Transcript Document 9653856

Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar
Tahun
: 2010
Transformasi Laplace Balik dan Grafik Aliran Sinyal
Pertemuan 3
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan :
• Mahasiswa dapat menghitung pemodelan sistem fisik
beserta dari domain Laplace ke domain waktu
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Transformasi Laplace balik
Sifat inverse Laplace
Diagram blok
Metode reduksi dengan Grafik Aliran Sinyal (Metode Mason)
Ilustrasi penerapannya
Tanggapan sistem
Respons waktu
Respons frekuensi
Pengertian Respons sistem
Respons transient
Respons steady (mantap)
Inverse Transformasi Laplace
 Transformasi Laplace Balik (Inverse Laplace Transform)adalah
proses untuk mendapatkan fungsi waktu f(t) dari transformasi
Laplace F(s).
L-1[ F(s)] = f(t)
f (t ) 
2  j c j
Metode inverse Transformasi Laplace:
1. Table look-up
2. Pecahan parsiil
1. Untuk pole berbeda
2. Mempunyai Pole berulang
3. Pole bilangan kompleks
1
c  j
F ( s) e st ds
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE BALIK
Transformasi Linier
Skala Frekuensi
L 1  b1 .F1 s   b2 . F2 s    b1 . f1 t   b2 . f 2 t 
L 1 F  as    a. f a.t 
Perkalian (Konvolusi)





t

1
L F1sF2 s   f1f2 t  dt
0
Tanggapan sistem
• Berupa output dari sistem bila sistem mendapat input
• Tanggapan dapat berupa response yang dapat diamati
dalam domain waktu  time response dapat dibaca
dengan alat bantu osiloskop
• Tanggapan sistem Dapat juga diamati dalam domain
frekuensi  Frequency response dapat diamati dengan
alat bantu spektrum analyser ataupun FFT analyzer
•Pengertian Respons sistem
•Respons transient
•Respons steady (mantap)
Daerah transient dan daerah steady state untuk sistem
pengaturan lift
Tanggapan sistem untuk sistem overdamped dan
underdamped
• Grafik aliran sinyal adalah diagram yang
menggambarkan sekumpulan
persamaan aljabar linier yang simultan.
• Seperti halnya aplikasi diagram blok,
grafik aliran sinyal dapat digunakan
untuk menyatakan secara grafis untuk
menggambarkan dinamika sistem
pengaturan.
• Grafik aliran sinyal digunakan secara
luas dalam analisa dan desain sistem
pengaturan.
•
•
•
•
Dasar Grafik Aliran Sinyal
Persamaan Aljabar :
Xi = Aij Xj
Variabel Xi dan Xj dapat merupakan fungsi waktu,
kompleks frekuensi atau besaran lain bahkan suatu
konstanta.
• Aij disebut fungsi transmisi, merupakan operator
matematis yang memetakan Xj ke Xi.
• Grafik aliran sinyal persamaan aljabar diatas
digambarkan sbb :
Node
Xj
Aij
Branch
( Cabang )
Node
Xi
• Aljabar grafik aliran sinyal
– Aturan penjumlahan
X1
A i1
X2
X3
n
Xi   A ij X j
j 1
Xn
- Aturan transmisi
Xi = Aik Xk i = 1, 2, …, n
k : tetap
A i2
.
.
.
.
A i3
Xi
A in
X1
A 1k
A 2k
A 3k
Xk
A nk
X2
X3
.
.
.
.X
n
– Aturan perkalian
• Xn = A21.A32.A43……An(n-1).X1
A 21
X1
A 32
X2
A n(n-1)
X3
Xn-1
Xn
A 21.A 32 ......... A n(n-1)
X1
Xn
• Definisi-definisi
A 42
A 33
A 21
X1
A 32
X2
A 43
X3
A 23
X4
• Path adalah sederetan cabang-cabang yang kontinyu dan satu
arah dimana tidak ada sebuah node yang dilalui lebih dari 1 kali.
Path : X1X2X3X4 , X2X3X2
• Input node/source adalah suatu node hanya dengan cabang
yang arahnya keluar.
Source : X1
• Output node/sink adalah suatu node hanya dengan cabang
yang arahnya masuk.
Sink : X4
• Forward path adalah jalur dari input node ke output node.
Forward path : X1X2X3X4 , X1X2X4
• Feedback path/loop adalah jalur yang bermula dan berakhir
pada node yang sama.
Feedback path : X2X3X2
• Self loop adalah feedback path yang terdiri dari sebuah
cabang.
Self loop : A33
• Gain dari suatu cabang adalah fungsi transmisi dari cabang itu
jika fungsi transmisi merupakan operator perkalian. A33 adalah
gain dari self loop jika A33 adalah konstanta atau fungsi alih.
• Path gain adalah perkalian dari gain-gain cabang yang dilalui
dalam menjalani path. Path gain dari forward path X1 ke X2 ke
X3 ke X4 adalah A21A32A43.
• Loop gain adalah perkalian dari gain-gain cabang dari suatu
loop. Loop gain dari X2 ke X3 dan kembali ke X2 adalah
A32A23.
• Dummy Node
• Node tambahan sesudah output, karena output harus di
feedback kan.
• Fungsi transmisi sama dengan 1, hasil tetap.
X1
A1
X2
A2
X3
A3
X1
A1
X2
A2
X3
1
X4
X4 = Dummy Node
Catatan :
X3 = X4
• KONSTRUKSI GRAFIK ALIRAN
SINYAL
– Bentuk Persamaan Sistem
• Membentuk persamaan simultan
• Variabel N
• N persamaan
– Menyusun Node
• Susunan dari kiri ke kanan
• Dimungkinkan pengaturan penyusunan jika diperlukan
– Hubungan antar Node
• Hubungkan node-node dengan branch yang tepat
– Output Node
• Tidak bercabang
• Bercabang
– Output Node Bercabang
• Bercabang sebagai feedback dari output
• Perlu dummy node, sebagai output node
• Unity gain branch pada dummy node
– Dummy Node
• Node “bantu” untuk perhitungan
• Hasil akhir tetap karena unity gain branch.
Diagram Blok
G2
+
R
+
G1
+
+
H1
Membuat Grafik Aliran Sinyal
G2
R
1
G1
H1
1
C
C
• Diagram Blok
G2
+
R
G1
+
+
+
C
H1
• Grafik Aliran Sinyal
G2
R
1
1
G1
C
H1
Fungsi Alih menurut Mason :
 Pii
T i
T : Ratio output dan input variabel.

