Transcript (Презентация)

Квадратные
уравнения
(методы решения)
Азбука квадратного уравнения
ax  bx  c  0
2
(a  0)
Неполные квадратные уравнения:
ax  0
x0
ax  bx  0,
b  0
x0
2
2
ax  c  0,
c  0
2
b
x
a
Если  c < 0, то корней нет
a
Если  c > 0, то x
a
c
 
a
ax  bx  c  0
2
D  b  4ac
2
D<0
Корней
нет
D=0
D>0
b
x
2a
b D
x
2a
ax  bx  c  0
2
b = 2k (четное число)
b
D1   
2
2
 ac
b


2
x 
a
D1  0 
D1
Теорема Виета
x1 и х2 – корни
еслиуравнения
2
x  px  q  0 ( D  0)
то x1  x 2   p
x1  x 2  q
если
x1 и х2 – корни
уравнения
ax 2  bx  c  0
то
x1  x 2  
x1  x 2 
c
a
( D  0)
b
a
Пригласительный билет
Уравнение
a
b
c
5
-7
-6
3
0
-75
x2- 7x + 12 = 0
5x2 = 15x
b2 - 4ac
x1
x2
x1+ x2
x1 · x2
Пригласительный билет
Уравнение
a
b
c
b2 - 4ac
x1
x2
x1+ x2
x1 · x2
x2- 7x + 12 = 0
1
-7
12
1
4
3
7
12
5x2- 7x - 6 = 0
5
-7
-6
169
2
-0,6
1,4
-1,2
5x2 = 15x
5
-15
0
225
0
3
3
0
3x2 - 75 = 0
3
0
-75
900
5
-5
0
-25
Специальные методы:
1. Метод выделения квадрата
двучлена.
2. Метод «переброски» старшего
коэффициента
3. На основании теорем:
Далее
Метод выделения квадрата
двучлена.
Цель: привести квадратное уравнение
общего вида к неполному
квадратному уравнению.
Пример:
x  6x  8  0
2
Метод «переброски» старшего
коэффициента.
Корни квадратных уравнений
ax  bx  c  0
2
и
y 2  by  ac  0
связаны соотношениями
x1
y1

a
и
x2
y2

a
В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не
данное квадратное уравнение, а приведенное,
полученное «переброской» коэффициента а .
Пример:
2x  9x  5  0
2
На основании теорем:
 Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то
один из корней равен 1, а
c
второй по теореме Виета равен a
 Если в квадратном уравнении a+c=b, то
один из корней равен -1,
 c
а второй по теореме Виета равен  a 


Примеры:
157 x  20 x  177  0
2
203x  220 x  17  0
2
Общие методы:
 Разложение на множители;
 Введение новой переменной;
 Графический метод.
Далее
Метод разложения на множители
Цель:
привести квадратное уравнение
общего вида к виду
А(х)·В(х)=0,
где А(х) и В(х) – многочлены
относительно х.
Способы:
 Вынесение общего множителя за скобки;
 Использование формул сокращенного умножения;
 Способ группировки.
Пример:
3x 2  2 x  1  0
Введение новой переменной.
Умение удачно ввести новую переменную –
важный элемент математической культуры.
Удачный выбор новой переменной делает
структуру уравнения более прозрачной.
Пример:
5 x  3
2
 35 x  3  2
Графический метод
Для решения уравнения f(x) = g(x)
необходимо построить графики функций
y = f(x), y = g(x)
и найти точки их пересечения;
абсциссы точек пересечения и будут
корнями уравнения.
Пример:
x  x2
2
Графический метод часто применяют не для
нахождения корней уравнения, а для
определения их количества.
«Золотые мысли»
№
уравне
ния
2
8
1
3
5
10
7
4
9
6
7
,
Ян Амос Коменский (1592-1670),
чешский педагог, писатель.