Transcript النظام الثنائي

‫األنظمة العددية‬
‫( النظام الثنائي والنظام العشري )‬
‫‪1‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫انظمة العد } ‪{NUMBERING SYSTEMS‬‬
‫‪‬نظام العد الثنائي‬
‫‪‬التحويل من الثنائي إلى العشري‬
‫‪‬العمليات الحسابية في النظام الثنائي‬
‫‪‬النظام العشري‬
‫‪‬التحويل من العشري إلى الثنائي‬
‫‪2‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫مقدمة‬
‫• قبل اختراع الكتابة كان القدماء يقومون بالعد على اصابع اليد فكانت اليد تمثل‬
‫االعداد وعند انتهاء االصابع كانوا يحتاجون إلى شخص اخر ليقوم بالعد فكان‬
‫االول يمثل االحاد و الثانى يمثل العشرات‬
‫• وعند اختراع الكتابة اجتهد العلماء الختراع منظومة اعداد بدال من االصابع‬
‫فكانت هذة االعداد هى االعداد االساسية وهى (من ‪ 0‬حتى ‪ )9‬وباضافة‬
‫الواحد إلى الصفر يتكون العدد ‪ 10‬وهذا ما اعتمد علية العلماء فكانت كل االعداد‬
‫بعد ‪ 9‬مزيج من عددين او اكثر مثل ‪ 10‬و ‪ 100‬و ‪6735‬‬
‫• ومن ذلك نستطيع تعريف نظام العد على انه ‪:‬‬
‫•‬
‫طريقة للتعامل مع رسوم االرقام للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات‬
‫الحسابية عليها‬
‫• وسوف نقوم بدراسة تلك العمليات على حسب الخواص التالية ‪:‬‬
‫(اساس هذا النظام ‪ ,‬رموز النظام ‪ ,‬التحويل من العشري إلى الثنائي)‬
‫‪3‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫النظـــــــــــــام الثنائي‬
‫‪4‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫ما هو نظام العد الثنائي؟‬
‫• نظام العد الثنائي هو نظام عد ذو رقم أساس ‪،2‬‬
‫يستخدم لتمثيل قيم عددية باستخدام الرمزين ‪،‬عادة ما‬
‫يكونان‪ 0 ،‬و ‪ .1‬كما يمكن استخدام أي رمزين أو حالتين‬
‫مثل "‪ "0‬و"‪ "1‬أو "صح" و"خطأ" أو "تشغيل" و"إطفاء"‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫النظام الثنائي لالعداد‬
‫مميزات النظام‪:‬‬
‫‪ -1‬سهولة التخزين واالسترجاع للمعلومات‬
‫‪-2‬التنقل بين الوسائط بسهولة‬
‫رموز النظام ‪:‬‬
‫( ‪) 0 , 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫النظام الثنائي ‪Binary System‬‬
‫إن األساس المستعمل في النظام الثنائي هو ‪ 2‬ويتكون هذا‬
‫النظام من رقمين فقط هما ‪ 0‬و ‪ 1‬ويسمى كل منهما رقماً‬
‫ثنائياً ‪.Binary Digit‬‬
‫ولتمثيل كل من الرقمين ‪ 0‬و ‪ 1‬فإنه ال يلزم إال خانة واحدة‪,‬‬
‫ولهذا السبب أصبح من الشائع أطالق اسم بت ‪ Bit‬على الخانة‬
‫التي يحتلها الرقم داخل العدد الثنائي‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري‬
‫لتحويل أي عدد ثنائي إلى مكافئه العشري فإنه يجب علينا‬
‫استعمال قانون التمثيل الموضعي لألعداد‪ .‬و ينطبق هذا القانون‬
‫عندما يكون الرقم الثنائي صحيحاً أو كسراً مع مراعاة أن أساس‬
‫نظام العد هنا هو ‪. 2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫التحويل من الثنائي إلى العشري‪:‬‬
‫مثال‬
‫‪:‬‬
‫حول العدد ‪ )100100(2‬من الثنائي إلى‬
‫العشري‬
‫‪0x20+0x21+1x22+0x23+0x24+1x25‬‬
‫= ‪ )36(10 =0+0+4+0+0+32‬أو ‪36‬‬
‫مثال‬
‫‪:‬‬
‫حول العدد ‪ )1101010,01(2‬من الثنائي إلى العشري‬
‫‪1x2 6 + 1x2 5 + 0x2 4 + 1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +0x2 0 +0x2- 1‬‬
‫‪= 1x2-2 +‬‬
‫‪ )50,25(10 =0,25+0+0+2+0+0+16+32‬أو ‪50,25‬‬
‫‪9‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫العمليات الحسابية فى النظام الثنائي‪:‬‬
‫• ‪0 = 0+0‬‬
‫• ‪1 = 1 + 0‬‬
‫• ‪1 = 0 + 1‬‬
‫• ‪ 0 = 1 + 1‬والباقي ‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫هذه هي األعداد من (‪ )0‬إلى (‪ )15‬مرتبة على الشكل التالي ‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫العدد الثنائي‬
‫العدد العشري‬
‫‪0000‬‬
‫‪0001‬‬
‫‪0010‬‬
‫‪0011‬‬
‫‪0100‬‬
