Transcript 20140603論文進度

不同死亡率下的保證終身提領
給付保險附約評價
指導老師：戴天時、楊曉文
學生：徐健勳
大綱
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研究動機
GLWB介紹
死亡率介紹
文獻探討
死亡率模型參數估計
死亡率預測
模型比較
研究動機
• 張國培（2012）提出在隨機利率及隨機死亡率評
價保證終身提領給付附約
（Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefit；GLWB）
– 較貼近真實世界來評價GLWB
– 使用Biffs（2005a）的隨機死亡率模型
• 各國所適用之死亡率模型不同
• 比較不同死亡率模型的預測值對評價結果之影響
GLWB介紹
GLWB
遞延期
提領期
• 遞延期：無法提領帳戶價值，主要為累積帳戶價值用，每期需增
資一筆金額到此帳戶。
• 提領期：投保人每期可領取一筆固定年金金額，直到投保人死亡
。而超過固定年金金額的部份須乘上懲罰比率當違約金
• 在遞延期或提領期投保人死亡時，皆可提領死亡當時的帳戶價值
為死亡保險金
死亡率介紹
名詞定義
m x, t ：（central death
rate）在t年時，x歲的死亡率
q x, t  ：（mortality rate）在t年時，x歲的死亡機率
 x, t ：（mortality force）在時間t，x歲的瞬間死亡率
死亡率的關係
假設、瞬間死亡率在x歲t年裡都不變，即
 x, t    x  s, t  u  for 0  s, u  1
relationship 1 : m x, t     x, t 
relationship 2 : q x, t   1  e    x ,t   1  e  m  x ,t 
死亡率資料形式
文獻探討
Cairns, Blake, Dowd, Coughlan,
Epstein, Ong, and Balevich, 2007
• 討論下列7個模型，及其參數最佳估計值的方法，並以英
格蘭和威爾斯在1961至2004年、60-89歲以及美國19682003年、60-89歲的資料做為研究分析。
• 並以Bayesian Information Criterion（BIC）為判斷模型參數
估計是否精確的依據
死亡率模型
Model Formula M1 log ( m ( x, t )) = b x(1) + b x(2)k t + e ( x, t )
M 2 log ( m ( x, t )) = b x(1) + b x(2)k t + b x(3)g t-x + e ( x, t )
M 3 log ( m ( x, t )) = b x(1) + k t + g t-x + e ( x, t )
M 4 logit ( q ( x, t )) = k t(1) + k t(2) ( x - x ) + e ( x, t )
M 5 logit ( q ( x, t )) = k t(1) + k t(2) ( x - x ) + g t-x + e ( x, t )
(
)
M 6 logit ( q ( x, t )) = k t(1) + k t(2) ( x - x ) + k t(3) ( x - x ) - sˆ x2 + g t-x + e ( x, t )
2
M 7 logit ( q ( x, t )) = k t(1) + k t(2) ( x - x ) + g t-x ( xt-x - x ) + e ( x, t )
æ q ( x, t ) ö
÷÷
logit ( q ( x, t )) = log çç
è 1- q ( x, t ) ø
Lee, Wang, Huang, 2012
• 在風險中立測度時，無法直接帶入真實世界下的死亡率，
而須使用風險中立測度下的死亡率，因此本文使用WangTransform將真實世界下的死亡率轉換為風險中立機率下的
死亡率。
v
v
 1

1
F  g1 , , g v     F1  g1  -   j1, j ,  ,  Fv  g v  -   jv , j 
j1
j1


Q
• 其中上標Q表示風險中立機率；無上標代表真實世界的機
率；𝜆為風險中立調整因子；𝜗為g的相關性

F Q  g     1 F  g  - 

A.E. Renshaw, S. Haberman, 2006
• 提出藉由ARMA模型預測時間序列𝜅𝑡 和𝛾𝑡−𝑥 ，在透過LeeCarter模型的延伸版M2預測死亡率，其預測方式如下：
m x, tk h   mx, tk F x, tk h 
• 其中𝑚 𝑥, 𝑡𝑘+ℎ 為預測死亡率；𝑚 𝑥, 𝑡𝑘 為𝑡𝑘 年且𝑥歲的歷
史資料；𝐹 𝑥, 𝑡𝑘+ℎ 為預測函數，其函數如下：
 


