Transcript Wyklad_nr11_PLL_W12.ppt

13. Układy z pętla sprzężenia fazowego PLL
13.1. Wstęp
Układy z pętlą sprzężenia fazowego PLL (phase-locked-loops) znajdują
zastosowanie we wielu systemach elektronicznych i to zarówno
analogowych jak i cyfrowych. Z typowych zastosowań można
wymienić układy :
-synchronizacji,
-dzielenia i powielania częstotliwości,
- syntezy częstotliwości,
- demodulacji.
Układy z pętla sprzężenia fazowego są układami nieliniowymi,
jednakowoż w zakresie synchronizacji mogą być dostatecznie
dobrze opisane za pomocą liniowych równań różniczkowych.
13.2. Schemat blokowy układu pętli synchronizacji fazowej
[V/rad]
uI(t)
DF
[rad]
[rad]
[V] [V/V]
uD(t)
[V]
uF(t)
[V/V]
[V]
A
FDp
uO(t)
[rad/V]
uG(t)
VCO
[rad]
uG(t)
[V]
uS(t)
φG(t)
Rys. 13.2.1.Schemat blokowy układu pętli synchronizacji fazowej
13.3. Zasada działania układu z fazową pętlą sprzężenia zwrotnego :
• detektor fazy (DF) dokonuje porównania kątów fazowych sygnału
wejściowego uI(t) oraz sygnału uG(t) z pomocniczego generatora
przestrajanego napięciem VCO i wytwarza napięcie błędu uD(t)
zależne od różnicy tych faz;
• po odfiltrowaniu składowych w.cz. sygnału błędu uD(t) przez filtr
dolnoprzepustowy FDp i wzmocnieniu otrzymujemy wolnozmienny
sygnał uS(t), który po podaniu na generator VCO przestraja go tak, aby
różnica faz uległa zmniejszeniu. Sygnał uS(t) jest jednocześnie
sygnałem wyjściowym uO(t);
• przez śledzenie fazy chwilowej sygnału wejściowego uS(t)
uzyskujemy również śledzenie częstotliwości chwilowej tego sygnału
przez sygnał generatora uG(t), czyli synchronizację częstotliwości
generatora z częstotliwością sygnału.
Rozważmy sytuację, gdy na detektor fazy, pracujący jako układ
mnożący, zostały podane dwa przebiegi sinusoidalne :
uG(t) = UG cos[ω0 t + φG(t)]
uI(t) = UI sin[ω0 t + φI(t)].
(13.3.1)
(13.3.2)
Pulsacje chwilowe sygnałów uG(t) i uI(t) określają zależności :
ωI(t) = ω0 + d[φI(t)] /dt
ωG(t) = ω0 + d[φG(t)] /dt
(13.3.3.)
(13.3.4)
Jeśli jako układ detektora fazy zastosujemy układ mnożący, sygnał
wyjściowy z detektora fazy uD(t) wyraża się wówczas wzorem :
uD(t) = 1/2 kmUI UG {sin[φI(t) - φG(t)] + sin[2ω0 t + φI(t)+ φG(t)] }
gdzie : km - stała układu mnożącego
(13.3.5)
Pierwszy składnik wyrażenia (13.3.5) jest sygnałem wolnozmiennym,
