Transcript Magnetic Field II

‫שדות מגנטיים של זרמים‬
‫משלוח ספינות חלל מכדור הארץ לחלל נעשה ע"י רקטות‪ .‬אבל‬
‫כאשר נתחיל לייבא מינרלים מהחלל לארץ‪ ,‬לא יהיה לרשותנו דלק‬
‫לשליחת ספינות חלל קונבנציונאליות‪ .‬אנו זקוקים למקור האצה‬
‫אחר‪ .‬תותח מסילות אלקטרומגנטי יכול להאיץ קלע ממנוחה‬
‫למהירות של ‪ 36000‬קילומטר לשנייה במשך מילישנייה!‬
‫כיצד ניתן להשיג האצה כזאת?‬
‫חישוב שדה מגנטי של זרם‬
‫כדי ליצור שדה מגנטי יש צורך‬
‫במטענים נעים ז‪.‬א‪ .‬זרם‪ .‬נתון תיל‬
‫בעל צורה כלשהי הנושא זרם ‪ ,i‬ואנו‬
‫רוצים לחשב את השדה המגנטי ‪B‬‬
‫בנקודה קרובה ‪.P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i‬‬
‫בגלל צורת התיל מחלקים אותו‬
‫לאלמנטים דיפרנציאליים ‪ ds‬שאורכם‬
‫‪ ds‬וכיוונם ככיוון הזרם‪ .‬מגדירים‬
‫אלמנט אורך – זרם ‪ .ids‬בדומה‬
‫להתחלקות של מטען חשמלי‪ ,‬מחשבים‬
‫את השדה המגנטי ‪ dB‬של אלמנט‬
‫האורך ‪ -‬זרם בנקודה ‪ P‬ומסכמים את‬
‫התרומות של כל האלמנטים‪.‬‬
‫הסיכום של אלמנטי האורך ‪ -‬זרם הוא יותר בעייתי מסכום של‬
‫אלמנטי מטען חשמלי כי אלמנטי האורך ‪ -‬זרם הם וקטורים‪.‬‬
‫גודלו של השדה המגנטי‬
‫בנקודה ‪ P‬של אלמנט האורך –‬
‫זרם יהיה‬
‫‪ 0 i ds sin ‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r2‬‬
‫השדה המגנטי הוא וקטור‬
‫והוא ניתן ע"י חוק ביו‪-‬סבר‬
‫‪0 id s  r‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪4 r 3‬‬
‫זהו חוק אמפירי והוא מראה תלות הופכית בריבוע המרחק‪ .‬החזקה‬
‫השלישית המכנה מופיעה בגלל הופעת ‪ r‬במונה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Tm A‬‬
‫‪ 0‬הוא קבוע שקרוי קבוע הפרמאביליות והוא‬
‫דומה ל – ‪ ,ε0‬כלומר הוא משנה את ערכו כאשר מחשבים שדה‬
‫מגנטי בחומר‪.‬‬
‫שדה של תיל ארוך נושא זרם‬
‫נתון תיל ארוך מאוד נושא זרם ‪ .i‬גודלו של השדה המגנטי ‪B‬‬
‫בנקודה ‪ P‬במרחק אנכי ‪ R‬מהתיל ניתן ע"י‬
‫‪ 0 i ds sin ‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r‬‬
‫כיוונו של ‪ dB‬הוא של הוקטור ‪ds x r‬‬
‫והוא לתוך המסך‪.‬‬
‫כל אלמנטי האורך – זרם תורמים ‪dB‬‬
‫באותו כיוון‪ .‬לכן ניתן לחשב רק את גודלו‬
‫של השדה המגנטי שנוצר ע"י מחצית‬
‫התיל העליונה בעזרת אינטגרציה מ‪0-‬‬
‫עד ∞‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0i sin ‬‬