F x, tk  h   exp ˆx( 2) t k h  ˆt k  ˆx(3) t k h  x  ˆt k  x

• 𝜅𝑡𝑘+ℎ 和𝛾𝑡𝑘+ℎ−𝑥 分別透過ARMA模型預測所得的periodeffect與cohort-effect。
張國培, 2012
Tj
é
ù
- ò ru du
ax = E êåC j e 0
T j Px ú
êë j=0
úû
é - ò 0Tj ru du ù
é
ù
= å E êC j e
×
E
P
ú ë Tj x û
ë
û
j=0
C j
：表示投資金額
a x
：表示 x 歲的人購買一個未來第 j 期會支付 C 元的生存年金現值
Tj
px ：存活率
死亡率模型參數估計
Poisson Distribution
D x, t  ~ Poisson(  E  x, t  m x, t )
假定t年x歲暴露在死亡風險的人數為𝐸 𝑥, 𝑡 而死
亡人數為𝐷 𝑥, 𝑡 。
其中𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑘 且𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛 。
最大概似函數
Lm D, E    Dx, t  lnmx, t   E x, t   mx, t   Constant
x ,t
Let l  x, t  D x, t    f Dx, t   x, t 
x ,t

x ,t
 x,tD  x ,t   e   x ,t 
D  x, t  !
 L  x, t  Dx, t   ln l  x, t  Dx, t 
  Dx, t  ln   x, t     x, t   lnDx, t !
x,t
 Lm x, t  Dx, t , E x, t    Dx, t  lnE  x, t   m x, t   E x, t   mx, t   lnDx, t !
x,t
  Dx, t  lnE x, t   D x, t  lnmx, t   E  x, t   mx, t   lnD x, t !
x,t
  Dx, t  lnmx, t   E x, t   mx, t   Constant
x,t
Model M1
l og (m x, t )   x(1)   x( 2 ) t    x, t 
Lee與Carter（1992）發表的死亡率模型
m x, t 
: x年齡在t年時的死亡率
: t年時的死亡率強度（趨勢）
t
: x年齡死亡率取log的平均值
 x(1)
 x( 2 ) : x年齡相對死亡率的變化速度（趨勢的反應程度）
 x, t  : 模型的殘差項
Model M1
• Lee-Carter模型在估計上會有參數不唯一的問題，舉例如
下：
~ (1) ~ ( 2) ~
logmx, t    x   x  t   x, t 
~ (1)
where  x   x(1)  b x( 2)
~ ( 2)
x 
 x( 2)
a
and ~t  a t  b 
(1)
(2)
• 對於一組解 𝛽𝑥 , 𝛽𝑥 , 𝜅𝑡 可透過上述式子得到另一組解
(1)
(2)
𝛽𝑥 , 𝛽𝑥 , 𝜅𝑡 。為了規避這問題，在模型中加入以下限制
式：
 t  0 and
 x( 2)  1


t
x
Model M1








L  x(1) ,  x( 2) ,  t   Dx, t    x(1)   x( 2) t  E x, t   ln  x(1)   x( 2) t  Constant
x ,t
• 將Model M1代入最大概似估計函數，且不考慮殘差項
(1)
(2)
(2)
• 𝐿 𝛽𝑥 , 𝛽𝑥 , 𝜅𝑡 存在雙線性項（Bilinear）𝛽𝑥 𝜅𝑡
• 因此我們利用遞迴的方式估計含雙線性項的模型參數𝜃
ˆ ( v 1)  ˆ ( v ) 
L( v )
 2 L( v )

 2
遞迴公式
ˆ ( v 1)  ˆ ( v ) 
L( v )
 2 L( v )

 2
L
  [ D x, t ˆ x( 2 )  ˆ x( 2 ) E  x, t  exp( ˆ x(1)  ˆ x( 2 )ˆt )]   [ D x, t   Dˆ  x, t ]ˆ x( 2 )
 t
x
x
 
 
2
2L
( 2)
ˆ
ˆ (1)  ˆ ( 2 )ˆ )]   Dˆ  x, t  ˆ ( 2 )





[
E
x
,
t
exp(

x x
x
x
x
t
x
2
 t
ˆt ( v 1)  ˆt( v ) 
 
 [ Dx, t   Dˆ (v ) x, t ] ˆx( 2)
x
 
  Dˆ  x, t ( ˆ x( 2 )
x
(v)
)2
(v)
2
最大概似估計法
  , ˆ   
Step1 : choose ˆ x1
 
Step 2 : ˆ x1
( v 1)
2 (0)
(0)
x
 [ Dx, t   Dˆ x, t ]  
, ˆ 

  Dˆ  x, t 
(v)
 