natomiast drugi składnik ma widmo skupione wokół pulsacji 2ω0.
Z sygnału uD(t) należy zatem usunąć niepożądany składnik wielkiej
częstotliwości za pomocą filtru dolnoprzepustowego, otrzymując
uD(t) = 1/2 kmUI UG sin[φI(t) - φG(t)] = KΦ sin [Φ(t)]
(13.3.6)
Dla Φ(t) = const = Φ
uD(Φ) = KΦ sin Φ = UD max sin Φ
(13.3.7)
gdzie :
KΦ = 1/2 km UI UG - wzmocnienie detektora fazy,
Φ(t) =φI(t) - φG(t) - błąd fazy
Dla małych wartości Φ zależność (13.3.7) może być aproksymowana
jako
uD(Φ) ≈ UD max Φ
(13.3.8)
tzn. napięcie wyjściowe detektora fazy, dla małych wartości kąta
Φ, jest w przybliżeniu wprost proporcjonalne błędu fazy Φ.
To przybliżenie jest stosowane w analizie pętli PLL , zakładającej
jej liniową pracę.
Należy podkreślić, że współczynnik proporcjonalności UD max zależy
zarówno od amplitudy oscylatora UG jak i od amplitudy sygnału
wejściowego UI.
Równanie (13.3.7) opisuje charakterystykę detektora fazy, która
jest funkcją sinusoidalną o okresie 2π, a jej nachylenie w punkcie
Φ=0 ma współczynnik kΦ (rys.13.3.1)
uD
uDmax
arctg (kΦ)
-π
π
Φ
-uDmax
Rys.13.3.1. Charakterystyka detektora fazy.
Sygnał na wyjściu filtru dolnoprzepustowego, po odfiltrowaniu
sygnału niepożądanego 2ω0, ma postać (funkcja korelacji sygnałów):
u F (t )  K F u D t  * h t   K F K  sin t  * h(t) 
 KF K
 sin t  ht    dt
t
(13.3.9)
0
gdzie : KΦ = 1/2 km UI UG - wzmocnienie detektora fazy,
KF - transmitancja filtru dolnoprzepustowego w paśmie
pracy pętli fazowej (KF  1),
Φ(t) =φI(t) - φG(t) - błąd fazy
h(t) = L-1 [H(s)] - odpowiedź impulsowa filtru o
transmitancji H(s).
Jeśli obydwa sygnały są nieskorelowane (Φ(t) =φI(t) – φG(t) = 0, co
oznacza, że sygnał wejściowy jest sinusoidą, a sygnał z generatora –
cosinusoidą) wówczas napięcie na wyjściu filtru będzie równe
u F (t )  0
(13.3.10)
Jeśli natomiast obydwa sygnały są w pełni skorelowane
(Φ(t) =φI(t) – φG(t) = 90o , co oznacza, że zarówno sygnał wejściowy
jak i sygnał z generatora są sinusoidami) , wówczas napięcie na
wyjściu filtru będzie równe
u F (t )  K F K Φ 
1
k m UI UG K F
2
W większości przypadków praktycznych w paśmie przenoszenia filtru
dolnoprzepustowego KF = 1 i wówczas
1
u F (t )  K Φ  k m U I U G
2
(13.3.11)
Sygnał z wyjścia filtru dolnoprzepustowego jest wzmacniany
i podawany na wejście generatora VCO jako sygnał sterujący uS(t)
