《电路分析基础》 第六章 一阶电路 第六章 一阶电路 学习目标和要求 目标 了解暂态和稳态的 区别和联系；理解 零输入响应、零状 态响应、全响应等 概念；充分理解一 阶电路中暂态过程 的规律；深刻理解 时间常数及其物理 意义；熟练掌握三 要素法。 重点 一阶电路的零 输入响应、零 状态响应的变 化规律；运用 三要素法求一 阶电路 难点 初始值的求解； 第六章 一阶电路 6.1 分解方法的应用 6.2 零状态响应 6.3 零输入响应 6.4 线性动态电路中的叠加定理 6.5 三要素法 6.1 分解方法的应用 一阶电路的定义： 如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称为一阶电路， 而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言，如果电路 中含有n个独立的动态元件，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电路也称为n阶电路。 6.1 分解方法的应用 分解方法在这里的运用： 首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两部分。 含源 电阻 网络 (a) 单一电容元件电路 6.1 分解方法的应用 其次，将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。 (b) 用戴维南定理化简 (c) 用诺顿定理化简 6.1 分解方法的应用 第三，求解简单一阶电路，得到 uC(t) 或 iL(t)。 u R 0 ( t ) u C.
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《电路分析基础》
第六章
一阶电路
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第六章
一阶电路
学习目标和要求
目标
了解暂态和稳态的
区别和联系；理解
零输入响应、零状
态响应、全响应等
概念；充分理解一
阶电路中暂态过程
的规律；深刻理解
时间常数及其物理
意义；熟练掌握三
要素法。
重点
一阶电路的零
输入响应、零
状态响应的变
化规律；运用
三要素法求一
阶电路
难点
初始值的求解；
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第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 4
6.1
分解方法的应用
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称为一阶电路，
而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言，如果电路
中含有n个独立的动态元件，描述该电路的就是n阶微分方程，
相应的电路也称为n阶电路。
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6.1
分解方法的应用
分解方法在这里的运用：
首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两部分。
含源
电阻
网络
(a) 单一电容元件电路
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6.1
分解方法的应用
其次，将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。
(b) 用戴维南定理化简
(c) 用诺顿定理化简
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6.1
分解方法的应用
第三，求解简单一阶电路，得到 uC(t) 或 iL(t)。
uR0 (t ) uC (t ) uOC (t )
根据VCR得：
duC (t )
uR 0 (t ) R0i (t ), i (t ) C
dt
代入上式得：
duC (t )
R0C
uC (t ) uOC (t )
dt
Slide 8
6.1
分解方法的应用
类似地，根据图(c)，
由KCL和元件的VCR可得：
duC (t )
C
G0uC (t ) iSC (t )
dt
如果给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的uOC(t)或iSC(t)，
便可由上述两式解得t≥t0时的uC(t)。
Slide 9
6.1
分解方法的应用
而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：
diL (t )
L
R0iL (t ) uOC (t )
dt
diL (t )
G0 L
iL (t ) iSC (t )
dt
如果给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的uOC(t)或iSC(t)，
便可由上述两式解得t≥t0时的iL(t)。
Slide 10
6.1
分解方法的应用
最后，回到原电路，将电容用一电压源（其值为
uC(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）
置换，再求出电路中其余变量。
因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关键的
步骤是先求得uC(t)或iL(t)。
