Transcript PowerPoint 프레젠테이션 - Metal Forming CAE Lab.

보의 처짐 Ⅱ
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
교과서 설명
(a) 하중과 반력이 포함된 실제의 보
(b) By 의 과잉반혁이 이완된 보
(c) MA 의 과잉반력이 이완된 보
그림 11.1 지지된 외팔보
교과서 설명
그림 11.2 횡하중만 받는 지지된 외팔보
그림 11.3 양단 고정보의 하중과 반력
그림 11.4 횡하중만 받는 양단고정보
교과서 설명
그림 11.5a 3개의 지지가 있는 연속보
그림 11.5b 과잉반력 By 가 이완된 보
그림 11.5c 과잉반력 Cy 가 이완된 보
교과서 설명
(b) 자유물체도
(a) 실제의 보
(c) 실제하중을 받는 과잉구속이 이완된 보
(d) 과잉하중 By 를 받는 과잉구속이 이완된 보
그림 11.6 지지된 외팔보에 중첩법 적용
교과서 설명
(a) 실제의 보
(b) 과잉구속이 이완된 단순지지보
(c) 과잉구속이 이완된 보에 적용된 과잉반력 MA
그림 11.7 과잉구속을 이완하여 단순지지보로 변한 지지된 외팔보의 중첩법
양단고정 부정정계보 - 집중하중
 예제
 v ( x ) 의 계산 및 적분상수의 결정
• q( x)  M A  x 2  RA  x 1  P x  a 1
• EIv( x)   M A  x 1  RA  x 0  P x  a 0
• EIv( x)   M A  x 0  RA  x1  P x  a1
RA
P
 x 2   x  a 2  C1 ( v(0)  0)
2
2
M
R
P
EIv( x)   A  x 2  A  x 3   x  a 3  C2 ( v(0)  0)
2
6
6
• EIv( x)   M A  x1 
•
 반력의 계산
• M
P
MA
ⓐ
b ⓑ
a
ⓒ
RA
• F
y
 v(0)  0, v(0)  0
 v( L)  0, v( L)  0
0
M B  M A  Pb  R A L
RB  P  R A
 경계조건
B
0
 미지의 힘의 계산
•
•
•
•
M A 2 RA 3 P 3
L 
L  b 0
2
6
6
RA 2 P 2
v( L)  0   M A L 
L  b 0
2
2
2
2
Pb  L  b 
Pb  3L  2b 
MA 
,
R

A
L2
L3
M B  M A  Pb  RA L , RB  P  RA
v( L)  0  
 점 C 에서의 굽힘모멘트 M C 의 계산
•
2 Pa 2b 2
M C  EIv(a)   M A  RA a 
L3
3점 단순지지보 - 균일하중
 예제
 v ( x ) 의 계산
EIv (4) ( x)  q ( x)  RA  x 1   0  x 0  RB  x  L 1
•
0
1
0
• EIv( x)  RA  x  0  x  (20 L  2 RA ) x  L
0
• EIv( x)  RA  x1 
 반력의 계산
0
L
0
2
 x 2  (2 0 L  2 RA ) x  L1
• EIv( x) 

RA
 x 2  0  x 3  ( 0 L  RA ) x  L 2  C1
2
6
• EIv( x) 

 L  RA
RA
 x 3  0  x 4  0
 x  L 3  C1 x  C2
6
24
3
L
RA
RB
RB  20 L  2RA
F
y
 경계조건
 v(0)  0
 v( L)  0
 v(2 L)  0
0
RC
RC  RA
M
B
0
 적분상수와 미지의 힘의 계산
• v(0)  0  C2  0
3
4
• v( L)  0 ; 4 RA L  0 L  24C1L  0 
3
4
• v(2L)  0 ; 3RA L  0 L  6C1L  0
5
• RB  4 0 L
3
RA   0 L
8
1
C1    0 L3
48
한단고정중간단순지지보 - 균일분포하중
 예제
 v ( x ) 의 계산 및 적분상수의 결정
0
0
• q( x)  RA L x 2  RA  x 1   0  x  (2  L  RA ) x  L 1
0
1
0
• V ( x)  RA L x 1  RA  x   0  x  (2  L  RA ) x  L
 반력의 계산
0
MA
L
RA
•  Fy  0 ; RB  20 L  RA
2
•  M B  0 ; M A  RB L 20 L  0
 M A  20 L2  (20 L  RA ) L  RA L
 경계조건
•
EIv( x)   RA L x1 
•
2  L  RA
 x  L 2  C1
2

