Transcript esonero di fisica ii - Dipartimento di Chimica

CORSO DI LAUREA IN CHIMICA - ESONERO DI FISICA II, Canale A-L
Prof. Decker – Compito d’esonero del 17/11/2014
PROBLEMA 1
Nel punto A (-a/2; -a/2) è posta la carica q. Si prendano altre due cariche, di valore q e -2q, da
collocare nei vertici del quadrato di lato a mostrato in Figura, per esempio nel punto B (-a/2; +a/2)
e nel punto C (+a/2; +a/2). Quale deve essere la disposizione delle tre cariche, affinché l’energia
elettrostatica del sistema di cariche sia minima? Qual è il valore di tale energia?
I)
In tale configurazione di energia minima, calcolare il momento di dipolo elettrico del
sistema;
Indicare gli eventuali punti a potenziale elettrico zero nel piano xy del sistema di cariche;
Calcolare il potenziale nel punto P(2.5a; 0) sull’asse x, sia in modo esatto sia usando
l’approssimazione di dipolo.
II)
III)
PROBLEMA 2
I due condensatori piani C1= 2 nF e C2= 1 nF (nei quali la distanza tra le placche è 0.44 mm, e 0.88
mm, rispettivamente) sono posti in serie. Un polo di tale serie (A) è mantenuto a +200 V, mentre
l’altro polo (C) è mantenuto a -100 V (cioè, 100 V negativi).
Calcolare la carica e la differenza di potenziale su ogni condensatore. Calcolare anche il campo
elettrico presente all’interno degli stessi.
Successivamente, e mantenendo costante il potenziale dei due poli suddetti, si procede a una o
all’altra delle due seguenti alterazioni del sistema:
Si inserisce una lastra di dielettrico con r =4 a riempire integralmente lo spazio tra le
armature di C2.
Senza inserire alcun dielettrico nei condensatori, si mette a terra il punto di connessione
(B) dei due condensatori.
I)
II)
Ricalcolare, per ognuno dei due casi I e II, la carica e la differenza di potenziale su ogni
condensatore. Per il caso I, calcolare anche i campi E e P nel solo condensatore che è stato riempito
con il dielettrico.
Y
B
C1
P
A
C2
C
x
A
B
C
Soluzioni del compito d’esonero del 17/11/2014
PROBLEMA 1
Il sistema con le due cariche +q in A e C, e con la carica -2q in B, è quello con la minore energia
elettrostatica. Infatti:
Ue.s. = -2q2/a -2q2/a +q2/(a2) = (q2/2a)*( 2 - 8) = - 6.6*(q2/2a).
Invece Ue.s.’ (nel caso di +q in A e B, e -2q in C) sarebbe = -2q2/a -2q2/(a2) +q2/a =
= (q2/2a)*( -2-22) = - 4.8*(q2/2a); cioè maggiore (= meno negativa) della precedente.
I)
II)
III)
Il momento di dipolo del sistema si ottiene facilmente rispetto al punto B con l’espressione
p =  qidi = qa (i - j); che è un vettore di modulo q (a2), cioè è q volte la diagonale del
quadrato che si traccia da B ed è inclinata di -45° rispetto all’asse x. Vedi Figura.
Il centro del quadrato (l’origine O) è a potenziale zero, essendo equidistante da due cariche
q positive, e da una carica -2q (negativa). Inoltre, tutti i punti che soddisfano x=y e a
distanza r>>(a2) sono a potenziale nullo, in quanto sulla retta mediana del momento del
dipolo elettrico.
Il potenziale esatto si calcola prendendo le distanze esatte tra P e i punti A, B e C ( vedi
segmenti tratteggiati in Figura, pari a CP e a AP=BP). Si trova quindi, usando il teorema di
Pitagora, il valore V(P)
V(P) = k(q/a) (0.485+0.329-0.658) = 0.156 * k(q/a) Usando la formula V’(P)=k (pi/OP2)
(chiamato potenziale di dipolo) si otterrebbe invece
V’(P) = k q (a2)*cos 45°/(2.5 a)2 = 0.16 * k(q/a) che è di poco maggiore del valore
esatto calcolato sopra (circa 3%).
Y
B
a/2
C
p
a/2
O
P
x
45°
A
C1
PROBLEMA 2
A
Si veda il disegno a lato dove C1=2C2 e
dove Ceq = (1 + ½)-1 C2= 0.66 nF (sono condensatori in serie).
C2
B
C
Si calcola così prima la carica sul sistema, pari a Q = Ceq V= 2*10-7 C. Ora si deduce la tensione di
ogni condensatore, V1 = Q/C1 (pari a100 V) e V2 = Q/C2 (pari a 200 V), con il punto B che si trova
quindi a 100 V. Il campo elettrico sarà quindi E1 = V1/d1 (2.27*105 V/m) e E2 = V2/d2 (2.27*105
V/m), cioè il campo elettrico è lo stesso nei due condensatori (uniforme, e orientato da sinistra verso
destra).
Se si inserisce una lastra di dielettrico con r =4 a riempire integralmente lo spazio tra le
armature di C2, questo condensatore quadruplica la sua capacità C2’= 4 C2. Ripeto lo
stesso ragionamento di prima, ma con C2’= 2C1, e calcolo Ceq’ = (1/4 + ½)-1 C2= 1.33 nF.
Ora sarà Q’= 4*10-7 C; V1’ = 200 V e V2’ = 100 V. Di conseguenza il punto B ora si
trova a 0 V. Ovviamente E1’ = 200/0.44*10-3 (V/m) = 4.55*105 V/m, e E2’ = 1.14*105
V/m. Di conseguenza P=0 E = 3*10-6 C/m2, con entrambi i vettori uniformi e orientati
verso destra.
Se invece si mette a terra il punto di connessione (B), senza inserire alcun dielettrico nei
condensatori, i due condensatori vanno trattati separatamente, ognuno avendo la sua
propria tensione Vi” (adesso nota, 200 V per i=1 e 100 V per i=2) e la propria carica Qi”.
Q1” =200*2*10-9 C = 4*10-7 C. Invece Q2” =100*1*10-9 C = 10-7 C. A differenza del
caso I), ogni condensatore ha la sua carica, il primo il quadruplo del secondo. Il campo
elettrico non è richiesto, ma si ricaverebbe per ogni condensatore come sopra. Il punto B
è a terra, che è una fonte infinita di cariche. Le armature dei condensatori collegate con
B possono quindi (solo in questo caso) avere una carica complessiva non nulla, non
essendo più un sistema isolato il conduttore a contatto con B.
I)
II)
DIAGRAMMI DI POTENZIALE – DISTANZA
Il caso II) presenta un diagramma identico a quello di C2’ con dielettrico (sotto a destra)
Condensatore C2’ con dielettrico
Condensatori a vuoto
A (200 V)
C1
C2
A (200 V)
C1
C2’
B (100V)
B (0V)
(-100 V)
C
(-100 V)
C