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第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 12
6.2
零状态响应
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这种电路
相当于有两个独立电压源。
因此，根据叠加原理，其分解电路如下图所示：
Slide 13
6.2
零状态响应
图(a)中，仅仅由独立源在t≥t0时产生的响应称为零状态
响应。
图(b)中，仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应
称为零输入响应。
两种响应之和当然就是总响应或称之为全响应，它是
由输入和非零初始状态共同作用的响应。
Slide 14
6.2
零状态响应
本节先讨论由输入恒定电源产生的一阶电路的零状态响应。
＋
S
t=0
US
－
R
iC
C
＋
－
uC
上图所示电路在换路前电容元件的原始能量为零，
t=0时开关S闭合之后电容上电压、电流的变化称为
RC电路的零状态响应。
Slide 15
6.2
零状态响应
根据第一节RC电路的公式可得t≥0时的电路方程为：
duC (t )
RC
uC (t ) U S
dt
＋
US
S
t=0
R
iC
C
－
＋
－
uC
初始条件：uC(0)=0。 解此方程即可得到uC(t)。
有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，这里再简单
回顾一下。
Slide 16
6.2
零状态响应
关于一阶微分方程的求解
设一阶常系数非齐次微分方程为：
dx
A xB
dt
上式的解由两部分组成：
其通解为：Ke
t
A
x(t)=通解+特解
,特解为常数B。因此
x(t ) Ke
设初始值x(0)=0,则K=-B。所以
t
A
B
x(t ) B(1 e
t
A
)
Slide 17
6.2
零状态响应
根据以上解的情况，可得
duC
RC
uC U S
dt
uC (t ) U S Ae
的解
t
RC
由初始条件 uC (0+)=0 确定积分常数 A。
A= -US 因此：
uC (0+)=A+US= 0
uC U S U S e
t
RC
U S (1 e
从以上式子可以得出：
t
RC
)
(t 0)
duC U S
i C
e
dt
R
t
RC
Slide 18
6.2
零状态响应
说明
①由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一
指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：
+
稳态分量（强制分量）
US
0
-US
uC
ucp
暂态分量（自由分量）
US
R
i
跃变
t
uch
uC U S (1 e
t
RC
)
连
续
函
数
t
0
US
i
e
R
t
RC
Slide 19
6.2
零状态响应
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;
令 =RC ,它称为一阶电路的时间常数，因为：
库
安秒
秒
RC 欧 法 欧 欧
伏
伏
时间常数 是一阶电路非常重要的参数，因为
它的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。
大→过渡过程时间长
小→过渡过程时间短
Slide 20
6.2
t
uC U 0 e
0
零状态响应
2
3
5
t
U0 U0 e -1
U0 e -2 U0 e -3
U0 e -5
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
由此可见：
是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的
时间。因此，工程上一般认为, 经过 (3 ~5) , 电
路的过渡过程基本结束。
Slide 21
6.2
零状态响应
同样，对于如图所示的RL电路，其电流的零状态
响应也可作类似分析。
(t >0) R iL
应用KVL和电感的VCR可得：
+
+
uL
Us
RiL (t ) uL (t ) US
–
-
diL (t )
uL (t ) L
dt
diL (t )
RiL (t ) L
US
dt
t
t
US
L
iL (t )
(1 e ) iL ()(1 e ), ＝ , t 0
R
R
t
diL
uL (t ) L
U Se
dt
不连续
连续
Slide 22
6.2
零状态响应
US
iL (1 e
R
R
t
L
diL
uL L
U Se
dt
US
R
)
R
t
L
iL
t
0
US
0
uL
t
Slide 23
6.2
零状态响应
• 以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电
路 在 t≥0时 的 零状 态 响应 。 这时 ， 电路内
的物理过程，实质上是动态元件的储能从
无到有逐渐增长的过程。因此：
• 电容电压或电感电流都是从它的零值开始
按指数规律上升到达它的稳态值，时间常
数τ分别为RC或L/R。
• 当电路到达稳态时，电容相当于开路，电
感相当于短路，由此可确定电容或电感的
稳态值。
Slide 24
6.2
零状态响应
• 零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常
数τ所确定的，只要掌握了它们按指数规律增
长的特点，求解时可不必每次再求解微分方程
，即可直接写出uC(t)、iL(t)。而掌握了uC(t)和
