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실용수학
카오스 이야기
카오스(Chaos) 이론이란
카오스(Khaos, 그리스어) :
(1) ‘캄캄하고 텅 빈 공간’ 또는 ‘혼돈’의 뜻
만물 발생 이전의 원초적인 상태를 의미
(2) ‘크게 벌린 입’이라는 뜻
무엇이나 삼켜 버린다는 black hole과 같은 이미지
자연과학에서는 어떤 계가 확고한 규칙에 따라
변화하면서도 먼 미래의 상태를 예측할 수 없는
현상
우리나라의 카오스(혼돈)에 대한 사상 :
북애노인의 저서인 “규원사화”에 나타남
중국의 혼돈에 대한 사상 : 장자의 “응제왕편”에
나타남
• 기계론적인 과학이 아니라 성장하고 사멸해
가는 모든 생명현상에 나타나는 복잡한
과정을 과학의 눈으로 바라보려는 것이
카오스 이론이다. “북경에 있는 나비 한
마리의 날갯짓이 다음날 뉴욕에 폭풍을 몰고
올 수도 있다”는 기상학자 로렌츠의 ‘나비
효과’는 카오스 이론을 상징적으로 보여준다.
• 불교는 바로 이러한 카오스 이론을
‘인연(因緣)’으로 세계를 설명한다.
또한 카오스 이론의 가장 큰 특징의 하나인
프랙탈은 ‘전체 속의 어느 한 부분이 바로
전체’임을 나타내는데, 이것은 불교에서
말하는 하나가 전체이며 전체가 곧 하나라는
‘일즉다 다즉일(一卽多 多 卽一)’의 사상과
정확히 일치한다.
카오스(혼돈과 질서)
카오스 연구의 역사
• 프랑스의 수학자 Henri Poincare는 1887년
태양과 지구 또는 지구와 달과 같은 두 개의
물체에 대한 문제는 뉴턴의 공식에 의해
정확히 풀 수 잇지만 세 개 이상의 물체를
다루는 문제에 있어서는 정확히 풀 수 없고
비선형적인 문제로서 어떤 궤도들은 매우
작은 변화를 가해 주기만 해도 무질서하게
심지어는 혼돈한 양상으로 변화한다는 것을
알게 되었다.
• 그 예로서 소행성의 운동, 기상, 도박 등을
들고 있다.
• 초기의 작은 차이 때문에 결정론과
확률론이 결합한다는 오늘날의
chaos이론의 관점이 분명히 나타나 있다.
카오스 연구의 역사
• MIT의 기상학자인 Edward Lorenz는 1961년
기상예측이라는 고대적인 과학의 문제를
단순한 연립방정식으로 설명함으로써,
복잡하게 움직이는 대기의 순환에 관한
모델을 연구 하였다.
• 그는 사소한 차이가 가면 갈수록 증폭되어,
컴퓨터 프로그래밍에 의해 바람의 경로를
그리는 그래프를 걷잡을 수 없이 복잡하게
하는 것을 발견하였다. 즉 strange attractor
(chaos)가 출현하였던 것이다.
카오스 연구의 역사
• 1975년 메릴렌드 대학의 James Yorke와
그의 제자 Tien Li가 단순한 수학식에 의해
매우 복잡한 형상을 끌어낼 수 있음을
증명하고 이것을 ‘Chaos’라고 명명하면서
비로소 과학 연구의 대상이 되고 연구가 더욱
활발하여졌다.
• 같은 해 Mitchell Feigenbaum은 자연게에
매우 보편적으로 존재하는 비선형 현상을
수학적으로 Feigenbaum Number라고 하는
단순한 숫자로 설명하면서 비로소 카오스
이론은 그 이론적인 배경이 완성되었다.
카오스의 기하학
• Benoit Mendelbrot는 1975년에 Fractal
기하학 이론을 창안 하였다. Fracral으
언제나 부분이 전체를 닮는 자기 유사성과
소수(小數)차원을 특징으로 갖는 형상을
의미한다.
• 카오스 현상 속에는 이와 같은 프렉탈의
구조가 숨어 있는데 이를 뒤집어서 생각해
보면 프렉탈이란 카오스의 구조를
설명한다.고 말할 수 있다.