R L
R
EIv( x)   A  x 2  A  x 3  0  x 4
2
6
24
2 L  RA
 
 x  L 3  C2
6
2

RA
 x 2  0  x 3
2
6

 미지의 힘의 계산
RA L3 RA L3 0 4


L 0
• v( L)  0  
2
6
24
 v(0)  0, v(0)  0, v( L)  0
 M b (2L)  0, v(2L)  0
 x 2  (2  L  RA ) x  L1
•
L
RB
0
M b ( x )   R A L  x  0  R A  x 1 
RA  
0 L
8
, RB 
17
0 L
18
( v(0)  0)
( v(0)  0)
한단고정 및 한단단순지지보
 예제
 v ( x ) 의 계산 및 적분상수의 결정
(4)
0
• EIv ( x)  q( x)  M A  x 2  RA  x 1  0  x
• EIv( x)   M A  x 1  RA  x 0  0  x1
• EIv( x)   M A  RA x 
0
2
x2
RA 2 0 3
x 
x  C1 ( v(0)  0)
2
6

M
R
• EIv( x)   A x 2  A x3  0 x 4  C2 ( v(0)  0)
2
6
24
• EIv( x)   M A x 
 반력의 계산
MA
0
L
RA
 미지의 힘의 계산
RB  0 L  RA
0 L2
•  M B  0 ; M A  RA L  2
• v ( L)  0  
•  Fy  0
M A 2 RA 3 0 4
L 
L 
L 0
2
6
24
RA 
50 L
3 L
, RB  0
8
8
 경계조건
 v(0)  0, v(0)  0, v( L)  0
 v( L)  0
 중첩법에 의한 미지의 힘의 계산
• vB  vB  vB
0 L4
RB L3


0
8EI
3EI
양단고정보 - 균일분포하중
 v ( x ) 의 계산 및 적분상수의 결정
 예제
(4)
0
• EIv ( x)  q( x)  M A  x 2  RA  x 1  0  x
0
1
• EIv( x)   M A  x 1  RA  x  0  x

2
0
• EIv( x)   M A  RA x  2 x

R
2
0 3
• EIv( x)   M A x  2A x  6 x  C1 ( v(0)  0)
 반력의 계산
M
0
MA
L
RA

R
0 4
A 2
A 3
• EIv( x)   2 x  6 x  24 x  C2 ( v(0)  0)
MB
RB  0 L  RA
•  Fy  0
0 L2
 미지의 힘의 계산

R
2
3
• v( L)  0   M A L  2A L  60 L  0
M
R
•  M B  0 ; M B  M A  2  RA L
 경계조건
 v(0)  0, v(0)  0, v( L)  0, v( L)  0

0 4
A 2
A 3
• v( L)  0   2 L  6 L  24 L  0
RA 
0 L
MA 
2
0 L
2
4
0 L
, RB 

2
0 L
2
6

0 L2
12
 MB
RA 
0 L

MA 
2
0 L
12
내부 스프링 부착 외팔보 - 끝단집중하중
 v ( x ) 의 계산
 예제


1  L 
L
 L 
 L
• q( x)   P  kv     x 1   P  kv    L x 2  kv    x   1
y

 2 

2
 2 
 2
F
L

• EIv( x)  ( P  F ) x 0   P   L x 1  F  x   0  V ( x)
 
 반력의 계산
F  k  L 
2
L
2
MC
 
 L   L
2
2
x
L
2
Rc  P  F
•
1
 M C  0 ; M C  PL  FL
2
•
F
 L
 L
F  kv   , v    
k
2
2
P
2
2
2

F
L
• EIv( x)  ( P  F ) x1   P   L x 0  F  x  1  M b ( x)
2
2

PF
F
F
L

 x 2   P   L x1   x   2  C1 ( v(0)  0)
• EIv( x) 
2
2
2
2

PF
2P  F
F
L 3
3
2
• EIv( x)  6  x  4 L x  6  x  2   C2 ( v(0)  0)
 스프링에 작용하는 미지의 힘의 계산
•
EIF P  F L3 2 P  F L3 5L3
L3




