PROGRAMA LINEAR DENGAN METODE SIMPLEKS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

LANGKAH-LANGKAH METODE SIMPLEKS

Ubah formulasi PL ke bentuk standar, baik fungsi tujuan maupun fungsi pembatas Untuk fungsi pembatas dengan tanda (≤), tambahkan dengan variabel slack Untuk fungsi pembatas dengan tanda (≥), kurangi dulu dengan variabel surplus, kemudian tambahkan variabel artificial Untuk fungsi pembatas dengan tanda (=), tambahkan variabel

artificial

Untuk fungsi tujuan, tambahkan dengan variabel slack (dengan koefisen=0), variabel surplus (dengan koefisen=0) dan variable artificial (dengan koefisen=0) Siapkan tabulasi untuk iterasi Tabulasi terdiri dari kolom Basis, kolom Variable Keputusan, kolom Ruas Kanan dan baris Z j -C j



Formulasi Programa Linier

Max Pembatas Z = 250x 20x 1 30x 1 1 + 200x 2 + 45x 2 + 25x 2 ≤ 10.750

≤ 9.750



Bentuk Standar

  Max Pembatas Z = 250x 1 20x 1 + 200x + 45x 2 2 + x 3 30x 1 + 25x 2 x 3 x 4 = variabel slack untuk fungsi pembatas 1 = variabel slack untuk fungsi pembatas 1 + x 4 = 10.750

= 9.750



PROSEDUR TABULASI SIMPLEKS

1.

Lakukan serangkaian OBE sehingga diperoleh jawaban Optimal 2.

3.

4.

Tentukan Variabel Masuk (dari elemen Z j -C j terkecil) Tentukan Variabel Keluar (dari rasio antara Ruas Kanan dibagi dengan koefesien dari Variabel Masuk, danpilih yang kecil) Tentukan Pivot (elemen penentu iterasi simpleks dan diubah nilainya menjadi 1), dari perpotongan antar variabel masuk dan variabel keluar 5.

6.

Lakuan OBE berdasarkan Pivot ini untuk baris lainnya, termasuk baris Z j -C j Proses iterasi dihentikan (berarti solusi sudah optimal) bila semua nilai Z j -C j ≥ 0



Tabulasi Simpleks

Basis x 3 x 4 Z j -C j x 1 20 30 -250 x 2 45 25 -200 x 1 0 0 3 x 4 0 1 0 Ruas Kanan 10.750

9.750

0 Rasio 537,5 325 Variabel Masuk dari elemen Z j -C j yang ter kecil Rasio =Ruas kakan dibagi elemen dari variabel masuk Variabel Keluar pilih dari Rasio yang terkecil

Basis x 3 x 4 Z j -C j x 1

20 30 -250

x 2

45 25 -200

x

1 0 0

3 Iterasi 1 Variabel masuk = x1 dan vaiabel keluar = x4, Pivot adalah elemen (2,1). Baris 2 dibagi 30 Basis x 3 x 1 Z j -C j x 1

20,00

x 2

45,00 1,00 0,83 -250,00 -200,00

x 3

1,00 0,00 0,00

OBE baris 1 dan baris 3 Elemen baris 2 dikalikan (-20) dan ditambahkan pada elemen baris 1 Elemen baris 2 dikalikan (250) dan ditambahkan pada elemen baris 3 Basis x 3 x 1 Zj-Cj

Semua komponen pada Zj-Cj sudah ≥ 0, solusi sdh maksimal.

Jawaban x

1 =325, x 2 =0, x 3 =4.250, x 4 =0 dan Z=81.250

x 1

0,00 1,00 0,00

x 2

28,33 0,83 8,33

x 3

1,00 0,00 0,00

x 4 x

0 1 0

4

0,00 0,03 0,00

Ruas Kanan Rasio

10.750

9.750

0

Ruas Kanan

10.750,00 325,00 0,00

x 4

-0,67 0,03 8,33

Ruas Kanan

4.250,00 325,00 81.250,00 537,5 325

CONTOH KE 2

 

Formulasi Programa Linier

Max : Z= 200x 1 Pembatas : 4x 1 + 6x 2 + 220x 2 + 180x 3 + 9x 3 ≤ 9.200

8x 1 5x 1 + 3x 2 + 7x 2 + 5x 3 ≤ 7.800

+ 4x 3 ≤ 8.300

Bentuk Standar Max Pembatas : Z= 200x 1 : 4x 1 + 6x 2 8x 5x 1 1 + 3x + 7x 2 2 + 220x 2 + 9x 3 + 180x + x4 3 + 5x + 4x 3 3 + x5 ≤ 9.200

≤ 7.800

+ X6 ≤ 8.300



Basis x 4 x 5 x 6

Z j -C j

Basis x 4 x 5 x 2

Zj-Cj

Basis x 4 x 5 x 2 Zj-Cj x 1 4 8 5 -200 x 2 6 3 7

-220

x 3 9 5 4 -180 x 1 4,000 8,000 x 2 6,000 3,000 x 3 9,000 5,000 0,714 1,000 0,571 -200,000 -220,000 -180,000

ITERASI 1

x 4 1 0 0 0 x 5 0 1 0 0 x 4 1,000 0,000 0,000 0,000 x 5 0,000 1,000 0,000 0,000 x 1 -0,286 5,857 0,714 -42,857 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 3 5,571 3,286 0,571 -54,286 x 4 1,000 0,000 0,000 0,000 x 5 0,000 1,000 0,000 0,000 x 6 0 0 1 0 x 6 0,000 0,000 0,143 0,000 x 6 -0,857 -0,429 0,143 31,429 Ruas Kanan 9200 7800 8300 0 Ruas Kanan 9.200,000 7.800,000 1.185,714 0,000 Ruas Kanan 2.085,714 4.242,857 1.185,714 260.857,143 Rasio 1533 2600