uS  t   A K  K F sin (t )* h  t   A K  K F  sin (t ) h  t    dt
t
0
(13.3.12)
Sygnał ten jest jednocześnie jednym z sygnałów wyjściowych
pętli fazowej
uO(t) = uS(t)
(13.3.13)
(wyjście to jest stosowane w detektorach sygnałów zmodulowanych
częstotliwościowo)
Pulsacja generatora VCO powinna być liniową funkcją napięcia
sterującego w całym zakresie częstotliwości pracy pętli fazowej
(rys. 13.3.2)
ωG(t) = ω0 + KV uS(t)
(13.3.14)
ωG
ω0
arctg(KV)
uS
Rys.13.3.2. Charakterystyka przestrajania generatora VCO
Porównując zależność (13.3.11) z zależnością (13.3.4) i korzystając
z zależności (13.3.9) otrzymujemy
d[φG(t)] /dt = KV uS(t) = KV At K F K [sin (t ) * h(t)]=
 K V A K  K F  sin (t ) h  t    dt
(13.3.15)
0
Podstawiając K = KV A KF KΦ , jako wzmocnienie pętli fazowej
otrzymujemy ostateczne równanie opisujące związek pomiędzy
fazą sygnału generatora VCO φG , a różnicą faz Φ(t) = φI(t) - φG(t)
pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem z generatora VCO
d[φG(t)] /dt = K{ sin[ I (t ) - G (t)]* h(t)}  K
 sin t  ht   dt
t
0
Powyższe równanie można zapisać w innej postaci
(13.3.16)
d[Φ(t)] /dt = d[φI(t)]/dt - K [sin (t ) * h(t)] 
= d[φI(t)]/dt - K
 sin t  ht   dt
t
0
(13.3.17)
Pętla PLL opisana równaniami (13.3.6) i (13.3.7) jest układem
silnie nieliniowym z powodu nieliniowości charakterystyki detektora
fazy. Nachylenie charakterystyki detektora uD = f(Φ) (rys.13.3.1)
ulega nie tylko znacznym zmianom co do wartości (13.3.7) , lecz
również zmienia swój znak przy zmianie błędu fazy od Φ = - do
Φ= + (rys. 13.3.1).
Dla Φ = (-π/2 do π/2 ) +/- 2π n - w pętli występuje ujemne sprzężenie
zwrotne ( nachylenie charakterystyki detektora fazy jest dodatnie,
zmniejszające błąd fazy Φ układu (pętla w synchronizacji)
Dla Φ poza tym zakresem występuje dodatnie sprzężenie zwrotne
(nachylenie charakterystyki detektora fazy jest ujemne), zwiększające
błąd fazy Φ ( pętla nie jest w synchronizacji)
13.4. Pętla w stanie synchronizacji
13.4.1. Liniowy model pętli fazowej
Fazowa pętla sprzężenia zwrotnego jest układem silnie nieliniowym
z powodu nieliniowości charakterystyki przejściowej detektora fazy.
Jeśli założymy, że pracujemy w stanie synchronizacji
ωG(t) = ωI(t)
(13.4.1.1)
wówczas
φI(t) - φG(t) = Φ = const
(13.4.1.2)
W stanie synchronizacji
 