P F
k
6 8
4
4 48
24
 경계조건
 v(0)  0, v(0)  0, v( L)  0, v( L)   P / EI
5L3
F
P
48
 L3 EI 
 

 24 k 
부정정보
 예제 11.1 (p.486)
반대편이 단순지지된 외팔보가 그림과 같이 하중을 받고 있다. 보에서 EI 는 일정하다. 지지점 A와
B에서의 반력을 구하라.
부정정보
 예제 11.2 (p.488)
보가 그림과 같이 하중과 지지를 받고 있다. 보의 EI는 일정하다. 지지점 A와 C에서의 반력을 구하라.
부정정보
 예제 11.3 (p.494)
불연속함수를 이용하여 그림의 부정정보에서 다음을 구하라.
(a) A 와 D 에서의 반력(힘과 모멘트)
(b) C 에서의 처짐
보에서 EI  120,000kN  m2 로 일정하다.
부정정보
 예제 11.4 (p.497)
불연속함수를 이용하여 그림의 부정정보에서 다음을 구하라.
(a) B, D, E 등에서의 반력
(b) A 에서의 처짐
(c) C 에서의 처짐
보에서 EI  120,000kN  m2 로 일정하다.
부정정보
 예제 11.5 (p.504)
그림과 같이 하중을 받는 보에 대하여 지지점 B에서의 반력을 구하는 식을 유도하라. EI는 전체 보
에서 일정하다.
경우1 - 외팔보의 끝에 집중모멘트 작용
경우2 - 롤러지지에서 집중하중 작용
부정정보
 예제 11.8 (p.509)
구조용 강 튜브 [ E  200Gpa; I  300 10 mm ] 로 이루어진 보가 40 kN/m 의 균일분포 하중을 지탱하
고 있다. 이 보는 왼쪽이 고정단이고, 지름이 30 mm이고, 길이가 9 m인 긴 알루미늄봉 [EI = 70 GPa]
으로 연결되어 있다. 연결봉의 장력과 B에서의 처짐을 구하라.
6
4
경우1 – 균일분포하중을 받는 외팔보
경우2 – 집중하중을 받는 외팔보
보의 처짐 관련 이론 총정리 - 지배방정식
 q( x )  v ( x )  M b ( x ) 의 관계
 처짐곡선과 곡률간의 관계: v( x ) 
 변형률-곡률 관계:
 재료의 성질:
 축력:
 F   V ( x)  V ( x  x)  q( x)x  0
1
 M   M ( x)  M ( x  x)  V ( x)x  2 q( x)x
b
b
dV ( x )
 q ( x )
dx
dM b ( x )
 V ( x )
dx
2
A
y

 xx  E xx  E
y

 xx dA  0  A ydA  0
 굽힘모멘트:
y
C

 xx  
1

2
0
d M b ( x)
 q( x )
2
dx
A  xx ydA  M b 
1 Mb

 v( x )
 EI
EIv( x )  M b
( EIv( x ))  M b  q( x )
 경계조건
보의 처짐 관련 이론 총정리 - 경계조건
 경계조건의 분류:
 기하학적 경계조건: v (0)  0, v ( L)  0, v (a )  0, v(0)  0, v( L)  0
 역학적 경계조건:
 경계조건의 예:
v (0)  0
v (0)  0
V (0)   EIv(0)  P , M b (0)  EIv(0)  M
V ( L)   EIv( L)  P , M b (0)  EIv( L)  M
자연경계조건
v (0)  0
M b (0)  0
v ( L)  0
M b ( L)  0
v (0)  0
v (0)  0
v (0)  0
v ( L)  0
M b ( L)  0
V ( L)  0
v (0)  0
M b ( L)  0
V ( L)  W
M b ( L)  0
V (0)  0
M b (0)  0
v (0)  0
M b (0)  0
필수경계조건
V ( L)  0
v (a )  0
M b ( L)  0
v ( L  a)  0
v ( L)  0
V ( L)  0
M b ( L)  0