Transcript Magnetic Field I

‫שדות מגנטיים‬
‫בצפון הרחוק אפשר לראות את זוהר הצפון‪ ,‬כמו וילון של אור‪,‬‬
‫הנמשך על פני כמה אלפי קילומטרים‪ ,‬גובהו כמה מאות קילומטרים‬
‫ונמתח סביב כדור הארץ בקשת‪ .‬עוביו הוא פחות מקילומטר‪.‬‬
‫מהו מקורו של זוהר‬
‫הצפון?‬
‫הגדרת השדה המגנטי ‪.B‬‬
‫השדה החשמלי מוגדר בעזרת הכוח הפועל על מטען בוחן‪ .‬אילו‬
‫היה מטען מגנטי הקרוי מונופול מגנטי ניתן היה להגדיר את השדה‬
‫המגנטי באותה צורה כמו את השדה החשמלי‪ .‬כלומר ‪F B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪qB‬‬
‫מניסויים‬
‫שנערכו נמצא‬
‫כי שני תילים‬
‫נושאי זרם‬
‫באותו כיוון‬
‫נמשכים אחד‬
‫אל השני‪.‬‬
‫אם שני התילים נושאים‬
‫זרם בכיוונים הפוכים הם‬
‫דוחים אחד את השני‪.‬‬
‫הכנסת משטח‬
‫מתכת בין שני‬
‫התילים אינו‬
‫משנה את הכוח‬
‫הפועל ביניהם‪.‬‬
‫מסקנה הכוח המגנטי קיים רק‬
‫בין מטענים בתנועה‪ .‬הוא איננו‬
‫תלוי בתיל‪ .‬הוא קיים גם בין‬
‫מטענים הנעים בואקום‪.‬‬
‫גודל הכוח פרופורציוני למפלת‬
‫הזרמים ופרופורציוני הפוך‬
‫למרחק ביניהם‪ .‬לא לריבוע‬
‫המרחק‪.‬‬
‫התילים נושאי הזרם הם‬
‫ניטרליים מבחינה חשמלית‪ .‬אין‬
‫עליהם מטען נקי‪.‬‬
‫התיל הראשון נושא הזרם יצר סביבו שדה מגנטי‪ .‬על מטענים‬
‫בתנועה הנמצאים בשדה הזה פועל כוח‪ .‬לאחר ניסויים ארוכים‬
‫נמצא כי‬
‫‪F  qE  q v  B‬‬
‫האבר הראשון הוא הכוח החשמלי שטופל בעבר‪ .‬הוא פועל גם על‬
‫מטען שנע‪ ,‬והוא תמיד שווה ל‪ .qE -‬האבר השני הוא הכוח המגנטי‪,‬‬
‫והוא משמש להגדרת השדה המגנטי‪.‬‬
‫כדי לוודא את קיומו של שדה חשמלי באזור מסוים במרחב מביאים‬
‫לשם מטען נייח‪ ,‬ואם פועל עליו כוח אנו יודעים שקיים שדה חשמלי‪.‬‬
‫לכן כדי לאשר את קיומו של שדה מגנטי יש לערוך סידרה של‬
‫ניסויים‪.‬‬
‫א‪ .‬למדוד את השדה החשמלי באותו אזור‪.‬‬
‫ב‪ .‬להניע את המטען במהירות ‪ v‬ולמדוד את הכוח הפועל עליו‪.‬‬
‫ג‪ .‬לשנות את כיוון המהירות ולמדוד שוב את הכוח‪.‬‬
‫הניסוי השלישי דרוש כיון שאם במקרה בניסוי השני כיוון המהירות‬
‫היה במקביל לשדה המגנטי לא יפעל שום כוח על המטען הנע‬
‫למרות שקיים שדה מגנטי‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫השדה המגנטי מוגדר‬
‫‪B‬‬
‫‪q v‬‬
‫כאשר ‪ v‬הוא כיוון המהירות המאונך לכיוון שבו לא נמדד שום כוח‪.‬‬
‫גודלו של הכוח ניתן ע"י ‪  FB  qvB sin ‬הזווית בין ‪ v‬ו‪.B-‬‬
‫הכוח המגנטי‬
‫הפועל על‬
‫החלקיק מאונך‬
‫למישור המוגדר‬
‫ע"י המהירות‬
‫והשדה המגנטי‪.‬‬
‫כיוון הכוח‬
‫הפועל על‬
‫מטען‬
‫שלילי‬
‫כיוון הכוח‬
‫הפועל על‬
‫מטען חיובי‬
‫חלקיק ‪ ‬נע‬
‫בתא‬
‫בועות‪,‬‬