iL(t)后，根据置换定理就可求出其它各支路电
压和电流。
• 此外，若激励增大m倍，则零状态响应也相应
增大m倍，这称为零状态响应的比例性。
• 若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。
因此，零状态响应是输入的线性函数。
Slide 25
6.2
例1
零状态响应
t=0时,开关S闭合，已知 uC(0－)=0，求：(1)电容电压和
电流;(2) uC＝80V时的充电时间t 。
解 (1)这是一个RC电路零状态
响应问题，则有：
RC 500 105 5 103 s
uC U S (1 e
t
RC
S
i
100V 10F
+
－
) 100(1 - e-200t )V (t 0)
duC U S RCt
iC
e
0.2e200t A
dt
R
(2)设经过t1秒，uC＝80V，则有：
80 100(1 - e-200t1 ) t1 8.045ms
500
+
uC
-
Slide 26
6.2
例2
零状态响应
t=0时开关k打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。
5
2A
u
10
+ t>0
2H u
L
iL
–
K10
–
+
+ Req
u
2H
L
Uo
–
iL
－
解: 这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：
Req 10 10 20
U 0 2 10 20V
iL () U 0 / Req 1A
L / Req 2 / 20 0.1s
iL (t ) (1 e
10 t
)A
uL (t ) U 0e10t 20e10t V
u 5IS 10iL uL (20 10e10t )V
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第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 28
6.3
零输入响应
• 第二节讨论了零状态响应，即电容或电感
的初始状态为零，电路的响应仅由输入引
起。
• 实际中，电容或电感可能具有初始值，因
此，电路的响应除由激励引起的一部分外
，还有一部分是由电容或电感的初始值引
起的。
• 由初始值引起的响应部分的分析是把初始
值看成一个电压源或电流源（见上一章）
，然后按照前述同样的分析方法即可得到
所需结果。
Slide 29
6.3
零输入响应
1. RC电路
1 S
＋ t=0 2
US
－
R
左图所示电路在换路前已达稳态
＋
t=0时开关由位置1迅速投向位置2，
u
(0+）
C
C
之后由uC (0+)经R引起的电路响应
－
称为RC电路的零输入响应。
iC (0+)
根据RC零输入响应电路可列写出电路方程为：
duC
RC
uC 0
dt
对其求解可得：
t
t
u C (t ) u C (0)e U S e RC
式中：＝RC 为电路的时间常数。R是从电容C两
端看进去的等效电阻。
Slide 30
6.3
零输入响应
duC
U Se
iC C
C
dt
dt
t
RC
u C (0) RC
e
R
t
iCuC
US
0.368US
0
uC
t
τ
iC
iC(0+)
电阻上的电压：
uR (t ) U Se
t
t 0
Slide 31
6.3
零输入响应
2. RL电路
R
＋ u －
R
IS t=0
S
I0
＋
L uL
－
左图所示电路在换路前已达稳态。
t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，
暂态过程在R和L构成的回路中进行，仅
由iL (0+) =I0在电路中引起的响应称为RL
电路的零输入响应。
根据电路可列写出方程为:
di
Ri L 0
dt
对其求解可得：
iL (t ) I 0 e
L
其中 。
R
t
iL
R
t
(0)e L
Slide 32
6.3
零输入响应
diL
uL (t ) L
RI 0e
dt
由此可见
t
L/ R
①电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；
I0
iL
连续
函数
0
uL
t
0
t
-RI0
跃变
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与时间常数
有关; 大→过渡过程时间长； 小→过渡过程时间短。
Slide 33
6.3
零输入响应
【例1】如图所示电路，S原在位置1，且电路已达到稳态，t=0
时，开关由1合向2，试求t≥0时的电流i(t)。
【解】换路前：
R2
uC (0 )
10V
R R1 R2
4
10V 4V
2 4 4
换路后的电路如图(b)所示。
等效电阻
uC (0 ) uC (0 ) 4V
R R1 // R2
R1 R2
2
R1 R2
Slide 34
6.3
时间常数
零输入响应
RC (2 1)s 2s
故
uC uC (0 )e
t
4e 0.5 t V
uC ( t )
i
e 0.5 t A
R1
【例2】 t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。
S(t=0)
+
1
24V
–
2
2
iL
+
4
3
4 uL 6H
－
i
6 t >0
6
+
uL
–
6H
Slide 35
6.3
零输入响应
24
6
iL (0 ) iL (0 )
2A
4 2 3 / /6 3 6
【解】
L 6
1s
R 6
R 3 (2 4) / /6 6
diL
t
iL 2e A uL L
12et V t 0