1186

Rasio Rasio

Basis x4 x5 x2 Zj-Cj Basis x 3 x 5 x 2 Zj-Cj Basis x 3 x 5 x 2 Zj-Cj x 1 -0,286 5,857 0,714 -42,857 x 1 -0,051 5,857 0,714 -42,857 x 1 -0,051 6,026 0,744 -45,641 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 3 5,571 3,286 0,571 -54,286 x 3 1,000 3,286 0,571 -54,286 x 3 1,000 0,000 0,000 0,000

ITERASI 2

x 4 1,000 0,000 0,000 0,000 x 5 0,000 1,000 0,000 0,000 x 4 0,179 0,000 0,000 0,000 x 4 0,179 -0,590 -0,103 9,744 x 5 0,000 1,000 0,000 0,000 x 5 0,000 1,000 0,000 0,000 x 6 -0,857 -0,429 0,143 31,429 x 6 -0,154 -0,429 0,143 31,429 x 6 -0,154 0,077 0,231 23,077 Ruas Kanan 2.085,714 4.242,857 1.185,714 260.857,143 Rasio 374,359 1.291,304 2.075,000 Rasio Ruas Kanan 374,359 4.242,857 1.185,714 260.857,143 Ruas Kanan 374,359 3.012,821 971,795 281.179,487 Rasio

Basis x3 x5 x2 Zj-Cj Basis x 3 x1 x 2 Zj-Cj Basis x 3 x1 x 2 Zj-Cj x 1 -0,051 6,026 0,744 -45,641 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 3 1,000 0,000 0,000 0,000

ITERASI 3

x 4 0,179 -0,590 -0,103 9,744 x 5 0,000 1,000 0,000 0,000 x 1 -0,051 1,000 0,744 -45,641 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 3 1,000 0,000 0,000 0,000 x 4 0,179 -0,098 -0,103 9,744 x 1 0,000 1,000 0,000 0,000 x 2 0,000 0,000 1,000 0,000 x 3 1,000 0,000 0,000 0,000

Zj-Cj ≥ 0 maka solusi sdh optimal

x 4 0,174 -0,098 -0,030 5,277 x 6 -0,154 0,077 0,231 23,077 Ruas Kanan 374,359 3.012,821 971,795 281.179,487 Rasio -7.300,000 500,000 1.306,897 x 5 0,000 0,166 0,000 0,000 x 6 -0,154 0,013 0,231 23,077 Ruas Kanan 374,359 500,000 971,795 281.179,487 Rasio x 5 0,009 0,166 -0,123 7,574 x 6 -0,153 0,013 0,221 23,660 Ruas Kanan 400,000 500,000 600,000 304.000,000

x1 = jumlah meja = 500 unit x2 = jumlah lemari = 600 unit x3 = jumlah kursi = 400 unit

Rasio

Tugas

   Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X 2 Batasan (constrain) (1) (2) (3) 2X 1 6X 1 + 5X 2 3X 2  8   15 30 Selesaikan dengan cara grafiks dan simpleks

PENAFSIRAN TABEL SIMPLEKS

Lihat contoh sebagai berikut :

Maksimumkan Syarat Z = 3X1 + 2X2 X1 + X2 ≤ 15 Kendala Tenaga 2X1 + X2 ≤ 28 Kendala Kayu X1 + X2 ≤ 20 Kendala Paku X1; X2 ≥ 0

Hasilnya adalah sebagai berikut : Solusi Optimal, Elemen Zj-Cj Non Negatif Basis

X2 X1 S3 Zj-Cj

X1

0 1 0 0

X2

1 0 0 0

S1

2 -1 -3 1

S2

-1 1 1 1

S3

0 0 1 0

Solusi

2 13 3 43

 Pada Tabel Simpleks Optimal dapat ditafsirkan hal berikut: 1.

Solusi Optimal 2.

3.

Keadaan Sumberdaya Sumbangan per unit Sumberdaya A.

SOLUSI OPTIMAL

Variabel Keputusan

X1 X2 Z

Nilai Optimum

13 2 43

Keputusan

Menghasilkan Kursi 13 Menghasilkan Meja 2 Menghasilkan Laba 43

 Keadaan Sumberdaya 1.

Keadaan Sumberdaya ada 2 macam yaitu Langka dan Berlebih 2.

3.

Slack Positif berati kelebihan Sumberdaya Slack 0 (nol) berarti seluruh sumebr daya terserap.

Sumberdaya

Tenaga Kayu Paku

Slack

S1 = 0 S2 = 0 S3 = 3

Keadaan Sumber daya

Langka Langka Berlebih

Penambahan Paku tidak akan menaikkan Laba

 Sumbangan per unit Sumberdaya

Basis

Zj-Cj

X1

0

X2

0

S1

1

S2

1

S3

0

Solusi

43  S1 = 1, berarti bahwa Sumberdaya Tenaga ditambah 1 unit maka Fungsi Tujuan (laba) akan bertambah 1 unit. Demikian juga untuk S2 yaitu kayu. Akan tetapi S3 (Paku) apabila ditambah 1 unit tidak akan menambah keuntungan  S1, S2, S3 disebut juga Shadow Price artinya sumbangan perubahan 1 unit Sumberdaya terhadap kenaikan Fungsi Tujuan