‫ויוצר זוג‬
‫‪e+- e-‬‬
‫]‪[F‬‬
‫‪newton‬‬
‫‪[B] ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ tesla  T‬‬
‫)‪[q][ v] (coulomb ) (meter sec‬‬
‫‪1 tesla = 104 gauss‬‬
‫דוגמאות של ערכי שדה מגנטי‬
‫על פני השטח של כוכב נויטרונים‬
‫‪108T‬‬
‫מגנט של מוליך‪-‬על‬
‫‪10T‬‬
‫אלקטרומגנט גדול‬
‫‪1.5T‬‬
‫מוט מגנטי קטן‬
‫על פני כדור הארץ‬
‫בחלל‬
‫הערך הקטן ביותר בחדר ממוסך‬
‫‪10-2T‬‬
‫‪10-4T‬‬
‫‪10-10T‬‬
‫‪10-14T‬‬
‫קווי שדה מגנטי‬
‫תיאור של קווי שדה מגנטי דומה לתיאור קווי שדה חשמלי‪.‬‬
‫א‪ .‬המשיק לקווי השדה המגנטי בכל נקודה נותן את כיוון השדה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצפיפות של קווי השדה נותנים את עוצמת השדה‪.‬‬
‫קווי השדה המגנטי של מגנט ביתי‪ .‬הקווים‬
‫יוצאים מהקוטב הצפוני ומסתיימים בדרומי‪.‬‬
‫הם דומים לקווי שדה חשמלי של דיפול‪.‬‬
‫קווי השדה המגנטי הם תמיד קווים סגורים‬
‫כיון שאין מונופול מגנטי‪ .‬ז‪.‬א‪ .‬שאין מקור‬
‫של שדה מגנטי‪ .‬המשואה תהיה‬
‫‪div B  0‬‬
‫לעומת‬
‫‪‬‬
‫‪div E ‬‬
‫‪0‬‬
‫הדגמה של קווי שדה מגנטי נראית בצילום משמאל‪.‬‬
‫זהו מגנט שמוכנס לאחת מהקיבות של פרה לקלוט את‬
‫כל פסולת הברזל שאוכלת הפרה ומונע מהפסולת‬
‫להגיע למעיים‪.‬‬
‫שדה מגנטי של מגנט פרסה‪.‬‬
‫קווי השדה נסגרים בתוך‬
‫המגנט‬
‫שדה מגנטי של מגנט‬
‫המכופף לצורת ‪.C‬‬
‫המצפן הוא מוט מגנטי החופשי להסתובב על צירו‪ .‬הוא מסתדר‬
‫לאורך קווי השדה המגנטי כמו דיפול חשמלי בשדה חשמלי‪ .‬הקוטב‬
‫הצפוני של המצפן נמשך לקוטב הדרומי של כדור הארץ‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬הקוטב הדרומי המגנטי נמצא ליד הקוטב הצפוני המגנטי‪.‬‬
‫מדידות של כיוון השדה המגנטי של כדור הארץ מראות שבחצי‬
‫הכדור הצפוני הם מכוונים לתוך האדמה ובחצי הכדור הדרומי הם‬
‫מכוונים כלפי מעלה‪.‬‬
‫שדות מצטלבים – מסנן המהירויות‬
‫שדה חשמלי ושדה מגנטי מפעילים כוח על מטען נע‪ .‬ניתן לכוון את‬
‫השדות כך שהם מבטלים את הכוח הפועל על מטען הנמצא בהם‪.‬‬
‫זהו ההתקן של ‪ J. J. Thompson‬שבעזרתו גילה את האלקטרון‪.‬‬
‫בשפופרת קתודית יש מקור‬
‫המשחרר אלקטרונים‬
‫בעזרת חימום‪ .‬האלקטרונים‬
‫מואצים בהפרש פוטנציאלים‬
‫למהירות ‪. v‬הם נכנסים‬
‫לאזור של שדות חשמליים‬
‫ומגנטים מצטלבים‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪eEL2‬‬
‫‪y‬‬
‫ללא שדה מגנטי הם היו מוטים ממסלולם בגובה ‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2mv‬‬
‫‪e 2v 2 y‬‬
‫היחס ‪ e/m‬יהיה‬
‫‪ . ‬כל הגדלים פרט ל‪ v-‬ניתנים למדידה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m EL‬‬