카오스의 기원 및 역사
• 1963년 에드워드 로렌츠의 논문 “결정
론적인 비 주기적 유동”을 기상학 학술
지에 발표하면서 소개
• 뉴턴의 역학 법칙 발견 이후 결정론적
인 학설을 라플라스가 주장
결정론적인 학설 : 초기상태를 완벽하게
파악하면 후속적으로 결과를 예측할 수 있다
• 카오스 이론은 결정론적인 세계관과
확률론적인 세계관을 연결
카오스의 비선형성
Lorenz의 일기예보의 연구
• 온도, 기압, 풍속 등에 관한 12개의
방정식을 컴퓨터에 입력하고 그 결과를
관찰
• 입력 값 중 0.506127과 0.506을
입력하였을 때, 시간이 지날수록
출력된 그래프가 크게 달라짐을 발견
• 초기 조건의 미세한 차이가 결과적인
부분에서는 엄청나게 커진다는 것을
발견
Lorenz의 일기예보의 연구
Lorenz연구의 의미
• 기상 모델에서 임의성만 발견 했다면
나쁜 소식을 전했다는 것 외에는
의미가 없다
• 임의성으로 가장한 ‘질서’를 발견
함으로써 결코 똑같이 반복되지는 않는
계들에 대한 수학적 해석에 관심을
기울이게 한다
기상학의 끌게
나비효과(Butterfly effect)
• 나비효과란 E. Lorentz에 의하여 시도된
기상현상에 대한 수학적 모델로부터 얻게
되는 결과인 이상한 끌게(strange
attractor )를 관찰하고 해석함으로써 얻게 된
개념이다.
• 북경의 나비가 날개 짓을 하면 뉴욕에는
허리케인이 발생한다는 말은 초기의 아주
작은 차이도 경우에 따라서는 시간의 경과 후
엄청나게 다른 현상으로 나타날 수 있음을
은유적으로 나타낸 표현이다.
나비효과(Butterfly effect)
• 초기조건에의 민감한 의존성 – 푸엥카레
• 카오스를 발생시키는 요소 ㅡ 자연계에서는
‘결과’와 ‘원인’이 비례하지 않는다
• 카오스에는 비선형계적인 요소가 많기 때문
나비효과(Butterfly effect)
카오스적 끌개
신체에의 카오스 이론의 적용
• 정상인의 심전도 신호로 구성한
끌개 구조는 특정 부위에 이상이
있는 환자의 끌개와 다르다
• 뇌파검사를 이용하여
정신분열증의 치료를 시도
신체에서의 카오스적 현상
주가의 카오스적 현상의 예
주가의 카오스적 현상
프렉탈(Fractal)
• 프랙탈이라는 말은 프랑스
과학자 멘델브로트(B.
Mandelbrot) 박사가 1975년
라틴어 franrere(부서지다
쪼개다)에서 파생한 형용사
fractus로부터 영어이면서
불어인 fractal을 만듬
• 물질을 부셔도 전체의 모습을
유지하고 있다는 의미
자기닮음은 프렉탈을 정의하는
결정적 개념이다
• 자기닮음이란 부분을 일정한 방법에
따라 반복해서 확대하여도 항상
전체의 모습이 다시 나타나게 되는
성질을 말한다.
• 자기닮음의 수학적인 정의는 함수 f :
SS와 모든 x, y 에 대하여 |f(x)f(y)|=r|x-y|를 만족하는 상수
r(0<r<1)이 존재할 때 f를 S의 닮음
이라고 한다.
프렉탈의 연구 대상
프렉탈의 특성
1. 전체와 부분이 유사한 형태를 가진다
2. 비규칙적, 비대칭적 구조이다. 엄격한
자기유사나 단조로운 반복이 아니며
완전한 동일성이 해체된 비 동일적인
카오스의 세계를 나타낸다
3. 규칙성/비 규칙성, 단순성/복잡성,
다양성/일관성 등의 대조적인 특성들이
공존하고 있다
4. 위상공간에 나타나는 끌개는 프렉탈
특성을 갖는다
프렉탈과 해안선의 유사성
프렉탈(Fractal)
• 연구대상 : 자연계의 복잡한 자기
유사적 도형(나무나 혈관의 가지,
해안선과 산, 구름의 울퉁불퉁한 모양,
양치식물의 잎 등)
• 카오스 이론이 위상공간에서 전형적인
프렉탈 구조를 갖기 때문에 프렉탈은
카오스 운동의 기하학적 측면이라고 할
수 있다
프렉탈 차원
• 유클리드 기하학의 차원 : 정수로
표시되는 차원
(예) 점 : 0차원
직선 : 1차원
원, 다각형 : 2차원
정육면체, 구면 : 3차원
• 프렉탈 차원 : 비정수적 차원
프렉탈 차원
 프렉탈이 속해 있는
도형의 유클리드
차원보다 크지 않다
(예)
칸토어 집합 :
0.6309차원
직선과 유사한 곡선 :
1차원에 가깝다
거의 평면을 채워
나가는 곡선 : 2차원에
가깝다
칸토어 집합의 차원
• 차원 D = logN / log 1/r
• 조각의 수는 2배로 늘어나고, 그 조각의
길 이 는 1/3 으 로 줄 어 든 다 . 즉 조 각 의
수N=2 ,늘어난 비율 r=1/3
• 따라서 차원은 (log2)/(log3)=0.6309...