‫‪0101‬‬
‫‪0110‬‬
‫‪0111‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1001‬‬
‫‪1010‬‬
‫‪1011‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪1101‬‬
‫‪1110‬‬
‫‪1111‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري‬
‫مثال‪ :‬حول العدد الثنائي التالي إلى مكافئه العشري‪:‬‬
‫= ‪110011010‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= 0*2 +1*2 +0*2 +1*2 +1*2 +‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0*2 +0*2 +1*2 +1*2‬‬
‫‪= 0 + 2 + 0 + 8 + 16 + 0 + 0 + 128 + 256‬‬
‫‪= 410‬‬
‫‪12‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫إجراء العمليات الحسابية على األعداد الثنائية الموجبة‬
‫يمكن إجراء العمليات الحسابية من جمع وطرح وضرب وقسمة‬
‫كما هو الحال في النظام العشري مع مراعاة أن أساس النظام‬
‫المستعمل هنا هو ‪.2‬‬
‫عملية الجمع ‪:‬‬
‫لو أخذنا عددين ثنائيين ‪ A ,B‬وكان كل منهما يتكون من خانة‬
‫واحدة فقط ‪ , Bit‬وبما أن كل خانة يمكن أن تكون أما ‪ 0‬أو ‪ 1‬فإنه‬
‫يوجد للعددين معاً أربع احتماالت كاآلتي‪:‬‬
‫‪13‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫إجراء العمليات الحسابية على األعداد الثنائية الموجبة‬
‫الفيض‬
‫‪carry‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪14‬‬
‫المجموع‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫إجراء العمليات الحسابية على األعداد الثنائية الموجبة‬
‫أما إذا كانت األعداد الثنائية مكونة من أكثر من خانة واحدة فإن‬
‫عملية الجمع تنفذ بنفس طريقة الجمع في النظام العشري مع‬
‫مراعاة أن أساس النظام العد المستعمل هو ‪.2‬‬
‫مثال(‪ :)1‬جمع العددين الثنائيين ( ‪( 101 ( + (011‬‬
‫المحـمــول‬
‫العدد األول‬
‫العدد الثاني‬
‫‪111‬‬
‫‪101‬‬
‫‪+‬‬
‫‪011‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪15‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫عملية الطرح‬
‫(إذا كان المطروح أقل من المطروح منه)‪:‬‬
‫لو أخذنا عددين ثنائيين ‪ A ,B‬وكان كل منهما يتكون من خانة‬
‫واحدة فقط فإنه توجد االحتماالت التالية لعملية الطرح تكون‬
‫كاآلتي‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫الفرق‬
‫المستقرض ‪Borrow‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪16‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫عملية الطرح‬
‫مثال‪ :‬اطرح العددين الثنائيين ( ‪)110 ( – )010‬‬
‫‪010‬‬
‫‪- 110‬‬
‫‪100‬‬
‫‪17‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫عملية الضرب‬
‫مثال ‪ :‬ما هو ناتج ضرب العددين الثنائيين ( ‪(101 ) (10‬‬
‫‪101‬‬
‫*‬
‫‪10‬‬
‫‪000‬‬
‫‪101‬‬
‫‪1010‬‬
‫‪18‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫النظـــــــــــــام العشري‬
‫‪19‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫مقدمــة‬
‫لقد استعمل اإلنسان في تاريخه الطويل أنظمة عددية مختلفة‬
‫ونظامنا نسميه النظام العشري ‪.‬‬
‫النظــام العددي‪:‬‬
‫هو شفرة لها مجموعة من الرموز تستخدم للتعبير عن األعداد ‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫أوال النظام العشري لألعداد‬
‫• ان هذا النظام هو األقدم لذا هو االكثر شيوعا‬
‫لذلك سوف نبدا بدراسته اوال‬
‫• (‪ )1‬اساس النظام العشري‪:‬‬
‫يطلق عليه النظام االساسى النه يتكون من ‪ 10‬ارقام مختلفة و‬
‫هى المكونة لباقى االرقم االخرى‬
‫• (‪ )2‬رموز النظام العشري‪:‬‬
‫رموز النظام هى } ‪{ 0. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,‬‬
‫‪21‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫تحويل األعداد من النظام العشري إلى الثنائي‬
‫تحويل األعداد العشرية الصحيحة الموجبة ‪:‬‬
‫لتحويل أي عدد صحيح موجب من النظام‬
‫العشري إلى الثنائي نستعمل طريقة الباقي‬