2
(13.4.1.3)
13.4.2. Zakres trzymania
• napięcie wyjściowe z detektora fazy
UD  K Φ 
(13.4.2.1)
• sygnał sterujący generatorem VCO
US  K F AUD  AK Φ 
(13.4.2.2)
(bo KF=1 w paśmie pracy PLL)
• zmieniona częstotliwość (pulsacja) generatora f
ω = ω0 + KV US
(13.4.2.3)
• pętla PLL jest w stanie synchronizmu z częstotliwością sygnału
wejściowego fI, więc mamy :
ωI = ω =ω0 + KV US
(13.4.2.4)
• po uwzględnieniu zależności na US otrzymujemy :

 I  0
KVKΦA
(13.4.2.5)
• maksymalne napięcie wyjściowe detektora fazy U0 występuje
dla  = π/2 i dla  = /2, czemu odpowiada maksymalna
możliwa do uzyskania zmiana częstotliwości generatora :
   0 MAX
π
 K V K Φ A
2
(13.4.2.6)
• maksymalny zakres częstotliwości sygnału, dla którego układ
PLL pozostaje w stanie synchronizmu wyraża się wzorem :
π
 I   0  K V K Φ A   0  Δ L
2
(13.4.2.7)
gdzie: 2L jest zakresem trzymania równym :
2ωL = KVKA
ω0 - KV A KF KΦ π/2 < ωG < ω0 + KV A KF KΦ π/2
(13.4.2.8)
• poza zakresem trzymania nie jest możliwe uzyskanie synchronizmu,
ponieważ powstaje różnica kątów fazowych
Φ  ω1t  θ1   ω0 t  θ 0 
(13.4.2.9)
zmieniająca się gwałtownie w funkcji czasu, co powoduje duże
zmiany u0, które jest silnie tłumione w filtrze FDp, w wyniku
czego uS jest bardzo małe i nie przestraja generatora VCO.
US - napięcie
przestrajające
π
  K Φ A
 2
2ωZ = zakres zaskoku
generator
ω0-ω L
ω0 - ωZ
nachylenie=1/KV
ω0
π
  K Φ A
2
ω0+ ωZ
ωI
ω0+ω
L
2ωL = zakres trzymania
Rys. 13.4.2,1.Zakresy trzymania oraz zaskoku generatora VCO
Przykład 13.4.2,1 :
Rozważmy pętlę PLL, w której amplitudy sygnału wejściowego
i generatora są równe i wynoszą UI = UG = 0,75 V.
Układ mnożnika ma liniową charakterystykę mnożenia i daje na
swym wyjściu napięcie 2V (DC), jeśli obydwa napięcia wejściowe
mają wartość 2V (DC).
Generator VCO bez sygnału zewnętrznego (uS=0V) pracuje na
częstotliwości 10 MHz. Częstotliwość ta liniowo zmniejsza się do zera,
jeśli napięcie sterujące osiągnie uS = -1V.
Wzmocnienie wzmacniacza A = 0 dB (1 V/V).
Ile wynosi różnica faz pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem
generatora, jeśli częstotliwość sygnału wejściowego wynosi fI=11 MHz
a pętla jest w synchronizacji ?
Ile będzie wynosiła różnica faz, gdy częstotliwość sygnału wejściowego
fI = 9 MHz ?
Jak zmienią się wartości różnicy faz, gdy wzmocnienie wzmacniacza
A = 6dB (2V/V) ?
Stała układu mnożącego km może być obliczona z zależności (4.11)
u0  k m u x u y
Mamy zatem
km = U0/(Ux Uy) = 2V/4V2 = 0,5V-1
Wzmocnienie detektora fazy wynosi (13.3.7)
KΦ = 1/2 km UI UG = 1/2 x 0,5x 0,75x0,75 = 0,1406 V/rad
a nachylenie charakterystyki KV generatora VCO (13.3.14)
KV = (ωG- ω0)/ΔuS = 2π x10 MHz/ 1V= 6,28 x 107 rad/V sek
Mamy zatem na podstawie (13.4.17)
   I - G 
 I  0
KVKΦA

2π (11MHz-10 MHz)
rad
0

0,
7112

40,8
6,28 x107 x 0,1406 x1
V sek
Powyższy wynik daje różnicę faz początkowych obydwu przebiegów.
Pamiętając, że dla prawidłowej pracy układu mnożnika, jeśli sygnał
wejściowy jest sygnałem o sinusoidalnym to synal generatora
musi być przebiegiem cosinusiodalnym, możemy obliczyć różnicę
faz pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem generatora jako równą
900- 40,80 = 49,20
Jest to różnica faz znacznie bliższa zeru, a zatem układ będzie bliższy
synchronizacji.
Jeśli fI = 9 MHz, wówczas Φ=-40,80, a różnica faz pomiędzy sygnałem
wejściowym i sygnałem generatora wyniesie 900+40,80=130,80,
Będzie zatem zbliżona do kąta 1800, czyli stanu niezsynchronizowanego.
Dla A = 6dB, otrzymujemy odpowiednia Φ = 20,40 i Φ = -20,40
13.5. Wpływ transmitancji filtru na właściwości śledzące pętli
W stanie synchronizacji błąd fazy jest mały
 

