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新人教版七年级数学
§4.1多姿多彩的图形
一、多姿多彩的图形
用形状、大小完全相同的
一种或几种平面图形进行拼接，
彼此之间不留空隙、不重叠地铺
成一片，就是平面图形的镶嵌。
天鹅的规则平面镶嵌
马的规则平面镶嵌
二、同一种正多边形镶嵌情况
1、正三角形能否镶嵌？
60°
60° 60°
60° 60°
60
°
原因：每一个角60°,60
°×6
=360°
任意三角形能否镶嵌？
C
情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌
2.四边形能够镶嵌吗？
90o
原因：每一个角90°,90
°×4
=360°
任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？
3.正六边形能否镶嵌？
原因：每一个角120°,120
°×3
=360°
正多边形镶嵌成一个平面的条件：
一个顶点处的各角之和为360度.
4、为什么正五边形不能镶嵌？
若三个正五边形
有缝隙-不可以镶嵌
若四个正五边形
108 °
会重叠-不可以镶嵌.
原因：每一个角108°
三个时108 °×3 ＜360°
四个时108 °×4 ＞360°
正三角形可以镶嵌
正方形可以镶嵌
正六边形可以镶嵌
正五边形不可以镶嵌
5、用同一种正多边形镶嵌有几种情况？
设在一个点周围有 k 个正n 边
形的角恰好覆盖平面则有:
(n-2)× 180o
o
k ·
=
360
n
k
=
2n
(n-2)
2n-4+4
2n
=
k =
(n-2)
=2+
(n-2)
4
(n-2)
∵ k 、 n 为正整数
∴ n-2=1或2或4
n=3或4或6
由n=3或4或6
这就得到：
用同一种边长相等的正多边形
镶嵌只有正三边形、正四边形、正
六边形三种情况.
三、两种正多边形镶嵌情况
1.两个正方形和三个正三角形镶嵌
90o ×2
+ 60o ×3 =360°
2.2个正三角形和2个正六边形镶嵌
60 o×2 +120 o×2 =360°
3、4个正三角形和1个正六边形镶嵌
60o ×4
+ 120o ×1 =360°
60°
60°
60°
60°
120°
4、1个正三边形和二个正十二边形
（正十二边形每一个角150o ）
60o ×1 + 150o ×2 =360°
5、1个正方形形和2个正八边形镶嵌
90o ×1
+ 135o ×2 =360°
6.两个正五边形和一个正十边形
108o × 2+ 144o ×1 =360°
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
7. 两种正多边形进行镶嵌
有多少种情况？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1个正三角形，2个正12边形；
2个正三角形，2个正6边形；
3个正三角形，2个正4边形；
4个正三角形，1个正6边形；
1个正四边形，2个正8边形；
2个正五边形，1个正10边形.
四、 三种正多边形镶嵌情况
(1) 1个正三角形、2个正方形和1个正六边形镶嵌
(2)2个正三角形，1个正4边形，1个正12边形镶嵌
60o ×2 + 90o ×1 +150o × 1 =360°
(3)1个正三角形，1个正8边形，1个正24边形镶嵌
60o ×1
+ 135o ×1 +165o × 1 =360°
正8边形
正24边形
(4)1个正三角形，1个正9边形，1个正18边形镶嵌
60o ×1
+ 140o ×1 +160o × 1 =360°
(5)1个正三角形，1个正10边形，1个正15边形镶嵌
60o ×1
+ 144o ×1 +156o × 1 =360°
(6)1个正四边形，1个正5边形，1个正20边形镶嵌
90o ×1
+ 108o ×1 +162o × 1 =360°
7、1个正四边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌
150o ×1
+ 90o ×1 +120o × 1 =360°
1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果
(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌
60o + 5 /7× 180o +40/42 × 180o =360°
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
17种可能镶嵌的正多边形如下：
正多形1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,3,3,3,3,3
4,4,4,4
6,6,6
3,3,3
3,3,3,3
3,3
3
4
5,5
正多形2
4,4
6
6,6
12,12
8,8
10
10
11
12
13
14
15
16
17
正多形1
正多形2
正多形3
3
3,3
3
3
3
3
4
4
4,4
4
7
8
9
10
5
6
6
12
42
24
18
15
20
12
五、 正多边形镶嵌情况分析
1、同一种正多边形镶嵌
三种情况：① 3、3、3、3、3、3；
② 4、4、4、4；
③ 6、6、6.
2、两种正多边形镶嵌情况分析：
①.1个正三角形 60O+2×150O=360O
②.2个正三角形 120O+2×120O=360O
③.3个正三角形 180O+2×90O=360O
④.4个正三角形 240O+1×120O=360O
⑤.1个正方形
90O+ 2×135O=360O
⑥.2个正五多边形 2×108O+144O=360O
两种正多边形镶嵌情况
1
3
12,12
2
3,3
6,6
3
3,3,3
4,4
4
3,3,3,3
6
5
4
8,8
6
5,5
10
3、三种正多边形镶嵌情况分析：
（1）. 假如三种正多边形中包含两个正3边形
（三个是不可能的，因为三个正三边形角和是180o，
其它正多边形的两个角是不可能为180o
那么：另外两个正多边形的两个内角和就是
240o,这样的两个角只能是90o、150o了，就是正4
边形正12边形。
即3、3、4、12组合
（2）.假如三种正多边形中包含两个正4边形
同样可以得到3、4、4、6组合
（3）. 假如三种正多边形中只有一个正3边形，
另外两种正多边形的边数为n1，n2， (不妨设
n1 ≤ n2 ）且每一个顶点处，一种正多边形只
有一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有
(3-2)×180o
＋
3
(n1-2)×180o
n1
(n2-2)×180o
＋
= 360o
n2
1
1
＋
n1
n1 =
n2
6
1
=
＋
6
36
n2-6
显然：n2-6=36、18、12、9、4、3、2、1
n2=42、24、18、15、10、9、8、7
所以
n1=7、8、9、10、15、18、24、42
得到组合:
3、10、15；
3、9、18；
(n1 ≤ n2 ）
3、8、24；
3、7、42。
（ 4）. 假如三种正多边形中最小的是一个正
方形（两个是不可能的，因为两个正方形角和是
180o，其它正多边形的两个角和大于180o ）
另外两种正多边形的边数为n1，n2， (不妨设n1 ≤
n2 ）且每一个顶点处，一种正多边形只有一个，
那么根据平面镶嵌的条件，必须有
(4-2)×180o
＋
4
(n1-2)×180o
n1
＋
(n2-2)×180o
n2
= 360o
1
n1
＋
1
n2
n2 = 4
1
=
＋
4
16
n1-4
显然：n1-4=16、8、4、2、1
n1=20、12、8、6、5
所以
n2=5、6、8、12、20
得到组合4、6、12和4、5、20
（5）. 假如三种正多边形中最小的是
一个正五边形，同样可以得到:
1
n1
1
＋ n
2
3
=
10
这个方程没有正整数解（这里不再说明）
（6）.n1 ≥6时 三个角的和会大于360o
因此，用三种正多边形镶嵌只有下面8种情况
三种正多边形进行镶嵌情况？
1
2
3
4
5
6
7
8
3
3,3
3
3
3
3
4
4
4,4
4
7
8
9
10
5
6
6
12
42
24
18
15
20
12