‫‪ Remainder Method‬الموضحة كاآلتي ‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫تحويل األعداد من النظام العشري إلى الثنائي‬
‫‪ )1‬أقسم العدد العشري على األساس ‪.2‬‬
‫‪ )2‬أحسب باقي القسمة الذي يكون أما ‪ 1‬أو ‪. 0‬‬
‫‪ )3‬أقسم ناتج القسمة السابق على األساس ‪ 2‬كما في خطوة (‪.)1‬‬
‫‪ )4‬أحسب باقي القسمة كما في خطوة (‪.)2‬‬
‫‪ )5‬استمر في عملية القسمة وتحديد الباقي حتى يصبح خارج القسمة‬
‫الصحيح صفراً‪.‬‬
‫‪ )6‬العدد الثنائي المطلوب يتكون من أرقام الباقي مقروءة‬
‫من الباقي األخير إلى األول (الحظ أن الباقي األول يمثل ‪LSD‬‬
‫بينما الباقي األخير يمثل ‪.MSD‬‬
‫‪23‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫التحويل من العشري إلى الثنائي‪:‬‬
‫مثال ‪: :‬‬
‫• حول العدد ( ‪ )88‬إلى النظام الثنائي‬
‫‪10‬‬
‫‪24‬‬
‫( ‪)1011000( 2 = )88‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫تحويل األعداد من النظام العشري إلى الثنائي‬
‫مثال‪ :‬لتحويل الرقم ‪ 150‬من النظام العشري‬
‫إلى الثنائي نتبع اآلتي ‪:‬‬
‫‪0 2 150‬‬
‫‪1 2 75‬‬
‫‪1 2 37‬‬
‫‪0 2 18‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪74=2*37‬‬
‫وبإضافة ‪ 1‬يكون‬
‫الناتج ‪75‬‬
‫و هكذا بالمثل مع‬
‫جميع النواتج ذات‬
‫الكسور‬
‫‪25‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫تحويل الكسر العشري إلى ثنائي‬
‫لتحويل الكسر العشري إلى مكافئة الثنائي نضرب الكسر في‬
‫األساس ‪2‬عدداً معيناً من المرات حتى نحصل على ناتج ضرب‬
‫يساوي صفراً أو حتى نحصل على الدقة المطلوبة‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫تحويل الكسور العشرية إلى ثنائية‪:‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫حول العدد ( ‪ )0,6785‬إلى ثنائي‬
‫‪0,75=2 x 0,372‬‬
‫‪1,372=2 x 0,6785‬‬
‫‪1,00=2 x 0,50‬‬
‫‪1,50=2 x 0,75‬‬
‫‪)0,1011)2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫تحويل الكسر العشري إلى ثنائي‬
‫مثال‪ :‬لتحويل الكسر العشري إلى مكافئة الثنائي ‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. 75‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪50‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫فيكون الناتج من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى‬
‫اليمين ‪0.11‬‬
‫‪28‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫‪MSD‬‬
‫‪LSD‬‬
‫تحويل الكسر العشري إلى ثنائي‬
‫مثال‪ :‬لتحويل الكسر العشري ‪ 0.126‬إلى مكافئة الثنائي بدقة‬
‫تصل إلى أربعة أرقام ثنائية‪:‬‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫‪126‬‬
‫‪2‬‬
‫‪252‬‬
‫‪2‬‬
‫‪504‬‬
‫‪2‬‬
‫‪008‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫فيكون الناتج من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين ‪0.001‬‬
‫‪29‬‬
‫‪MSD‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫‪LSD‬‬
‫أمثلة على األنظمة‬
30
Lecturer Rana Al Abdan
‫التحويل من النظام الثنائي إلى العشري‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪31‬‬
‫‪101000112‬‬
‫‪1011012‬‬
‫‪1101001010102‬‬
‫‪111011112‬‬
‫‪010000102‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫التحويل من النظام العشري إلى الثنائي‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪32‬‬
‫‪7‬‬
‫‪19‬‬
‫‪58‬‬
‫‪123‬‬
‫‪195‬‬
‫‪104‬‬
‫‪Lecturer Rana Al Abdan‬‬
‫الجمع‬
101100 + 101011
1101 + 10001
111 + 1011
111+1010
Lecturer Rana Al Abdan
•
•
•
•
33
‫الطرح‬
1010 – 1011
1001 – 1110
111- 1000
1111 – 10011
1011 -10111
Lecturer Rana Al Abdan
•
•
•
•
•
34
‫الضرب‬
10 * 10
100 * 11
101 * 10
1011 * 11
Lecturer Rana Al Abdan
35