‫‪B  2 dB ‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 0 r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0i‬‬
‫‪ 0i‬‬
‫‪R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ds ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 32‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪2 0 (s  R‬‬
‫‪2R‬‬
‫השדה מגנטי של החצי ‪ 0i‬‬
‫‪B‬‬
‫התחתון או העליון הוא ‪4R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r  s R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin   sin(   ) ‬‬
‫השדה המגנטי‬
‫מתואר ע"י‬
‫קווים‬
‫קונצנטריים‬
‫כאשר המרווח‬
‫ביניהם הולך‬
‫וגדל (ערכו של‬
‫‪ B‬הולך וקטן‬
‫עם ההתרחקות‬
‫מהתיל)‪.‬‬
‫קווי כוח מגנטיים של נסורת‬
‫ברזל שפוזרה על דף קרטון‬
‫כאשר במרכז הדף עובר תיל‬
‫נושא זרם‪.‬‬
‫מציאת כיוונו של השדה‬
‫המגנטי‬
‫שדה מגנטי של קשת מעגלית נושאת זרם‪.‬‬
‫קשת מעגלית‪,‬‬
‫שרדיוסה ‪R‬‬
‫והיוצרת זווית‬
‫מרכזית ‪,‬‬
‫נושאת זרם ‪.i‬‬
‫הזווית בין ‪ds‬‬
‫ובין ‪ r‬היא בת‬
‫‪ 90‬מעלות‪.‬‬
‫השדה המגנטי במרכז אינו תלוי ב‪ r -‬כוקטור‬
‫כיוון שכל נקודה על הקשת מרוחקת ‪R‬‬
‫ממרכזה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 iRd   0i‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 0 R‬‬
‫‪4R‬‬
‫ואם הקשת היא מעגל שלם ‪=2π‬‬
‫‪ 0 ids‬‬
‫‪dB ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 R‬‬
‫‪ds  Rd ‬‬
‫‪ 0i‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2R‬‬
‫כיוון השדה המגנטי הוא החוצה‬
‫מהדף וניתן להמחשה ע"י כלל היד‬
‫הימנית‪.‬‬
‫אם האגודל מראה את כיוון הזרם‬
‫השדה יהיה בכיוון קיפול האצבעות‪.‬‬
‫אם קיפול האצבעות מראה את כיוון הזרם‪ ,‬האגודל מראה את כיוון‬
‫השדה‪.‬‬
‫כוח בין תילים מקבילים נושאי זרם‬
‫נתונים שני תילים מקבילים ‪ a‬ו‪b -‬‬
‫מרוחקים מרחק ‪ d‬אחד מהשני‬
‫ונושאים זרמים ‪ ia‬ו‪ ib -‬בהתאמה‪.‬‬
‫התיל הראשון יוצר שדה מגנטי בתיל השני‪ .‬וכיון שהוא נושא זרם‬
‫פועל עליו כוח‪.‬‬
‫השדה שיוצר תיל‬
‫‪ a‬בתיל ‪.b‬‬
‫כיוונו מאונך ל‪.b -‬‬
‫‪ 0i a‬‬
‫‪Ba ‬‬
‫‪2d‬‬
‫הכוח על חלק תיל‬
‫‪ b‬שאורכו ‪L‬‬
‫‪Fba  i b L  Ba‬‬
‫אם הזרמים זורמים באותו כיוון התילים ימשכו‪,‬‬
‫ובכיוונים הפוכים הם ידחו אחד את השני‪.‬‬
‫‪ 0 Li a i b‬‬
‫‪Fba ‬‬
‫‪2d‬‬
‫מכאן באה הגדרת האמפר‪ .‬זהו הזרם הזורם בשני תילים מקבילים‬