2
(13.5.1)
i wówczas zależności (13.3.16) i (13.3.17) przyjmą postać
d[φG(t)] /dt = K [sin (t ) * h(t)]  K (t) * h(t )
(13.5.1)
d[Φ(t)] /dt = d[φI(t)] - K [sin (t ) * h(t)] 
≈ d[φI(t)] - K  (t ) * h(t)
(13.5.2)
Powyższe przybliżone równania są liniowe, zatem stosując
przekształcenie Laplace’a otrzymujemy równania algebraiczne
o postaci
s φG(s) = K  (s) H ( s )  K [ I (s) - G (s)] H ( s) (13.5.3)
s Φ(s) = s φI(s) - K (s) H(s)
(13.5.4)
gdzie : φG(s), φG(s), Φ(s), H(s) są transformatami Laplace’a.
Na podstawie (13.5.3) można wyznaczyć transmitancję zamkniętej
pętli fazowej
G ( s )
K H ( s)
G(s) 

 I ( s) s  K H(s)
(13.5.5)
Podobnie można wyznaczyć na podstawie (13.5.4) transmitancję
odniesioną do błędu fazy Φ(s)
(s)
s
G ( s ) 

1  G ( s)
 I ( s) s  K H(s)
(13.5.6)
oraz na podstawie (13.3.15) transmitancję generatora VCO
G ( s)
KV

U S ( s) s
(13.5.7)
Z przeprowadzonej analizy wynika, ze w stanie synchronizacji, przy
|Φ0| << π/2, schemat blokowy pętli może być zastąpiony modelem
liniowym przedstawionym na rysunku 13.4.2.
[V/rad]
φI(s) +
Φ(s)
KΦ
[V/V]
[V/V]
UD(s)
U0(s)
KF = H(s)
A
[rad/Vsek]
φG(s)
1/s
uG(s)
KV
φG(s)
Rys. 13.4.2. Liniowy model pętli fazowej w stanie synchronizacji
Właściwości śledzące pętli fazowej w liniowym zakresie pracy
zależą w istotny sposób, jak można się o tym przekonać na podstawie
zależności (13.5.5) i (13.5.6) od transmitancji zastosowanego filtru
dolnoprzepustowego KF(s).
Wyróżnia się przy tym kilka najbardziej typowych układów filtrów
dolnoprzepustowych pierwszego rzędu. Jak wynika to z zależności
(13.5.5) zastosowanie filtru pierwszego rzędu daje w efekcie
transmitancję zamkniętej pętli fazowej drugiego rzędu.
W literaturze przedmiotu pętle fazowe klasyfikuje się na podstawie
transmitancji pętli fazowej otwartej
G ( s )
H(s)
G Otw (s) 
K
 I ( s) Otw
s
(13.5.8)
przy czym liczba biegunów GOtw(s) określa rząd pętli, natomiast liczba
biegunów w początku układu współrzędnych określa typ pętli.
Najczęściej rozważa się pętle fazowe pierwszego rzędu (bez filtru)
lub pętle drugiego rzędu z typowymi pasywnymi lub aktywnymi
filtrami pierwszego rzędu. Poniżej przedstawiono kilka typowych
filtrów stosowanych w pętlach fazowych.
Pętla pierwszego rzędu, typu pierwszego (bez filtru)
H 0 ( s ) 1
G ( s)
K
G(s) 

 I ( s) s  K
(13.5.9)
(13.5.10)
Pętla drugiego rzędu, typu pierwszego z pasywnym filtrem
całkującym
R1
C
Rys. 13.5.1. Pasywny filtr całkujący
1
H ( s)  H1 ( s) 
11 s
K
G ( s)  2 1
s   1 s  K  1-1
(13.5.11)
1
1
gdzie τ1 = R1C
(13.5.12)
Pętla drugiego rzędu, typu pierwszego z pasywnym filtrem
proporcjonalno-całkującym
R1
R2
C
Rys. 13.5.2. Pasywny filtr proporcjonalno-całkujący
1 2 s
H ( s)  H 2 ( s) 
1  ( 1   2 ) s
gdzie : τ1 = R1C, τ2 = R2C.
(13.5.13)
K (1   2 s) ( 1   2 ) 1
G(s) 
1 K  2
K
2
s 
s
1  2
1  2
(13.5.14)
Powyższą transmitancję można wyrazić w unormowanej postaci jako
0 