Pi : Forward path gain ke i.
Pjk : Perkalian yang mungkin ke j dari k buah penguatan lup yg tidak
bersentuhan.
 = determinan grafik
1   1 k  1   Pjk
=
k j
1   Pj1   Pj2   Pj3  ........
j
j
j
= 1- ( jumlah semua lup gain ) + (jumlah dari semua perkalian gain
2 lup yang tidak bersentuhan ) – jumlah dari semua perkalian gain
3 lup yang tidak bersentuhan ) + ……dst
i : kofaktor determinan ;yaitu  dievaluasi
semua lup yang menyentuh Pi dihilangkan.
Contoh : Rangkaian Listrik
+
C
V1
I1
-
+
R
V2
-
Hukum Kirchhoff (Notasi Laplace)
I1
=
sC (V1 - V2 )
V2 =
I1 . R
Grafik Aliran Sinyal
V1
SC
I1
R
P1
=
sC R
P11
=
- sC R

=
1 - ( - sC R)
1
=
1
Gunakan rumus penguatan Mason
-SC
V  R Cs
V
RC s 1
2
Rangkaian RC Seri
V2
1
C
+
V1
I1
V2
R
C
I2
+
R
-
I1 =
V2 =
V3 =
V3
-
SC (V1 - V2)
R.(I1 - I2)
I2.R
I2 = sC (V2 - V3)
SC
V1
I1
-sC
-R
-sC
R
SC
R
V2
I2
V3
P1 =
s 2 R2 C2
P11 =
P21 = P31 = -sC R
P12 =
P11 P31 =
s 2 R2 C2
 = 1 - (P11 + P21 + P31) + P12
= 1 + 3 sCR + s2C2R2
1 =
1
s2C2R2
P11
T


1  3sCR  s2C2R2
Mencari Fungsi Alih
+
R
+
-
+
G4
G1
+
G2
G3
+
+
C
+
H1
H2
Grafik Aliran Sinyal
H1
1
1
G1
G4
G2
G3
R
1
C
-1
H2
Ada 2 Forward Path
P1
P2
=
=
G1 G2 G3
G1 G4
Ada 5 Lup (Feedback)
P11
=
G1 G2 H 1
P21
=
G2 G3 H 2
P31
=
- G1 G2 G3
P41
=
G4 H2
P51
=
- G1 G4
Determinan Grafik

=
1 - (P11 + P21+ P31 + P41 + P51)
1
=
1
2
=
1
C  P  P 
R

1
1
2
2
C
G1G2G3  G1G4

R 1  G1G2 G3  G1G2H1  G2G3H1  G4H2  G1G4
Reduksi Diagram Blok
Diagram Blok
G3
+
R
+
-
+
G1
G4
G2
H1
H2
+ +
+
C
G2
1
G1G4
G2
R
Ada 2 Forward Path
P1
=
P2
=
Ada 3 Lup
P11
=
P21
=
P31
=

=
1
H1
G1 G2 G4
G1 G3 G4
C
H2
G1 G4 H 1
- G1 G2 G4 H 2
- G1 G3 G4 H 2
1 - (P11 + P21 + P31)
Tidak ada lup yang tidak menyentuh
 1=
2
=
1
Gunakan rumus penguatan Mason.
1
GG G GG G
C
R 1 G G H  G G G H  G G G H
1
1
R
4
1
2
4
1
1
2
4
3
2
4
1
3
4
C
+
-
G
H
Fungsi Alih Blok diagram diatas :
Pada rumus penguatan Mason,
G
 Pii
i
GH    1
2
Dapat dicari :
G  G1G4 G2  G3 
GH G2  G3 H2  H1
H

G
G2  G3
Diagram Blok
Tereduksi
R
+
C
G

R 1  GH
G1 G4 (G2 + G3)
[ ( G2 + G3 ) H2 - H1 ] / ( G2 + G3)
Penutup
• Transformasi Laplace Balik (inverse Laplace transform)
mengembalikan perhitungan ke domain waktu
• Metode reduksi dengan Signal flow graph (grafik aliran
sinyal) memudahkan penyederhanaan diagram blok
yang rumit secara matematis dan juga grafis dengan
formula Mason.