‫אינסופיים ומרוחקים מטר אחד מהשני ומפעילים כוח של ‪2 x 10 -7‬‬
‫ניוטון לכל מטר אורך‪.‬‬
‫תותח המסילות‬
‫תותח המסילות נבנה כדי להשיג‬
‫מהירויות גדולות‪ .‬הוא בנוי על‬
‫עקרון האצה בשדה מגנטי‪.‬‬
‫הוא בנוי משתי מסילות מוליכות‬
‫מקבילות שמקושרות ביניהן ע"י‬
‫מאיץ מוליך (נחושת) המאפשר‬
‫סגירת מעגל חשמלי‪ .‬הקלע נמצא בין המסילות‬
‫מאחורי המאיץ‪ .‬לאחר סגירת המעגל‪ ,‬המאיץ‬
‫מתאדה לגז מוליך שנדחף ע"י הכוח המגנטי‪.‬‬
‫הזרם במעגל יוצר שדה מגנטי‪ .‬השדה מפעיל‬
‫כוח על הזרם במאיץ וזה דוחף את הקלע‪.‬‬
‫ניתן להשיג האצה של ‪ 5x106g‬כלומר‪ ,‬להגיע‬
‫למהירות של ‪ 10‬ק"מ לשנייה תוך כדי‬
‫מילישנייה‪.‬‬
‫חוק אמפר‬
‫את השדה החשמלי של התחלקות מטען ניתן‬
‫לחשב בעזרת חוק קולון‪ .‬במקרים סימטריים‬
‫ניתן להשתמש בחוק גאוס‪ .‬את חוק קולון ניתן‬
‫לקבל מחוק גאוס‪ ,‬ואת חוק גאוס ניתן לקבל‬
‫מחוק קולון כאשר המשטח הגאוסי הוא כדורי‪,‬‬
‫ואז להראות שהשטף דרך משטח בעל צורה‬
‫כלשהי שווה לשטף דרך המשטח הכדורי‪.‬‬
‫בצורה דומה ניתן לחשב את השדה המגנטי של התפלגות של‬
‫זרמים בעזרת חוק ביו‪-‬סבר‪ .‬לעיתים יש צורך להשתמש במחשבים‬
‫לחישוב השדה‪ .‬אבל אם להתפלגות הזרמים יש סימטריה‪ ,‬חוק‬
‫אמפר מחליף את חוק ביו‪-‬סבר‪ .‬גם כאן ניתן לקבל את חוק אמפר‬
‫מחוק ביו‪-‬סבר ולהיפך‪.‬‬
‫חוק אמפר‬
‫‪ B  ds   i‬‬
‫‪0 enc‬‬
‫מתארים מסלול סגור הנקרא מסלול‬
‫אמפרי‪ .‬הסירקולציה של השדה‬
‫המגנטי שווה לזרם הנקי החותך את‬
‫המשטח המוגדר ע"י המסלול האמפרי‪ .‬זרמים מחוץ למשטח אינם‬
‫תורמים לאינטגרל‪.‬‬
‫מחלקים את המסלול לאלמנטים ‪ ,ds‬מכפילים מכפלה סקלרית עם‬
‫‪ B‬מקומי‪ ,‬ומסכמים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪enc‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ienc‬הוא סכום אלגברי של הזרמים‪ .‬הסכם‬
‫הסימנים ניתן בשרטוט‪i enc  i1  i 2 .‬‬
‫‪ i3‬נמצא מחוץ למסלול האמפרי‪.‬‬
‫שימושים‬
‫א‪ .‬שדה מחוץ לתיל אינסופי ארוך‬
‫תיל אינסופי ארוך נושא זרם ‪ .i‬הסימטריה‬
‫סביבו היא גלילית ולכן נבחר מסלול אמפרי‬
‫מעגלי שהתיל במרכזו‪.‬‬
‫השדה המגנטי לאורך המסלול האמפרי אינו משתנה בגודלו‪ ,‬רק‬
‫בכיוונו‪ .‬הוא חייב להיות בעל סימטריה גלילית כלומר מעגלים‬
‫קונצנטריים או קווים רדיאלים‪ .‬קווים רדיאלים הם קווים פתוחים‬
