Transcript Document 9653567

Matakuliah
Tahun
: K0594/ KALKULUS II
: Tahun 2008
GEOMETRI DALAM BIDANG (2)
Pertemuan 15
KOORDINAT TABUNG
Titik P dinyatakan dalam ( r,  , z )
r : jarak dari titik O dan proyeksi titik P dalam
bidang XY, r > 0
 : sudut antara sumbu X positif dan OP,
dimana titik P' proyeksi titik P pada bidang XY,
0 <  < 2
Z : seperti dalam koordinat Cartesius
Z
P(r,,z)
O

X
z
Y
r
P'
Koordinat bola
Titik P dinyatakan dalam (  ,  ,  )
 : jarak dari titik O ke titik P,  > 0
 : sudut antara sumbu X positif dan OP'
dimana titik P' proyeksi titik P pada
bidang XY, 0 <  < 2
 : sudut antara sumbu Z positif dan
ruas garis OP,
0<<
Z
P(,,)

O

X

Y
IRISAN KERUCUT
Definisi
Kurva-kurva yang terbentuk dari
perpotongan sebuah bidang datar
dengan sebuah kerucut lingkaran tegak
disebut irisan kerucut atau konik (conic
section).
Pada sebuah bidang, ada sebuah garis
tetap l (garis arah) dan sebuah titik
tetap F (fokus) yang tidak terletak pada
garis tetap tersebut.
Titik pada garis tetap :L
Titik tetap (fokus) :F
Himpunan titik-titik pada kurva : P
Kurva yang memenuhi persamaan :
| PF | = e | PL |
dinamakan irisan kerucut atau
konik.
Konstanta e disebut eksentrisitas
0 < e < 1
e = 1
:
e > 1
:
:
elips
parabola
hiperbola
Garis melalui fokus dan yang tegak lurus
pada garis arah disebut sumbu konik.
Titik potong antara sumbu dengan konik
disebut puncak. Parabola mempunyai
satu puncak, sedangkan elips dan
hiperbola mempunyai dua puncak.
Kerucut Lingkaran Tegak
Kita pilih sebuah titik tetap yang
terletak pada sebuah garis tetap lalu
kita buat garis-garis lain yang melalui
titik tersebut sedemikian rupa sehingga sudut antara garis tetap dan garisgaris yang dibuat sama. Titik yang
dipilih disebut vertex, garis yang
dibuat disebut element dan bagian
kerucut yang berhadapan dengan
vertex disebut nappe.
Parabola
Perpotongan kerucut tegak dengan
bidang datar yang sejajar dengan
sebuah element kerucut
ELIPS
Perpotongan kerucut tegak dengan
bidang datar yang memotong secara
keseluruhan sebuah nappe kerucut
HIPERBOLA
Perpotongan kerucut tegak dengan bidang
datar yang memotong kedua nappe kerucut
PARABOLA
Parabola merupakan himpunan titik-titik
dalam sebuah bidang di mana jaraknya
dengan sebuah titik tetap F (fokus) dan
dengan sebuah garis tetap L (garis arah)
adalah sama (equidistant), yaitu yang
memenuhi persamaan :
| PF | = | PL |
Puncak di titik asal : O ( 0 , 0 )
Sumbu utama : Sumbu X
Fokus di sebelah kanan titik O : F (p,0)
Garis arah di sebelah kiri titik O : x =-p
Titik pada kurva : P ( x , y )
Puncak di titik asal : O ( 0 , 0 )
Sumbu utama : Sumbu X
Fokus di sebelah kanan titik O : F (p,0)
Garis arah di sebelah kiri titik O : x =-p
Titik pada kurva : P ( x , y )
| PF | = | PL |
Garis arah
x=-p
( x  p) 2  ( y  0) 2  ( x  p) 2  ( y  y) 2
Y
P (x,y)
L (-pay)
O
F (p,0)
X
Setelah
disederhanakan,
diperoleh :
y2 = 4px
Persamaan Baku Parabola
Persamaan baku parabola mendatar terbuka
ke kanan dengan puncak di titik asal O (0,0)
dan fokus di titik F (p,0) adalah :
y2 = 4px
di mana p : jarak dari fokus ke puncak (p > 0)
Ada 4 macam persamaan baku parabola :
y 2 = 4 p x mendatar terbuka ke kanan
y 2 = - 4 p x mendatar terbuka ke kiri
x 2 = 4 p y tegak terbuka ke atas
x 2 = - 4 p y tegak terbuka ke bawah