di regressione lineare Obiettivi • Esplicativo - Stimare l’influenza dei regressori sulla variabile target. • Predittivo - Stimare il valore non osservato della variabile target in corrispondenza di valori osservati dei regressori. • Comparativo - Confrontare la capacità di più regressori, o di più set di regressori, di influenzare il target (= confronto tra modelli di regressione lineare diversi). Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Y y1 y2 y3 … … … yn (nx1) X1 x 11 x 21 x 31 … … … x n1 X2 x 12 x 22 x 32 … … … x n2 X3 x 13 x 23 x 33 … … … x n3 … … … … … … … … (nxp) … … … … … … … … … … … … … … … … Xp x 1p x 2p x 3p … … … x np • n unità statistiche • vettore colonna (nx1) di n misurazioni su una variabile continua (Y) • matrice (nxp) di n misurazioni su p variabili quantitative (X1,…,Xp) • la singola osservazione è il vettore riga (yi,xi1,xi2,xi3,…,xip) i=1,…,n Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Equazione di regressione lineare multipla Yi 0 1 Xi1 2 Xi 2 ... pXip i i-esima oss. su Y intercetta i-esima oss. su X1 errore relativo all’i-esima oss. coefficiente di X1 La matrice X=[1,X1,…,Xp] è detta matrice del disegno. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello L’errore presente nel modello si ipotizza essere di natura casuale. Può essere determinato da: • • • • variabili non considerate problemi di misurazione modello inadeguato effetti puramente casuali Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello 1. Errori a media nulla 2. Errori con varianza costante (omoschedasticità) 3. Errori non correlati (per ogni i≠j) 4. Errori con distribuzione Normale * 1 – 3 hp deboli 1 – 4 hp forti E ( ) 0 Cov( ) 2 In Cov(i, j ) 0 ~ N (0, In) Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello Da un punto di vista statistico • Y è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria hp sulla distribuzione • X è una matrice costante con valore noto no hp sulla distribuzione • beta è un vettore costante non noto • l’errore è un vettore aleatorio di cui si osserva una specifica realizzazione campionaria hp sulla distribuzione Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello • in media Y può essere rappresentata come funzione lineare delle sole (X1,…,Xp) E (Y ) X • ogni osservazione di Y è uguale ad una combinazione lineare dei regressori con pesi=coefficienti beta + un termine di errore Y X Il modello di regressione lineare La stima del modello Si vuole trovare la retta lineare migliore data la nuvola di punti Y X Il modello di regressione lineare La stima del modello Equazione teorica coefficienti non noti Y 0 1 X 1 2 X 2 ... pXp Equazione stimata coefficienti stimati (una delle infinite rette possibili) Y bo b1 X 1 b 2 X 2 ... bpXp ˆ stime dei coefficienti Y Yˆ ˆ previsione errore di previsione Il modello di regressione lineare La stima del modello Stimando la retta di regressione si commette un errore di previsione: Metodo dei Minimi Quadrati Y VALORE OSS. Yi ERRORE Yi VALORE STIMATO X Il modello di regressione lineare La stima del modello Obiettivo trovare la miglior approssimazione lineare della relazione tra Y e X1,…,Xp (trovare le stime dei parametri beta che identificano la “migliore” retta di regressione) Metodo dei minimi quadrati lo stimatore LS è la soluzione al problema n min y i 1 i 2 X i min ' Il modello di regressione lineare La stima del modello Lo stimatore dei Minimi Quadrati: LS • è funzione di Y e X • ha media • ha varianza 1 ˆ LS X ' X X ' Y E(ˆLS ) Var ( ˆ LS ) ( X ' X ) 1 Il modello di regressione lineare La stima del modello Proprietà dello stimatore LS • non distorto • consistente (se valgono certe hp su X’X) • coincide con lo stimatore di max verosimiglianza sotto hp forti BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Il modello di regressione lineare La stima del modello Scomposizione della varianza SST=SSE+SSM • total sum of squares variabilità di Y 2 SST Yi Y n i 1 • error sum of squares variabilità dei residui n i 1 • model sum of squares variabilità spiegata SSE Yi Yˆi n SSM i 1 Yˆi Y 2 2 Il modello di regressione lineare La stima del modello Indicatori sintetici di bontà del Modello • R-quadro OK valori alti SSM R SST 2 • R-quadro adjusted OK valori alti • Test F OK p-value con valori bassi AdjR2 1 (1 R 2 ) n 1 n p 1 Il modello di regressione lineare La stima del modello R-quadro= SSM/SST misura la % di variabilità di Y spiegata dal modello = capacità esplicativa del modello misura la variabilità delle osservazioni intorno alla retta di regressione. SSM=0 (R-quadro=0) il modello non spiega SSM=SST (R-quadro=1) OK • R-quadro adjusted= [1-(1-SSM/SST)]/(n-1)(n-p-1) come R-quadro ma indipendente dal numero di regressori combina adattabilità e parsimonia Il modello di regressione lineare La stima del modello Test F per valutare la significatività congiunta dei coefficienti • ipotesi nulla • statistica test H 0 : ... p 0 F SSM / p ~ F ( p, n p 1) SSE / n p 1 • valutazione se p-value piccolo (rifiuto l’hp di coefficienti tutti nulli) il modello ha buona capacità esplicativa Il modello di regressione lineare La stima del modello Indicatori di bontà del Modello Y Y X R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo Y X R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo X R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo Il modello di regressione lineare La stima del modello Test t per valutare la significatività dei singoli coefficienti H0 : j 0 • ipotesi nulla (j=1,…,p) • statistica test t j c jj 2 ~ t n p 1 il coefficiente è significativo (significativamente diverso da 0) se il corrispondente pvalue è piccolo (ossia, rifiuto l’ipotesi di coefficiente nullo) il regressore a cui il coefficiente è associato è rilevante per la spiegazione del fenomeno • valutazione