‫וקווי השדה המגנטי חייבים להיות סגורים‪ .‬ולכן נשארת רק‬
‫האפשרות הראשונה‪.‬‬
‫‪ B  d s  B cosds  B ds  B(2r)   0i enc‬‬
‫חשוב! לרדיוס התיל אין משמעות‪.‬‬
‫‪ 0i‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2r‬‬
‫ב‪ .‬שדה בתוך תיל אינסופי ארוך‬
‫את המסלול האמפרי מתארים כמו‬
‫קודם אבל בתוך התיל‪ .‬לא כל הזרם‬
‫שזורם בתיל זורם בתוך המסלול‬
‫‪2‬‬
‫האמפרי‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪i‬‬
‫‪R 2‬‬
‫‪  0i enc‬‬
‫‪i enc‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪ 0i‬‬
‫(‪B‬‬
‫‪)r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2R‬‬
‫ג‪ .‬שדה בגליל חלול‪,‬אינסופי ארוך‪ ,‬נושא זרם בעל צפיפות משתנה‬
‫בגליל חלול אינסופי‪ ,‬שרדיוס הפנימי ‪ a‬ורדיוסו‬
‫החיצוני ‪ b‬זורם זרם החוצה מהדף שצפיפותו‬
‫משתנית לפי ‪ .J = c r2‬מהו השדה המגנטי‬
‫בנקודה ‪ r‬כאשר ‪.a < r < b‬‬
‫הזרם בתוך המסלול האמפרי‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪  JdA   cr (2rdr )  c(r  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪B(2r )    0 c(r  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0c 4 4‬‬
‫‪B‬‬
‫) ‪(r  a‬‬
‫‪4r‬‬
‫‪i enc‬‬
‫שדה מגנטי של סילונית‬
‫נתונה סילונית ארוכה‬
‫מאוד‪.‬השדה המגנטי הוא סכום‬
‫וקטורי של השדות של‬
‫הלולאות‪.‬‬
‫‪ .1‬קרוב לכל כריכה‪ ,‬השדה קרוב לשדה של תיל ישר‪ ,‬והשדה קרוב‬
‫למעגלים קונצנטריים‪ .‬בין הכריכות השדות של כריכות סמוכות‬
‫נוטות לבטל אחד את השני‪.‬‬
‫‪ .2‬רחוק מהכריכה בתוך הסילונית ‪ B‬בקרוב מקביל לציר הסילונית‪.‬‬
‫בקירוב של סילונית אינסופית וצפופה מאוד השדה בתוך הסילונית‬
‫אחיד ומקביל לציר‪.‬‬
‫‪.3‬בנקודה ‪ P‬מעל הסילונית‪,‬הכריכות העליונות יוצרות שדה שמאלה‬
‫והתחתונות ימינה‪ .‬בקירוב אינסופי השדות מבטלים אחד את השני‪.‬‬
‫קווי שדה מגנטי של סילונית אמיתית‪.‬‬
‫צפיפות קווי השדה בתוך הסילונית הוא‬
‫גבוה ואילו בחוץ הצפיפות מאוד נמוכה‪.‬‬
‫נשתמש בחוק אמפר ונבנה מסלול‬
‫אמפרי ‪.abcda‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ B  ds   B  ds   B  ds  B  ds  B  ds‬‬
‫האיטגרל הראשון הוא ‪ .Bh‬האינטגרלים‬
‫השני והרביעי מתאפסים כיון ש‪ B-‬ו‪ds -‬‬
‫מאונכים זה לזה‪ .‬האינטגרל הרביעי הוא‬
‫מתאפס גם הוא כיון שניקח את הקטע ‪cd‬‬
‫רחוק מאוד והשדה עליו מתאפס‪.‬‬
