Transcript Pertemuan 5-6 Transformasi Laplace Balik dan Grafik Aliran Sinyal Matakuliah

Matakuliah
Tahun
Versi
: H0134 / Sistem Pengaturan Dasar
: 2005
: <<versi/revisi>>
Pertemuan 5-6
Transformasi Laplace Balik dan Grafik
Aliran Sinyal
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• menunjukkan pemodelan sistem fisik
beserta diagram blok dan grafik aliran
sinyalnya
2
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Transformasi Laplace balik
Sifat inverse Laplace
Diagram blok
Metode reduksi dengan Grafik Aliran Sinyal (Metode
Mason)
Ilustrasi penerapannya
Tanggapan sistem
Respons waktu
Respons frekuensi
Pengertian Respons sistem
Respons transient
Respons steady (mantap)
3
Inverse Transformasi Laplace
 Transformasi Laplace Balik adalah proses untuk mendapatkan
fungsi waktu f(t) dari transformasi Laplace F(s).
L-1[ F(s)] = f(t)
f (t ) 
1
2 j

st ds
F
(
s
)
e

0
Metode inverse Transformasi Laplace:
1. Table look-up
2. Pecahan parsiil
1. Untuk pole berbeda
2. Mempunyai Pole berulang
3. Pole bilangan kompleks
4
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE BALIK
Transformasi Linier
Skala Frekuensi
L 1  b1 .F1 s   b2 . F2 s    b1 . f1 t   b2 . f 2 t 
L 1 F  as    a. f a.t 
Perkalian (Konvolusi)





t

1
L F1sF2 s   f1f2 t  dt
0
5
Tanggapan sistem
• Berupa output dari sistem bila sistem mendapat input
• Tanggapan dapat berupa response yang dapat diamati
dalam domain waktu  time response dapat dibaca
dengan alat bantu osiloskop
• Tanggapan sistem Dapat juga diamati dalam domain
frekuensi  Frequency response dapat diamati dengan
alat bantu spektrum analiser ataupun FFT analyzer
•Pengertian Respons sistem
•Respons transient
•Respons steady (mantap)
6
Daerah transient dan daerah steady state untuk sistem lift
7
Tanggapan sistem untuk sistem overdamped dan
underdamped
8
• Grafik aliran sinyal adalah diagram yang
menggambarkan sekumpulan
persamaan aljabar linier yang simultan.
• Seperti blok diagram, grafik aliran sinyal
dapat digunakan untuk menyatakan
secara grafis untuk menggambarkan
dinamika sistem pengaturan.
• Grafik aliran sinyal digunakan secara
luas dalam analisa dan desain sistem
pengaturan.
9
•
•
•
•
Dasar Grafik Aliran Sinyal
Persamaan Aljabar :
Xi = Aij Xj
Variabel Xi dan Xj dapat merupakan fungsi waktu,
kompleks frekuensi atau besaran lain bahkan suatu
konstanta.
• Aij disebut fungsi transmisi, merupakan operator
matematis yang memetakan Xj ke Xi.
• Grafik aliran sinyal persamaan aljabar diatas
digambarkan sbb :
Node
Xj
Aij
Branch
( Cabang )
Node
Xi
10
• Aljabar grafik aliran sinyal
– Aturan penjumlahan
X1
n
X2
j 1
X3
Xi   A ij X j
Xn
- Aturan transmisi
Xi = Aik Xk i = 1, 2, …, n
k : tetap
A i1
A i2
.
.
.
.
A i3
Xi
A in
X1
A 1k
A 2k
A 3k
Xk
A nk
X2
X3
.
.
.
.X
11n
– Aturan perkalian
• Xn = A21.A32.A43……An(n-1).X1
A 21
X1
A 32
X2
A n(n-1)
X3
Xn-1
Xn
A 21.A 32 ......... A n(n-1)
• Definisi-definisi
X1
Xn
A 42
A 33
A 21
X1
A 32
X2
A 43
X3
A 23
X4
12
•
•
•
•
Path adalah sederetan cabang-cabang yang kontinyu dan satu arah
dimana tidak ada sebuah node yang dilalui lebih dari 1 kali.
Path : X1X2X3X4 , X2X3X2
Input node/source adalah suatu node hanya dengan cabang yang
arahnya keluar.
Source : X1
Output node/sink adalah suatu node hanya dengan cabang yang
arahnya masuk.
Sink : X4
Forward path adalah jalur dari input node ke output node.
Forward path : X1X2X3X4 , X1X2X4
13
• Feedback path/loop adalah jalur yang bermula dan berakhir
pada node yang sama.
Feedback path : X2X3X2
• Self loop adalah feedback path yang terdiri dari sebuah
cabang.
Self loop : A33
• Gain dari suatu cabang adalah fungsi transmisi dari cabang itu
jika fungsi transmisi merupakan operator perkalian. A33 adalah
gain dari self loop jika A33 adalah konstanta atau fungsi alih.
• Path gain adalah perkalian dari gain-gain cabang yang dilalui
dalam menjalani path. Path gain dari forward path X1 ke X2 ke
X3 ke X4 adalah A21A32A43.
14
• Loop gain adalah perkalian dari gain-gain cabang dari suatu
loop. Loop gain dari X2 ke X3 dan kembali ke X2 adalah
A32A23.
• Dummy Node
• Node tambahan sesudah output, karena output harus di
feedback kan.
• Fungsi transmisi sama dengan 1, hasil tetap.
X1
A1
X2
A2
X3
A3
X1
A1
X2
A2
X3
1
X4
X4 = Dummy Node
Catatan :
X3 = X4
15
• KONSTRUKSI GRAFIK ALIRAN
SINYAL
– Bentuk Persamaan Sistem
• Membentuk persamaan simultan
• Variabel N
• N persamaan
– Menyusun Node
• Susunan dari kiri ke kanan
• Dimungkinkan pengaturan penyusunan jika diperlukan
– Hubungan antar Node
• Hubungkan node-node dengan branch yang tepat
– Output Node
• Tidak bercabang
• Bercabang
16
– Output Node Bercabang
• Bercabang sebagai feedback dari output
• Perlu dummy node, sebagai output node
• Unity gain branch pada dummy node
– Dummy Node
• Node “bantu” untuk perhitungan
• Hasil akhir tetap karena unity gain branch.
17
Diagram Blok
G2
+
R
+
G1
+
C
+
H1
Membuat Grafik Aliran Sinyal
G2
R
1
G1
1
C
H1
18
• Diagram Blok
G2
+
R
+
G1
+
+
C
H1
• Grafik Aliran Sinyal
G2
R
1
1
G1
C
H1
19
Fungsi Alih
Fungsi Alih menurut Mason :
 Pii
T i