dt
iL
u12 24 4 24 4e t V
2
S(t=0)
2
+
1
24V
–
2
iL
+
4
3
4 uL 6H
－
i
6 t >0
6
+
uL
–
6H
Slide 36
第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 37
6.4
线性动态电路中的叠加定理
若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电路
中的响应称为全响应。全响应是由输入和原始储能共
同产生的，且可通过叠加方式求出。因此：
线性一阶电路的叠加原理
若初始时刻为t=0，则对所有t≥0的时刻，有：
全响应=零状态响应+零输入响应
K(t=0)
R
US
+u –
R
uC (0-)=U0
K(t=0)
i
+
C u–C
=
US
R
+u –
R
uC (0-)=0
K(t=0)
i
+
C –uC
+
i
R
+u –
R
+
C
uC (0-)=U0
uC
–
Slide 38
6.4
线性动态电路中的叠加定理
Slide 39
6.4
线性动态电路中的叠加定理
Slide 40
6.4
线性动态电路中的叠加定理
Slide 41
第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 42
6.5
三要素法
如图所示
uC U 0e
t
，uC(0-)=U0，则
US (1 e
t
t
uC U S (U 0 U S )e
（1）式可写成
)
(1)
(2)
全响应=（稳态分量）+（瞬态分量）
可以将（2）式推广到一般情况：
①f(0+)：待求响应的初始值
t
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )]e
一阶电路的三要素公式
②f(∞)：待求响应的稳态值
③τ：电路的时间常数
Slide 43
6.5
三要素法
说明 时间常数的求法
Req C R ：除C或L以外电
（1）对于复杂的RC电路：
eq
L
路的戴维南等效电阻
（2）对于复杂的RL电路：
Req
【例1】电路如图所示，US=10V，IS=2A，R=2Ω，L=4H。试
求：S闭合后电路的电流iL和i。
【解】
换路前iL(0-)=-2A
iL的初始值
Slide 44
6.5
三要素法
iL的稳态值
Us
i L ( )
I s 5 2 3A
R
+
uL
-
电路的时间常数
L
Req=2 Ω
2s
Req
故根据三要素公式得
i L i L ( ) [i L (0 ) i L ( )]e
i L ( 3 5e 0.5 t )A
iL随时间的变化曲线如图所示。
在图(a)中，由KCL得
i I S i L (5 5e 0.5 t )A
思考 uL=?
t
Slide 45
6.5
三要素法
【例2】电路如图(a)所示，开关闭合在1时已达稳态。t=0时开
关由1合向2，求t≥0时的电压uL。
【解】 iL的初始值
8
i L (0 ) i L (0 ) A 4A
2
iL的稳态值
i L () 1.2A
电路的时间常数
Req＝10Ω
L
0.01s
Req
故根据三要素公式得
i L [1.2 ( 4 1.2)e
(1.2 5.2e100 t )A
t
0.01
]A
Slide 46
6.5
三要素法
di
uL L 52e 100t V
dt
iL、uL的波形如图(c)所示。
说明
三要素法的难点在于正确得出初始值。
①只有uC 和iL 不能跃变，其初始值的
确定需根据换路定则。
②电路中其他部分电压、电流的初始
值，需根据t=0+ 的置换电路来确定。
③画t=0+ 的置换电路时，要将电容置
换成一个大小为uC(0+)的电压源，电感
置换成一个大小为iL(0+)的电流源。
《电路分析基础》
第六章
一阶电路
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第六章
一阶电路
学习目标和要求
目标
了解暂态和稳态的
区别和联系；理解
零输入响应、零状
态响应、全响应等
概念；充分理解一
阶电路中暂态过程
的规律；深刻理解
时间常数及其物理
意义；熟练掌握三
要素法。
重点
一阶电路的零
输入响应、零
状态响应的变
化规律；运用
三要素法求一
阶电路
难点
初始值的求解；
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第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 4
6.1
分解方法的应用
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称为一阶电路，
而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言，如果电路
中含有n个独立的动态元件，描述该电路的就是n阶微分方程，
相应的电路也称为n阶电路。
Slide 5
6.1
分解方法的应用
分解方法在这里的运用：
首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两部分。
含源
电阻
网络
(a) 单一电容元件电路
Slide 6
6.1
分解方法的应用
其次，将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。
(b) 用戴维南定理化简
(c) 用诺顿定理化简
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6.1
分解方法的应用
第三，求解简单一阶电路，得到 uC(t) 或 iL(t)。