‫נפעיל שדה מגנטי ‪ B‬מאונך לשדה החשמלי ‪ E‬והמאונך לכיוון‬
‫התנועה כך שהכוחות הפועלים על המטען משתווים ‪qE  qvB‬‬
‫רק אלה שמהירותם ‪ v  E B‬לא יוטו ממסלולם‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2 yE‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪m BL‬‬
‫אפקט הול )‪(Hall Effect‬‬
‫ע"י שדות מצטלבים הפועלים על מוליך ניתן למדוד את צפיפות נושאי‬
‫המטען ואם הם חיוביים או שליליים‪.‬‬
‫ההפרדה בין המטען‬
‫ברצועה של מוליך זורם‬
‫השלילי לחיובי יוצר‬
‫זרם ‪.i‬‬
‫האלקטרונים נסחפים‬
‫שדה חשמלי והכוח‬
‫הפוך לזרם‪ .‬שדה מגנטי‬
‫החשמלי בין‬
‫‪ B‬המכוון פנימה ומאונך‬
‫המטענים מנוגד‬
‫לרצועה דוחף את‬
‫לכוח המגנטי‪ .‬נוצר‬
‫האלקטרונים ימינה‪.‬‬
‫שיווי משקל כאשר‬
‫מתאסף בדופן ימין של‬
‫הכוח החשמלי מאזן‬
‫הרצועה מטען שלילי‬
‫את הכוח המגנטי‪.‬‬
‫ובדופן שמאל מטען‬
‫חיובי‪.‬‬
‫כאשר נוצר שיווי המשקל האלקטרונים נסחפים בקו ישר ולא‬
‫מצטברים על הדפנות‪ .‬אין יותר שינוי בערכו של השדה החשמלי‪.‬‬
‫הפרש הפוטנציאלים בין הדפנות‬
‫‪V  Ed‬‬
‫שוויון הכוחות המגנטיים והחשמליים ‪eE  evd B‬‬
‫‪E‬‬
‫היחס ‪ E/JB‬נותן את צפיפות נושאי ‪1‬‬
‫‪‬‬
‫המטען ואת סימנם‪ .‬זוהי תוצאה‬
‫‪JB ne‬‬
‫חשובה מאוד עבור חצאי‪-‬מוליכים‪.‬‬
‫הוא ידוע בתור קבוע הול‪.‬‬
‫‪J‬‬
‫‪vd ‬‬
‫‪ne‬‬
‫אילו נושאי המטען היו חיוביים‪ ,‬הפיתוח המתימטי היה‬
‫נשאר ללא שינוי כיון שהמטען מצטמצם‪ .‬אבל השדה‬
‫החשמלי הוא וקטור לכן הוא משנה את כיוונו‪ .‬התוצאה‬
‫היא שהיחס ‪ 1/ne‬גם משנה את סימנו‪.‬‬
‫ניתן גם למדוד את מהירות הסחיפה‪ ,‬שהיא מאוד‬
‫נמוכה‪ ,‬ע"י הנעת הרצועה בשדה מגנטי בניגוד לכיוון‬
‫הסחיפה‪ .‬כאשר אין אפקט הול מהירות הרצועה שווה‬
‫למהירות הסחיפה‪.‬‬
‫חלקיק טעון בשדה מגנטי‬
‫חלקיק שמסתו ‪ m‬ומטענו ‪ q‬נע במהירות ‪ v‬בשדה מגנטי ‪ .B‬הכוח‬
‫הפועל עליו הוא ‪ F = qvxB‬והאנרגיה הקינטית שלו היא ‪.½mv2‬‬
‫‪d 1‬‬
‫‪d 1‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( mv )  ( mv  v)  mv ‬‬
‫‪ qv  v  B  0‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫‪dt‬‬
‫הכוח מאונך למהירות‪ .‬השדה המגנטי אינו משנה את גודל מהירות‬
‫החלקיק אלא רק את כיוונה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d r‬‬
‫‪dv‬‬
‫משוואות התנועה‬
‫‪m 2 m‬‬
‫‪ qv  B‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫נפתור את משוואות התנועה לגבי שדה מגנטי אחיד ונגדיר את‬
‫‪‬‬
‫כיוונו לאורך ציר ‪ .z‬כלומר‬
‫‪B  Bz‬‬
‫רכיבי המכפלה ‪[ v  B]z  0‬‬