T : Ratio output dan input variabel.
Pi : Forward path gain ke i.
Pjk : Perkalian yang mungkin ke j dari k buah penguatan lup yang
tidak bersentuhan.
 = determinan grafik
1   1 k  1   Pjk
=
k j
1   Pj1   Pj2   Pj3  ........
j
j
j
= 1- ( jumlah semua lup gain ) + (
jumlah dari semua perkalian gain 2 lup yang tidak bersentuhan ) –
jumlah dari semua perkalian gain 3 lup yang tidak bersentuhan )
+ ……
20
i : kofaktor determinan ;yaitu  dievaluasi
dengan semua lup yang menyentuh Pi
dihilangkan.
Contoh : Rangkaian Listrik
+
C
V1
I1
-
+
R
V2
-
Hukum Kirchoff (Notasi Laplace)
21
I1
=
sC (V1 - V2 )
V2 =
I1 . R
Grafik Aliran Sinyal
V1
SC
I1
R
V2
-SC
P1
=
sC R
P11
=
- sC R

=
1 - ( - sC R)
1
=
1
Gunakan rumus penguatan Mason
V  R Cs
V
RC s 1
2
1
22
C
+
V1
I1
V2
R
C
I2
+
R
-
V3
-
I1 =
V2 =
V3 =
SC (V1 - V2)
R.(I1 - I2)
I2.R
I2 = sC (V2 - V3)
23
SC
V1
I1
-sC
-R
-sC
R
SC
R
V2
I2
V3
P1 =
s 2 R2 C2
P11 =
P21 = P31 = -sC R
P12 =
P11 P31 =
s 2 R2 C2
 = 1 - (P11 + P21 + P31) + P12
= 1 + 3 sCR + s2C2R2
1 =
1
s2C2R2
P11
T


1  3sCR  s2C2R2
24
Mencari Fungsi Alih
G4
+
R
+
-
+
G1
+
G2
G3
+
+
C
+
H1
H2
Grafik Aliran Sinyal
H1
1
1
G1
G4
G2
G3
R
1
C
-1
H2
25
Ada 2 Forward Path
P1
P2
Ada 5 Lup (Feedback)
=
=
G1 G2 G 3
G1 G4
P11 =
G1 G2 H 1
P21 =
G2 G3 H 2
P31 =
- G1 G2 G3
P41 =
G4 H2
P51 =
- G1 G4
Determinan Grafik

=
1 - (P11 + P21+ P31 + P41 + P51)
1
=
1
2
=
1
26
C  P  P 
R

1
1
2
2
C
G1G2G3  G1G4

R 1  G1G2 G3  G1G2H1  G2G3H1  G4H2  G1G4
Reduksi Diagram Blok
Diagram Blok
G3
+
R
+
-
+
G1
G4
G2
+ +
+
C
H1
H2
27
G2
1
G1G4
1
G2
R
H1
Ada 2 Forward Path
P1
=
P2
=
Ada 3 Lup
P11
=
P21
=
P31
=

=
1
C
H2
G1 G2 G4
G1 G3 G4
G1 G4 H 1
- G1 G2 G4 H 2
- G1 G3 G4 H 2
1 - (P11 + P21 + P31)
Tidak ada lup yang tidak menyentuh
1
=
2
=
1
Gunakan rumus penguatan Mason.
28
C
G1G2G4  G1G3G4

R 1 G1G4H1  G1G2G4H2  G1G3G4H2
R
C
+
-
G
H
Fungsi Alih Blok diagram diatas :
Pada rumus penguatan Mason,
G
 Pii
i
GH    1
29
Dapat dicari :
G  G1G4 G2  G3 
GH G2  G3 H2  H1
H

G
G2  G3
Diagram Blok
Tereduksi
R
+
C
G

R 1  GH
G1 G4 (G2 + G3)
[ ( G2 + G3 ) H2 - H1 ] / ( G2 + G3)
30
Penutup
• Transformasi Laplace Balik (inverse
Laplace transform) mengembalikan
perhitungan ke domain waktu
• Metode reduksi dengan Signal flow graph
(grafik aliran sinyal) memudahkan
penyederhanaan diagram blok yang rumit
secara matematis dan grafis dengan
formula Mason.
31