0  2    s  02
K

G( s)  2
s  2  0 s  02
(13.5.15)
gdzie
K
0 
1  2
1
K

2 1  2
- pulsacja swobodnych drgań pętli
 1 K  2 


K


- współczynnik tłumienia
Pętla drugiego rzędu, typu drugiego z aktywnym filtrem
proporcjonalno-całkującym
R
R
C
2
1
Rys. 13.5.3. Aktywny filtr proporcjonalno-całkujący
1 2 s
H ( s)  H 3 ( s) 
1 s
gdzie : τ1 = R1C, τ2 = R2C.
(13.5.16)
K (1   2 s) 11
G(s) 
2
K
2
s K
s
1
(13.5.17)
1
Wzór powyższy w postaci unormowanej ma postać
2  0 s  02
G( s)  2
s  2  0 s  02
gdzie :
0 

K
1
2
2
K
1
(13.5.18)
Przykład 13.5.1.
Dla pętli PLL, o danych z przykładu 13.1.1. zaprojektować filtr
proporcjonalno-całkujący tak aby stała czasu filtru wynosiła około
100 okresów przy 10 MHz a dobroć Q =1/2.
Na podstawie obliczeń wykonanych w przykładzie 13.4.1
możemy napisać
KΦ = 1/2 km UI UG = 0,1406 V/rad
KV = 6,28 x 107 rad/V sek
Przyjmując A = 1, KF0=1 obliczmy
K0 = KV A KΦ = 0,1406 x 6,28 x107 = 0,882968 x 107 [1/sek]
Układy z pętlami fazowymi wykazują bardzo korzystne właściwości
zmniejszenia stosunku szum/sygnał na wyjściu układu w porównaniu
do wejścia. Bardzo korzystne właściwości szumowe wykazują pętle
PLL z filtrem proporcjonalno-całkującym o transmitancjach H2(s)
i H3(s) ponadto charakteryzują się małymi statycznymi błędami fazy.
Z tego powodu są najczęściej stosowanymi w praktyce.
13.6. Dochodzenie do stanu synchronizacji – zakres chwytania
Wyznaczenie zakresu chwytania pętli synchronizacji fazowej jest
raczej zagadnieniem bardzo złożonym. Zakres chwytania może
być estymowany za pomocą wzorów przybliżonych
( I  G ) 

2
K  KV A F [ j ( I  G )]
13.7. Detektory fazy
Można wyróżnić następujące typy układów detektorów fazy:
- układy mnożące,
- układy kluczowane,
- układy próbkująco-pamiętające,
- układy cyfrowe
Detektory fazy z układem mnożącym (modulatory zrównoważone)
+ECC
uRCL
RC
iC1
RC
u2R
iC2
iC4
iC3
T1 T2
T3 T4
iC5
iC6
Ux
T5
T6
U
y
I0
-EEE
uRCP
Przypadek 1
u x t    T ;
u y t    T
gdzie : φT = kT/q - potencjał termiczny elektronu
u2 R  u RCL  u RCP  RC iC1  iC 3   iC 2  iC 4  
 RC iC1  iC 2   iC 4  iC 3 
 u x t  
u x t 
  iC 5
iC1  iC 2   iC 5 tg h 
2 T
 2 T 
 u x t  
u x t 
iC 4  iC 3   iC 6 tg h    iC 6
2 T
 2 T 
u x t 
I0
u2 R  RC iC 5  iC 6 
 RC
u t  u y t 
2 x
2 T
4 T
Dla dwu przebiegów przesuniętych w fazie
u x t   U x cos 0 t 
u y t   U y cos 0 t   
Wartość średnia napięcia na wyjściu detektora wynosi :
I0
U 2 R 0  u2 R (t )  RC
U x U y cos 
2
8 T