‫הוקטורית‬
‫‪[ v  B]y   v x B‬‬
‫‪[ v  B]x  v y B‬‬
‫‪dv y‬‬
‫‪dv z‬‬
‫משוואות התנועה ‪ 0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪q‬‬
‫‪  vx B‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪m‬‬
‫ננסה פתרון )‪v z ( t )  v z (0‬‬
‫‪v y ( t )  v 0 cos t‬‬
‫‪dv x q‬‬
‫‪ vyB‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v x ( t )  v 0 sin t‬‬
‫הצבה במשוואות‬
‫‪qB‬‬
‫‪- v 0 sin t  ‬‬
‫‪v 0 sin t‬‬
‫‪m‬‬
‫‪qB‬‬
‫‪v 0 cos t ‬‬
‫‪v 0 cos t‬‬
‫‪m‬‬
‫הפתרון המוצע יפתור את המשוואה אם‬
‫זוהי תדירות התנועה של מטען בשדה‬
‫מגנטי קבוע וקרויה תדירות הציקלוטרון‪.‬‬
‫התדירות אינה תלויה בערכה של המהירות ההתחלתית ‪ .v0‬היא‬
‫תקבע את גודל המסלול ולא באיזה קצב יסתובב המטען במסלול‪.‬‬
‫‪qB‬‬
‫‪‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪m‬‬
‫אינטגרציה של משוואות המהירויות נותנת‪:‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪y  y0 ‬‬
‫‪sin c t‬‬
‫‪c‬‬
‫‪v0 v0‬‬
‫‪x  x0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos c t‬‬
‫‪c c‬‬
‫‪z  z 0  v z (0)t‬‬
‫‪v0 2‬‬
‫העלאה בריבוע של ‪v 0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ( ‪[ x  ( x 0  )]  [ y  y 0 ] ‬‬
‫המשוואות וחיבורן‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫זוהי משוואת מעגל שמרכזו ב‪ (x0-v0/ωc,y0) -‬ורדיוסו‬
‫‪v 0 mv 0‬‬
‫‪Rc ‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪qB‬‬
‫מסלול של אלקטרונים בשפופרת אדי‬
‫כספית בלחץ נמוך‪ .‬חלק מהאלקטרונים‬
‫מיינן את אטומי הכספית וגרם להם‬
‫לפלוט אור לאורך המסלול‪ .‬כתוצאה‬
‫המסלול נראה לעין באור כחלחל‪ .‬השדה‬
‫המגנטי מכוון החוצה מהדף‪.‬‬
‫מסלולים בורגיים‬
‫כאשר המטען נכנס לשדה‬
‫המגנטי עם רכיב מהירות‬
‫לאורך השדה‪ ,‬הרכיב הזה‬
‫גורם להתקדמות החלקיק‬
‫לאורך השדה‪ .‬הרכיב‬
‫המאונך לשדה יוצר תנועה‬
‫מעגלית‪ .‬השילוב יוצר תנועה‬
‫בורגית‪.‬‬
‫חלקיק טעון בשדה בלתי‬
‫אחיד השדה בקצוות חזק‬
‫יותר מאשר במרכז‪ .‬אם‬
‫השדה בקצוות מספיק חזק‪,‬‬
‫החלקיק מוחזר מהקצה‪.‬‬
‫זהו עקרון הבקבוק המגנטי‪.‬‬
‫אלקטרונים ופרוטונים נלכדים‬
‫בצורה דומה בשדה המגנטי של‬
‫כדור הארץ‪ ,‬ויוצרים את חגורת‬
‫הקרינה של ואן‪-‬אלן‪ .‬החגורות‬
‫הללו מקיפות את כדור הארץ‬
‫הרבה מעל האטמוספרה בין‬
‫הקוטב הצפוני והדרומי‪.‬‬
‫החלקיקים הטעונים נעים הלוך‬
‫וחזור בבקבוק מגנטי במשך‬
‫כמה שניות‪.‬‬
‫כאשר יש סערה מגנטית בשמש‪ ,‬היא פולטת חלקיקים אנרגטיים‬
‫המגיעים לחגורות הקרינה‪ ,‬ויוצרים שדה חשמלי חזק באזורים בהם‬