 ˆ x1
, ˆt( 0 )
(v)
2 ( v 1)
t
x
(v)
 
 ˆ x2 
(v)
,ˆt( v 1)  ˆt( v )
t
Step 3 : ˆt( v  2 )  ˆt( v 1) 
 
, ˆ   

x, t (ˆ    )
 [ Dx,t  Dˆ v1 x, t ] ˆx2 
x
  Dˆ v 1
2
( v 1)
( v 1)
1
x
2
(v 2)
  , ˆ   
 ˆ x1
( v 1)
2
x
(v 2)
 
 ˆ x2 
( v 1)
x
x
 
Step 4 : ˆ x2 
( v  3)
 
 ˆ x2 
(v 2)
 [ D  Dˆ   x, t ]ˆ

)
  Dˆ    x, t (ˆ
v2
x ,t
(v 2)
t
t
v2
t
(v 2) 2
t
 
, ˆ x1
( v  3)
 
 ˆ x1
(v 2)
, ˆt( v 3)  ˆt( v  2 )
Model M2
l og (m x, t )   x(1)   x( 2 ) t   x(3) t  x    x, t 
Renshaw與Haberman（2006）將世代效應納入Lee-Carter
模型。含cohort-effect的死亡率模型
 tx
: t-x的世代死亡率趨勢
  t  0 and
t
  t x  0 and
x ,t
( 2)

 x 1
x
( 3)

 x 1
x
Model M2







L  x(1) ,  x( 2 ) ,  t   D x, t   x(1)   x( 2 ) t   x(3) t  x  E  x, t  ln  x(1)   x( 2 ) t   x(3) t  x  Constant
x ,t
ˆ x1  ˆ x1
 [ Dx, t   Dˆ x, t ]

  Dˆ  x, t 
; ˆt  x  ˆt  x 
t
[D
x
t
ˆt  ˆt 
[D
x
x ,t
 Dˆ  x, t ]ˆ x2 
 
  Dˆ  x, t  ˆ x2 
;
3
x
3
tx
t
x
t
t
x
2
t
t
2
[ D  Dˆ  x, t ]ˆ

ˆ    ˆ   
  Dˆ  x, t (ˆ )
tx
x ,t
x
 
  Dˆ  x, t  ˆ x3
x ,t
2
[ D  Dˆ  x, t ]ˆ

ˆ    ˆ   
  Dˆ  x, t (ˆ )
2
 Dˆ  x, t ]ˆ x3 
x
x
2
x ,t
t
2

Model M3
l og (m x, t )   x(1)   t   t  x    x, t 
Currie（2006）提出更簡化的APC模型

t
t
 0 and

x ,t
tx
0
Model M3







L  x(1) ,  x( 2 ) ,  t   D x, t   x(1)   t   t  x  E  x, t  ln  x(1)   t   t  x  Constant
x ,t
ˆ 1
 x  ˆ
1
x
 [ Dx, t   Dˆ x, t ]

  Dˆ  x, t 
t
t
ˆt  ˆt
 [ D  Dˆ x, t ]

  Dˆ  x, t 
x ,t
x
x
; ˆt  x  ˆt  x
 [ D  Dˆ x, t ]

  Dˆ  x, t 
x ,t
x
x

Model M4
logitqx, t   t(1)  t( 2) x  x    x, t 
Cairns、Blake與Down（2006）（CBD）提出的死亡率模型
𝑥 − 𝑥 表示年齡離均值越遠對死亡率的影響也越大。
Model M4


Lm D, E    D x, t  ln ln 1  e
 t1   t( 2 )  x  x 
 Ex, t ln1  e
 t1   t( 2 )  x  x 
x ,t
Lm D, E    Dx, t  lnmx, t   E x, t   mx, t   Constant
x ,t
logit q x, t    t(1)   t( 2 )  x  x 
 q  x, t  
   t(1)   t( 2 )  x  x 
 log
 1  q  x, t  
 1  p  x, t  
   t(1)   t( 2 )  x  x 
 log
 p  x, t  
p
e
1
 x, t   1  e
m  x ,t 
1  e