‫אם מספר הכריכות‬
‫ליחידת אורך הוא ‪n‬‬
‫‪Bh  0inh‬‬
‫) ‪i enc  i(nh‬‬
‫‪B   0in‬‬
‫שדה מגנטי של טורואיד‬
‫טורואיד מתקבל כאשר מכופפים‬
‫סילונית בצורת כעך‪.‬‬
‫השדה המגנטי הוא רק בתוך הטורואיד‪,‬‬
‫והוא בעל צורה של מעגלים קונצנטריים‪.‬‬
‫לכן נבחר מעגל כמסלול אמפרי‪.‬‬
‫לפי חוק אמפר ‪B(2r )  0iN‬‬
‫כאשר ‪ N‬הוא מספר הכריכות‬
‫‪ 0iN 1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2 r‬‬
‫בניגוד לסילונית‪ ,‬השדה איננו קבוע‪ .‬השדה בחוץ ובתוך החלק‬
‫הפנימי מתאפס לפי חוק אמפר‪.‬‬
‫סליל נושא זרם כדיפול מגנטי‬
‫ראינו שסליל נושא זרם מתנהג כדיפול מגנטי והפיתול עליו בשדה‬
‫מגנטי ‪ B‬ניתן ע"י‬
‫‪   B‬‬
‫‪ .‬כאשר ‪.   NiA‬‬
‫נתונה כריכה נושאת זרם ‪ i‬שרדיוסה ‪ .R‬כדי‬
‫לחשב את השדה המגנטי בנקודה ‪,P‬‬
‫מחלקים את הכריכה לאלמנטים‪.‬‬
‫‪.‬האלמנט ‪ ds‬יוצר שדה מגנטי ‪ .dB‬הזווית בין‬
‫‪ ds‬ו‪ r-‬היא ˚‪ .90‬הרכיב האנכי ‪ dB‬מתבטל‬
‫ע"י אלמנט הנמצא בצד שני של הכריכה‪,‬‬
‫והשדה ניתן ע"י‬
‫‪B   dB cos ‬‬
r  R z
2
2
cos  
R
R z
2
 0 ids
dB 
2
4 r
 0iR
dB cos  
ds
2
2 32
4(R  z )
0iR
B( z ) 
ds
2
2 32 
4 ( R  z )
 0iR
B(z) 
2
2 32
2(R  z )
2
2
‫רחוק מהלולאה ‪z>>R‬‬
‫‪ πR2‬הוא שטח הלולאה‪.‬‬
‫ואם נתונים ‪ N‬ליפופים‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0iR‬‬
‫‪B(z) ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2z‬‬
‫‪ 0 NiA‬‬
‫‪B(z ) ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 z‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪B(z) ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 z‬‬
‫בהשוואה ל‪-‬‬
‫‪1 p‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3‬‬
‫‪20 z‬‬
‫הצגה דיפרנציאלית של חוק אמפר‬
dA
J
J
J
J
ds
J
J


J

d
A
B

d
s


i
0
0
enc


A
A
dA
A
ds
C
‫לפי חוק סטוקס‬
F

d
s



F

d
A


C
A
   B  dA    J  dA
A
  B  0 J
0
A
‫חוק אמפר בצורה‬
‫דיפרנציאלית‬
‫סיכום ביניים‬
‫ארבעת המשוואות היסודיות של שדות חשמליים ומגנטיים סטטיים‬
‫‪B  0‬‬
‫‪  E   0‬‬
‫‪  B  0 J‬‬
‫‪E  0‬‬
‫נניח כי ‪ B‬מקיים את ‪ .   B   0 J‬כל ’‪ B‬המקיים ‪B'  B  ‬‬
‫יקיים גם את המשוואה‪ .‬כלומר המשוואה אינה נותנת ערך חד‬
‫ערכי של ‪ .B‬אבל אם ‪ B‬מקיים גם את ‪   B  0‬הוא יקבע באופן‬
‫חד ערכי‪.‬‬