uR0 (t ) uC (t ) uOC (t )
根据VCR得：
duC (t )
uR 0 (t ) R0i (t ), i (t ) C
dt
代入上式得：
duC (t )
R0C
uC (t ) uOC (t )
dt
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6.1
分解方法的应用
类似地，根据图(c)，
由KCL和元件的VCR可得：
duC (t )
C
G0uC (t ) iSC (t )
dt
如果给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的uOC(t)或iSC(t)，
便可由上述两式解得t≥t0时的uC(t)。
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6.1
分解方法的应用
而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：
diL (t )
L
R0iL (t ) uOC (t )
dt
diL (t )
G0 L
iL (t ) iSC (t )
dt
如果给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的uOC(t)或iSC(t)，
便可由上述两式解得t≥t0时的iL(t)。
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6.1
分解方法的应用
最后，回到原电路，将电容用一电压源（其值为
uC(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）
置换，再求出电路中其余变量。
因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关键的
步骤是先求得uC(t)或iL(t)。
Slide 11
第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 12
6.2
零状态响应
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这种电路
相当于有两个独立电压源。
因此，根据叠加原理，其分解电路如下图所示：
Slide 13
6.2
零状态响应
图(a)中，仅仅由独立源在t≥t0时产生的响应称为零状态
响应。
图(b)中，仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应
称为零输入响应。
两种响应之和当然就是总响应或称之为全响应，它是
由输入和非零初始状态共同作用的响应。
Slide 14
6.2
零状态响应
本节先讨论由输入恒定电源产生的一阶电路的零状态响应。
＋
S
t=0
US
－
R
iC
C
＋
－
uC
上图所示电路在换路前电容元件的原始能量为零，
t=0时开关S闭合之后电容上电压、电流的变化称为
RC电路的零状态响应。
Slide 15
6.2
零状态响应
根据第一节RC电路的公式可得t≥0时的电路方程为：
duC (t )
RC
uC (t ) U S
dt
＋
US
S
t=0
R
iC
C
－
＋
－
uC
初始条件：uC(0)=0。 解此方程即可得到uC(t)。
有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，这里再简单
回顾一下。
Slide 16
6.2
零状态响应
关于一阶微分方程的求解
设一阶常系数非齐次微分方程为：
dx
A xB
dt
上式的解由两部分组成：
其通解为：Ke
t
A
x(t)=通解+特解
,特解为常数B。因此
x(t ) Ke
设初始值x(0)=0,则K=-B。所以
t
A
B
x(t ) B(1 e
t
A
)
Slide 17
6.2
零状态响应
根据以上解的情况，可得
duC
RC
uC U S
dt
uC (t ) U S Ae
的解
t
RC
由初始条件 uC (0+)=0 确定积分常数 A。
A= -US 因此：
uC (0+)=A+US= 0
uC U S U S e
t
RC
U S (1 e
从以上式子可以得出：
t
RC
)
(t 0)
duC U S
i C
e
dt
R
t
RC
Slide 18
6.2
零状态响应
说明
①由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一
指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：
+
稳态分量（强制分量）
US
0
-US
uC
ucp
暂态分量（自由分量）
US
R
i
跃变
t
uch
uC U S (1 e
t
RC
)
连
续
函
数
t
0
US
i
e
R
t
RC
Slide 19
6.2
零状态响应
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;
令 =RC ,它称为一阶电路的时间常数，因为：
库
安秒
秒
RC 欧 法 欧 欧
伏
伏
时间常数 是一阶电路非常重要的参数，因为
它的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。
大→过渡过程时间长
小→过渡过程时间短
Slide 20
6.2
t
uC U 0 e
0
零状态响应
2
3
5
t
U0 U0 e -1
U0 e -2 U0 e -3
U0 e -5