• 코흐 눈송이 - 1.26
차원으로 1차원과
2차원의 중간적인
성질
• 시어핀스키 삼각형 1.58차원으로 1차원
직선과 2차원 평면의
중간적인 성질
자기유사성을 갖는 도형들
• 칸토어 집합
• 코흐 곡선
• 시어핀스키
삼각형
• 멘델브로트 set
• 줄리아 set
코흐 snowflake
시어핀스키(Sierpinski) 삼각형
1
2
3
• 규칙
1) 화면 아무데서나
시작점을 고를 것
2) 1, 2 또는 3 중에서
아무 숫자나 고를
것
3) 시작점에서 규칙
2번에서 고른 숫자
쪽으로 반정도
이동할 것
시어핀스키(Sierpinski) 삼각형
시어핀스키 삼각형
• 에펠탑 : 시어핀스키 삼각형의 3차원적인
유사물
시어핀스키 카페트와 가스켓
멘델브로트와 줄리아 집합
• x축은 실수축, y축은 허수축인 복소평면에
나타난다.
• 아래 식의 상수 c는 복소수를 사용
멘델브로트와 줄리아
멘델브로트 1
멘델브로트 2
불교에서의 프렉탈
• 一中一切多中一
하나에 모두 있고 많음 속에 하나
있으니
• 一卽一切多卽一
하나가 곧 모두요 많음이 곧 하나라
• 一微塵中含十方
한 티끌 속에도 온 우주가 들어있고
• 一切塵中亦如是
모든 티끌 속에 온 우주 들어있도다
불교에서의 프렉탈
• 無量遠劫卽一念
한 없이 긴 시간이 한 시간 찰나이고
• 一念卽是無量劫
찰나의 한 생각이 무량한 긴 겁이네
의상의 화엄일승법계도(법성계)에서
카오스의 교훈과 이용의 전망
카오스 연구의 전망
• 뉴턴의 역학은 질서 속에서의 카오스
뿐만 아니라 카오스 속에서의 질서도
보여 준다
• 우리는 카오스를 통해 예측의 한계를
예측할 수 있다
카오스는 우리가 무엇을 예측할 수
있고 무엇을 예측할 수 없는지를
보여준다
카오스와 프렉탈의 응용분야
• 주식시장의 변동, 경제의 예측
• 세탁기의 성능을 개선하기 위해 chaotic
운동을 사용
• 기후, 지구환경, 생물자원 등의 변동예측
• 바이오 카오스(생체카오스), 뇌파, 심전도,
맥파, 호흡량 등의 해석 진단
• 혈류 변화에 의한 진단, 마취와 수면상태의
모니터링
• 카오스 암호 및 난수
카오스와 프렉탈의 응용분야
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프렉탈 아트
카오스 예술, 카오스 CG(Computer Graphics)
비선형계에서의 카오스의 발생과 그 제어
카오스 진동의 제거 (탄성체나 회전체 등의
기계분야, 발전기나 모터등의 전기 분야,
선박, 관절계)
• 미세한 차이의 고감도 식별 센서
참고도서와 자료출처
• 이노우에 마사요시, 카오스와 복잡계의 과학
• 아이하라 가즈유키, 쉽게 읽는 카오스, 한뜻,
1994
• 이민섭, 정보화 사회와 수학, 교우사, 2004
• 제임스 글리크, 카오스, 동문사, 1997
• 키스 데블린, 수학으로 이루어진 세상, 에코
리브르,2003
• Century TV, 에퀴녹스 시리즈, 카오스 그
무한한 혼동의 질서
• http://wwwncsl.postech.ac.kr/main_field.html
참고도서와 자료출처
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http://math.rice.edu/~lanius/frac/
http://eexcell.com.ne.kr/
http://chaos.inje.ac.kr
http://plaza.snu.ac.kr/
http://www.fractal.co.kr
http://knap.hihome.com/fractal/
http://www.ajou.ac.kr/