‫החלקיקים מוחזרים (אזורי הקטבים)‪ .‬השדה החשמלי מבטל את‬
‫ההחזרה ודוחף את האלקטרונים לאטמוספרה שם הם מתנגשים‬
‫עם אטומי ומולקולות האוויר וגורמים להם לפלוט אור‪ .‬זהו זוהר‬
‫הצפון – האורורה‪ .‬זהו מסך אור שיורד לגובה ‪ 100‬ק"מ‪ .‬האור כולל‬
‫אור ירוק מאטומי החמצן ואור ורוד ממולקולות החנקן‪ .‬לעיתים‬
‫קרובות האור הוא כה חלש ונראה כאור לבן‪.‬‬
‫זהו צילום אינפרה אדום של האורורה כפי‬
‫שצולם מלווין‪ .‬החלק המואר של כדור‬
‫הארץ הוא הסהר משמאל‪.‬‬
‫כוח מגנטי על תיל נושא זרם‬
‫כאשר זורם זרם בתיל‪ ,‬המטענים‬
‫נעים במהירות השווה למהירות‬
‫הסחיפה‪ .‬כאשר התיל נמצא בשדה‬
‫מגנטי‪ ,‬פועל עליהם כוח המועבר‬
‫לתיל כיון שהאלקטרונים אינם‬
‫יכולים לברוח מהתיל‪ .‬הפיכת כיוון‬
‫זרימת הזרם הופכת את כיוון‬
‫הכוח‪.‬‬
‫נתון תיל נושא זרם ‪i‬בשדה מגנטי ‪ .B‬כל‬
‫האלקטרונים בחלק התיל שאורכו ‪L‬‬
‫יעברו בזמן ‪ t  L v d‬את המישור ’‪.xx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪q  it  i‬‬
‫‪vd‬‬
‫‪F  iLB‬‬
‫‪iL‬‬
‫‪F  qv d B ‬‬
‫‪vd B‬‬
‫‪vd‬‬
‫ואם התיל אינו מאונך לשדה המגנטי ‪F  iL  B‬‬
‫‪ L‬הוא וקטור האורך וכיוונו ככיוון הזרם‪.‬‬
‫ואם התיל אינו ישר או שהשדה בו‬
‫נמצא התיל איננו אחיד מחלקים אותו‬
‫לאלמנטים והכוח יהיה על האלמנט‬
‫יהיה‬
‫‪d F  id L  B‬‬
‫פיתול על לולאת זרם בשדה מגנטי‬
‫מנועים חשמליים הם התקנים שהעולם אינו יכול בלעדיהם‪ .‬הם‬
‫מבוססים על העובדה שעל לולאה נושאת זרם בשדה מגנטי פועל‬
‫מומנט פיתול‪.‬‬
‫לולאת זרם מלבנית שאורכה ‪ a‬ורוחבה‬
‫‪ b‬נמצאת בשדה מגנטי כאשר הצלע ‪a‬‬
‫נמצאת במאונך לשדה המגנטי‪.‬‬
‫הכוחות על הצלע ‪ b‬המקבילה לשדה‬
‫המגנטי מתאפס‪.‬‬
‫הכוחות על הצלע ‪ a‬הם מנוגדים ושווים‪,‬‬
‫אבל אין להם קו פעולה משותף‪ .‬לכן הם ‪  Fb  b(iaB )  iAB‬‬
‫יוצרים מומנט הגורם לסיבוב‪.‬‬
‫מבט צידי‪.‬‬
‫מבט עילי על‬
‫‪ F1‬ו‪F3 -‬‬
‫הלולאה‪.‬‬
‫שווים‬
‫הכוחות ‪F2‬‬
‫ומנוגדים‪.‬‬
‫ו‪ F4-‬מבטלים‬
‫אבל ללא קו‬
‫בדיוק אחד‬
‫פעולה‬
‫את השני‪.‬‬
‫משותף‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪'  iaB sin   iaB sin   iabB sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ואם ללולאה ‪ N‬כריכות ‪  N'  NiabB sin   NiAB sin ‬‬
‫מומנט דיפול מגנטי‬
‫נגדיר את המומנט הדיפול המגנטי של לולאה‬
‫‪  NiA‬‬
‫כיוונו של ‪ μ‬ככיוון ‪ .A‬ולכן המומנט יהיה ‪    B‬‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית של הדיפול המגנטי בשדה המגנטי‪ ,‬באנלוגיה‬
‫לדיפול חשמלי בשדה חשמלי‪ ,‬יהיה ‪U    B‬‬