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
由此可见：
是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的
时间。因此，工程上一般认为, 经过 (3 ~5) , 电
路的过渡过程基本结束。
Slide 21
6.2
零状态响应
同样，对于如图所示的RL电路，其电流的零状态
响应也可作类似分析。
(t >0) R iL
应用KVL和电感的VCR可得：
+
+
uL
Us
RiL (t ) uL (t ) US
–
-
diL (t )
uL (t ) L
dt
diL (t )
RiL (t ) L
US
dt
t
t
US
L
iL (t )
(1 e ) iL ()(1 e ), ＝ , t 0
R
R
t
diL
uL (t ) L
U Se
dt
不连续
连续
Slide 22
6.2
零状态响应
US
iL (1 e
R
R
t
L
diL
uL L
U Se
dt
US
R
)
R
t
L
iL
t
0
US
0
uL
t
Slide 23
6.2
零状态响应
• 以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电
路 在 t≥0时 的 零状 态 响应 。 这时 ， 电路内
的物理过程，实质上是动态元件的储能从
无到有逐渐增长的过程。因此：
• 电容电压或电感电流都是从它的零值开始
按指数规律上升到达它的稳态值，时间常
数τ分别为RC或L/R。
• 当电路到达稳态时，电容相当于开路，电
感相当于短路，由此可确定电容或电感的
稳态值。
Slide 24
6.2
零状态响应
• 零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常
数τ所确定的，只要掌握了它们按指数规律增
长的特点，求解时可不必每次再求解微分方程
，即可直接写出uC(t)、iL(t)。而掌握了uC(t)和
iL(t)后，根据置换定理就可求出其它各支路电
压和电流。
• 此外，若激励增大m倍，则零状态响应也相应
增大m倍，这称为零状态响应的比例性。
• 若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。
因此，零状态响应是输入的线性函数。
Slide 25
6.2
例1
零状态响应
t=0时,开关S闭合，已知 uC(0－)=0，求：(1)电容电压和
电流;(2) uC＝80V时的充电时间t 。
解 (1)这是一个RC电路零状态
响应问题，则有：
RC 500 105 5 103 s
uC U S (1 e
t
RC
S
i
100V 10F
+
－
) 100(1 - e-200t )V (t 0)
duC U S RCt
iC
e
0.2e200t A
dt
R
(2)设经过t1秒，uC＝80V，则有：
80 100(1 - e-200t1 ) t1 8.045ms
500
+
uC
-
Slide 26
6.2
例2
零状态响应
t=0时开关k打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。
5
2A
u
10
+ t>0
2H u
L
iL
–
K10
–
+
+ Req
u
2H
L
Uo
–
iL
－
解: 这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：
Req 10 10 20
U 0 2 10 20V
iL () U 0 / Req 1A
L / Req 2 / 20 0.1s
iL (t ) (1 e
10 t
)A
uL (t ) U 0e10t 20e10t V
u 5IS 10iL uL (20 10e10t )V
Slide 27
第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 28
6.3
零输入响应
• 第二节讨论了零状态响应，即电容或电感
的初始状态为零，电路的响应仅由输入引
起。
• 实际中，电容或电感可能具有初始值，因
此，电路的响应除由激励引起的一部分外
，还有一部分是由电容或电感的初始值引
起的。
• 由初始值引起的响应部分的分析是把初始
值看成一个电压源或电流源（见上一章）
，然后按照前述同样的分析方法即可得到
所需结果。
Slide 29
6.3
零输入响应
1. RC电路
1 S
＋ t=0 2
US
－
R
左图所示电路在换路前已达稳态
＋
t=0时开关由位置1迅速投向位置2，
u
(0+）
C
C
之后由uC (0+)经R引起的电路响应
－
称为RC电路的零输入响应。
iC (0+)
根据RC零输入响应电路可列写出电路方程为：
duC
RC
uC 0
dt
对其求解可得：
t
t
u C (t ) u C (0)e U S e RC
式中：＝RC 为电路的时间常数。R是从电容C两
端看进去的等效电阻。
Slide 30
6.3
零输入响应
duC
U Se
iC C
C
dt
dt
t
RC
u C (0) RC
e
R
t
iCuC
US
0.368US
0
uC
t
τ
iC
iC(0+)
电阻上的电压：
uR (t ) U Se
t
t 0
Slide 31
6.3
零输入响应
2. RL电路
R
＋ u －
R
IS t=0
S
I0
＋
L uL
－
左图所示电路在换路前已达稳态。
t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，
暂态过程在R和L构成的回路中进行，仅
由iL (0+) =I0在电路中引起的响应称为RL
电路的零输入响应。
根据电路可列写出方程为:
di
Ri L 0
dt
对其求解可得：
iL (t ) I 0 e
L
其中 。
R
t
iL
R
t
(0)e L
Slide 32
6.3
零输入响应
diL
uL (t ) L
RI 0e
dt
由此可见
t
L/ R
①电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；
I0
iL
连续
函数
0
uL
t
0
t
-RI0
跃变
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与时间常数
有关; 大→过渡过程时间长； 小→过渡过程时间短。
Slide 33
6.3
零输入响应
【例1】如图所示电路，S原在位置1，且电路已达到稳态，t=0
时，开关由1合向2，试求t≥0时的电流i(t)。
【解】换路前：
R2
uC (0 )
10V
R R1 R2
4
10V 4V
2 4 4
换路后的电路如图(b)所示。
等效电阻
uC (0 ) uC (0 ) 4V
R R1 // R2
R1 R2
2
R1 R2
Slide 34
6.3
时间常数
零输入响应
RC (2 1)s 2s
故
uC uC (0 )e
t
4e 0.5 t V
uC ( t )
i
e 0.5 t A
R1
【例2】 t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。
S(t=0)
+
1
24V
–
2
2
iL
+
4
3
4 uL 6H
－
i
6 t >0
6
+
uL
–
6H
Slide 35
6.3
零输入响应
24
6
iL (0 ) iL (0 )
2A
4 2 3 / /6 3 6
【解】
L 6
1s
R 6
R 3 (2 4) / /6 6
diL
t
iL 2e A uL L
12et V t 0
dt
iL
u12 24 4 24 4e t V
2
S(t=0)
2
+
1
24V
–
2
iL
+
4
3
4 uL 6H
－
i
6 t >0
6
+
uL
–
6H
Slide 36
第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 37
6.4
线性动态电路中的叠加定理
若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电路
中的响应称为全响应。全响应是由输入和原始储能共
同产生的，且可通过叠加方式求出。因此：
线性一阶电路的叠加原理
若初始时刻为t=0，则对所有t≥0的时刻，有：
全响应=零状态响应+零输入响应
K(t=0)
R
US
+u –
R
uC (0-)=U0
K(t=0)
i
+
C u–C
=
US
R
+u –
R
uC (0-)=0
K(t=0)
i
+
C –uC
+
i
R
+u –
R
+
C
uC (0-)=U0
uC
–
Slide 38
6.4
线性动态电路中的叠加定理
Slide 39
6.4
线性动态电路中的叠加定理
Slide 40
6.4
线性动态电路中的叠加定理
Slide 41
第六章
一阶电路
6.1
分解方法的应用
6.2
零状态响应
6.3
零输入响应
6.4
线性动态电路中的叠加定理
6.5
三要素法
Slide 42
6.5
三要素法
如图所示
uC U 0e
t
，uC(0-)=U0，则
US (1 e
t
t
uC U S (U 0 U S )e
（1）式可写成
)
(1)
(2)
全响应=（稳态分量）+（瞬态分量）
可以将（2）式推广到一般情况：
①f(0+)：待求响应的初始值
t
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )]e
一阶电路的三要素公式
②f(∞)：待求响应的稳态值
③τ：电路的时间常数
Slide 43
6.5
三要素法
说明 时间常数的求法
Req C R ：除C或L以外电
（1）对于复杂的RC电路：
eq
L
路的戴维南等效电阻
（2）对于复杂的RL电路：
Req
【例1】电路如图所示，US=10V，IS=2A，R=2Ω，L=4H。试
求：S闭合后电路的电流iL和i。
【解】
换路前iL(0-)=-2A
iL的初始值
Slide 44
6.5
三要素法
iL的稳态值
Us
i L ( )
I s 5 2 3A
R
+
uL
-
电路的时间常数
L
Req=2 Ω
2s
Req
故根据三要素公式得
i L i L ( ) [i L (0 ) i L ( )]e
i L ( 3 5e 0.5 t )A
iL随时间的变化曲线如图所示。
在图(a)中，由KCL得
i I S i L (5 5e 0.5 t )A
思考 uL=?
t
Slide 45
6.5
三要素法
【例2】电路如图(a)所示，开关闭合在1时已达稳态。t=0时开
关由1合向2，求t≥0时的电压uL。
【解】 iL的初始值
8
i L (0 ) i L (0 ) A 4A
2
iL的稳态值
i L () 1.2A
电路的时间常数
Req＝10Ω
L
0.01s
Req
故根据三要素公式得
i L [1.2 ( 4 1.2)e
(1.2 5.2e100 t )A
t
0.01
]A
Slide 46
6.5
三要素法
di
uL L 52e 100t V
dt
iL、uL的波形如图(c)所示。
说明
三要素法的难点在于正确得出初始值。
①只有uC 和iL 不能跃变，其初始值的
确定需根据换路定则。
②电路中其他部分电压、电流的初始
值，需根据t=0+ 的置换电路来确定。
③画t=0+ 的置换电路时，要将电容置
换成一个大小为uC(0+)的电压源，电感
置换成一个大小为iL(0+)的电流源。