(1 )
(2)
t  t
x x 
 t(1)  t( 2 )  x  x 
 m x, t   ln 1  e
 t(1)  t( 2 )  x  x 

 Constant 
Model M4


Lm D, E    D x, t  ln ln 1  e
 t1   t( 2 )  x  x 
 Ex, t ln1  e
 t1   t( 2 )  x  x 
 Constant 
x ,t
ˆ ( v 1)  ˆ ( v ) 
L( v )
 2 L( v )

 2
ˆ 1  ˆ  2 
ˆ 1  ˆ  2 
L
1
e  t  t  x  x 
e  t  t  x  x 
  [ D  x, t  

  x  x   E  x, t  
  x  x ]
ˆt1  ˆt 2   x  x 
ˆt1  ˆt 2   x  x 
ˆt1  ˆt 2   x  x 
 t2 
ln 1  e
1 e
1 e
x
1
1
1




  [ D  x, t  


x

x

E
x
,
t

  x  x ]

1

2

1

2

1

ˆt ˆt  x  x 
 ˆt ˆt  x  x 
 ˆt ˆt 2   x  x 
ln 1  e
e
1
e
1
x
L
f  t2   2 
 t




 
2L
   
2
t
2
 lim
 0

  
f  t2     f  t2 

Model M5
logitqx, t   t(1)  t( 2) x  x    t x   x, t 
Cairns et al.（2007）考慮將世代效應納入CBD模型
Model M6


logitqx, t   t(1)  t(2) x  x   t(3) x  x   ˆ x2   t x   x, t 
其中𝜎𝑥2 =
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝑥
2
2
Cairns et al.（2007）提出某些死亡率資料，以logit 𝑞 𝑥, 𝑡
描點繪圖時會有曲線的出現，因此在M5加入二次項的模型
Model M7
logitqx, t   t(1)  t(2) x  x    tx xc  x   x, t 
其中𝑥𝑐 為一個固定的常數
Cairns et al.（2007）根據M2模型考慮年齡對於世代的反應程度，
因此提出與之類似的M7模型
死亡率預測
時間序列模型
ARMA（p, q）模型
𝑝
𝑦𝑡 = 𝜔 +
𝑞
𝜑𝑗 𝑦𝑡−𝑗 +
𝑗=1
𝜃𝑗 𝑒𝑡−𝑗
𝑗=0
𝜔、𝜑𝑗 、𝜃𝑗 依序為drift、AR參數與MA參數；而 𝑒𝑡 ~𝑁 0, 𝜎 2 ，
𝜎 2 由參數校準估出
Stationary
• 單位根檢驗（Unit Root Test）
– 單位根檢驗是檢測資料序列是否定態
• 非定態時間序列可透過差分方法來消除單位根進
一步得到定態時間序列
• 單位根檢驗方法：
– ADF-test, PP-test, NP-test 等..
模型配適
AIC = 2k - 2 ln(L)
BIC = -2 ln(L) + k ln(n)
L：概似函數
k：參數數量
n：觀察值數量
預測死亡率
Lee-Carter
Model M1
ln(m x, t )   x   x  t    x, t 
1
2 
x ,t n  r


2 
2 
ˆ
ˆ
mˆ  x, t k  h   m x, t k  exp  x ˆtk h   x ˆtk , h  0
預測死亡率
CBD
Model M4
logitqx, t     
(1)
t
( 2)
t

x  x    x, t 
logit q x, t k  h   logit q x, t k   ˆtk1h  ˆtk1

mx, t   ln 1  e


2 
2 
ˆ
ˆ
  tk h   tk   x  x     x, t k  h , h  0
logit  q  x ,t 

模型比較
模型比較
MAPE and BIC
1 n Ai  Fi
MAPE  
100%
n i 1 Ai
where Ai is the actual value and Fi is the forecast value

1
ˆ
BIC  l    log N
2
𝜙表示最大概似估計值；𝑙 𝜙 表示最大概似估計值取log；N為
資料個數；𝜈是參數個數。
換言之，BIC越大表示其模型參數估計較為精確
比較結果
BIC
MAPE
MAPE
estimation
forecast
M1
-33656.9
3.14%
3.67%
M2
-26496.3
2.02%
5.06%
M3
-33961.3
5.16%
2.47%
M4
-71061.4
6.38%
3.45%
M5
-51282.9
5.41%
5.53%
M6
-44192.4
5.28%
5.05%
M7
-47588.8
4.84%
5.38%
GLWB結果
Fair Charge
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
5.7444763%
11.012421%
0.0054932%
5.7616425%
4.5426750%
6.3432312%
5.4210663%