Transcript elettrostatica 7

Fisica 2
Elettrostatica
7a lezione
Programma della lezione
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Capacità elettrica
Condensatore piano
Condensatore cilindrico
Costante dielettrica
Cariche indotte nel dielettrico
Energia elettrostatica
Composizione di capacità
Capacità elettrica
• E’ il rapporto tra la carica presente su un
conduttore e la sua differenza di potenziale
Q
C
V
• Ha le dimensioni di carica diviso ddp
Q
C  
V 
• La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il
farad
C
F
V
Condensatore piano
• Data una carica Q, per
trovare C si determina
preventivamente il campo
E e da questo si trova il
potenziale V
• Per il condensatore piano
si usa anche il principio di
sovrapposizione per i
campi generati dalla
carica +Q sul primo piatto
e –Q sul secondo
• Poiché le densità di
carica sui due piatti sono
uguali in modulo,
otteniamo infine
Etot  E  E 
 


2 0 2 0

Etot 
0
Condensatore piano
• Cioè il campo E è costante tra le due piastre
• La ddp tra i due piatti è
 

 


Q
V    E  dl   Edl   dl  d 
d

0
A 0


 0
• E la capacità è
Q A 0
C 
V
d
Condensatore cilindrico
• Applichiamo la legge di Gauss ad una
superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L,
coassiale al conduttore interno
L
Qint
E (r )2rL 
 E | S  
0
0
• Da cui ricaviamo il campo
 1
E (r ) 
20 r
Condensatore cilindrico
• La ddp è


  
 1
Q
r
V    E  dl   Edr  
dr 
ln
20 r
20 L r



• E la capacità è
20 L
C
r
ln
r
Campo elettrico nella materia
• Se i conduttori non sono nel
vuoto, ma immersi in un
dielettrico, l’unico cambiamento
macroscopico nel campo è una
diminuzione di intensità per una
costante r (maggiore di 1) che
dipende dalla natura del
dielettrico
• Ne segue che anche la ddp
diminuisce dello stesso fattore
• Mentre la capacità aumenta
dello stesso fattore
E
Evuoto
V
Vvuoto
r
r
C  C0 r
Campo elettrico nella materia
• La carica libera sulle piastre del
condensatore polarizza il
dielettrico, che si carica
superficialmente con cariche
legate
• La carica libera produce il
campo
• La carica legata produce il
campo
• Il campo del dielettrico
diminuisce il campo delle
piastre del condensatore
• Si ottiene così il campo
risultante
 libera
 legata
E0   libera  0
Elegata   legata  0
Etot  E0  Elegata
Campo elettrico nella materia
• Poiché sappiamo che il
campo totale vale
• Possiamo trovare il campo
dovuto alla carica legata
• Dato che campo e densità
superficiali sono
proporzionali, otteniamo
anche
Etot 
E0
r
 r 1
Elegata 
E0
r
 r 1
 legata 
 libera
r
Costante dielettrica
• r prende il nome di costante dielettrica
relativa, è adimensionale
• Il prodotto  =0 r prende il nome di
costante dielettrica del materiale
Energia elettrostatica
• Data una distribuzione di carica q che genera
un potenziale V, un aumento di carica dq
comporta un aumento di energia potenziale
elettrica dU pari a
q
dU e  Vdq 
C
dq
• L’energia totale accumulata partendo da carica
iniziale nulla a carica finale Q è
Q
q
1 Q2
U e   dq 
C
2 C
0
Energia elettrostatica
• Nel processo di carica di un condensatore,
viene generato un campo E tra le armature
• Il lavoro speso per caricare il condensatore
può considerarsi come il lavoro necessario per
generare il campo E
• Condensatore piano di area A, distanza d e
con dielettrico
E  Q A
V  Ed
• Sostituendo nell’espressione dell’energia
elettrica
1
1
1 2
U e  QV  AE Ed   E Ad
2
2
2
Energia elettrostatica
• La quantità Ad è il volume compreso tra le
piastre
• Definiamo la densità di energia elettrostatica
dividendo l’energia per il volume
ue 
Ue 1 2
 E
Ad 2
• Relazione di validità generale
Composizione di capacità
• Composizione in parallelo. 1 e 2
hanno la stessa caduta di
potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la
carica Q1 e su 2 la carica Q2
• Vogliamo trovare un singolo
condensatore di capacità C che a
parità di ddp V accumuli la stessa
carica totale Q=Q1+Q2
• La capacità del condensatore
equivalente è quindi la somma
delle capacità dei condensatori 1 e
2
Q  CV
Q1  Q2  C1V  C2V
C  C1  C2
Composizione di capacità
• Composizione in serie. La ddp ai capi di 1
è V1 e ai capi di 2 è V2. Su 1 si accumula
la carica Q1 e su 2 la carica Q2
• Poiché tra i due condensatori la carica
inizialmente è nulla, per la conservazione
della carica avremo che Q1 è uguale a Q2
Q
• Vogliamo trovare un singolo condensatore
V
di capacità C che su una ddp pari alla
C
somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la
Q Q
V1  V2 

stessa carica Q
C1
• L’inverso della capacità del condensatore
equivalente è quindi la somma degli inversi
delle capacità dei condensatori 1 e 2
1
1
1


C C1 C2
C2