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新人教版七年级数学
§4.1多姿多彩的图形（系列微课）
三种正多边形镶嵌有多少种情况
1. 假如三种正多边形中包含两个正3边形
（三个是不可能的，因为三个正三边形角和是
180o，其它正多边形的两个角是不可能为180o
那么：另外两个正多边形的两个内角和就是
240o,这样的两个角只能是90o、150o了，就是
正4边形正12边形。
即3、3、4、12组合
2.假如三种正多边形中包含两个正4边形同样
可以得到3、4、4、6组合
3. 假如三种正多边形中只有一个正3边形，
另外两种正多边形的边数为n1，n2， (不
妨设n1 ≤ n2 ）且每一个顶点处，一种正多
边形只有一个，那么根据平面镶嵌的条件，
必须有
(3-2)×180o
3
＋
(n1-2)×180o
＋
n1
(n2-2)×180o
= 360o
n2
1
n1
＋
1
1
n2
n1 = 6
=
＋
6
36
n2-6
显然：n2-6=36、18、12、9、4、3、2、1
n2=42、24、18、15、10、9、8、7
所以 n1=7、8、9、10、15、18、24、42
得到组合
3、10、15； 3、9、18；
3、8、24； 3、7、42。
4. 假如三种正多边形中最小的是一个正方
形（两个是不可能的，因为两个正方形角和是
180o，其它正多边形的两个角和大于180o ）
另外两种正多边形的边数为n1，n2， (不妨设
n1 ≤ n2 ）且每一个顶点处，一种正多边形只有
一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有
(4-2)×180o
4
＋
(n1-2)×180o
＋
n1
(n2-2)×180o
= 360o
n2
1
n2
＋
1
n3
n3 = 4
1
=
＋
4
16
n2-4
显然：n2-4=16、8、4、2、1
n2=20、12、8、6、5
所以 n3=5、6、8、12、20
得到组合4、6、12和4、5、20
5. 假如三种正多边形中最小的是一
个正五边形，同样可以得到
1
1
＋
n2
n1
3
= 10
这个方程没有正整数解（这里不再说明）
6.n1 ≥6时 三个角的和会大于360o
因此，用三种正多边形镶嵌只有下面8种情况
三种正多边形进行镶嵌情况？
3*
3,3
3*
3*
3*
3*
4*
4
4,4
4
7
8
9
10
5
6
6
12
42
24
18
15
20
12