Transcript 구조역학강의노트제2장(4월1일)

제2장 보의 계산
(1) 구조물은 복수의 부재(보, 기둥, 평판, 판넬, 쉘, 아치, 현)로 구성되며,
부재 중에서 가장 많이 사용되는 것으로 보가 있다.
(2) 보가 교량위를 달리는 자동차나 열차, 또한 자신의 무게 등을 포함하는 여
러 가지 외력에 대하여 어떤 상태로 어떻게 기능을 하는가를 알아본다.
(3) 외력을 받아서 균형상태에 있는 보에 대하여 그 단면에 어떠한 응력이 작
용하는가를 계산에 의하여 구하는 일은 구조물 설계의 첫걸음이다.
2.1 보에 작용하는 하중
보와 하중
(1) 대략적으로 표현하면, 구조물은 “봉재와 판재”의 조합이라고 할 수 있다.
(2) 봉 모양의 부재로 계산되는 대표적인 것으로 양단에 떠받쳐진 수평방향의
보가 있다. 이 보에는 어떠한 하중이 작용하는 것 일까?
(3) 보를 사용한 교량인 경우, 자동차의 무게, 보 자체의 무게 -> 하중
(4) 옹벽은 연직으로 서서 흙의 압력을 떠받치고 있다. 판의 형태이지만 계산을
간단히 하기위해 봉 모양의 부재(캔틸레버 보)로 간단히 취급한다.
(5) 옹벽에 작용하는 하중은 토압이다.
하중과 단위
(1) 집중하중
집중하중의 단위는 N, kN으로 표시하고, 기호는 P를 사용하고, 힘의 3요소
표현방법에 따른다. 차량의 하중을 나타낼 때 사용한다.
(2) 분포하중
보의 자중이나 적설하중과 같은 보의 길이 방향으로 일정한 하중이 작용하는
것을 등분포하중이라 하며, 단위는 N/m, kN/m를 사용하고, 기호는 w로 나
타낸다.
(3) 등변분포하중
옹벽에 작용하는 토압은 흙의 깊이에 비례하여 커지며, 같은 비율로 증가하
므로 등변분포하중이라 한다.
2.2 지지점과 반력
보는 어떻게 지탱하는가
(1) 보를 안전하게 지지하는 방법에 대하여 생각해 보자
(2) 지지점의 종류
(a) 가동지지점 (b) 회전지지점 (c)고정지지점
움직일 수 없는 증거는 반력
(1) 고대 로마시대에 나타난 “아치”라는 새로운 구조는 지지점에서 발생하는 반
력이 매우 중요하였다.
(2) 지지점의 반력
∑H=0, ∑V=0, ∑M=0,
2.3 보의 종류
보의 안정을 위해서는 적어도 반력이 3개 이상
정정과 부정정의 판별
(1) 정정보 : 안정한 보로서 반력수가 3개인 경우, ∑H=0, ∑V=0, ∑M=0 으로
부터 반력을 구할 수 있는 보
(2) 부정정보 : 반력수가 3개를 넘어 평형방정식만으로 반력을 구할 수 없는 보
R = e + r1 + r2 – 2j
여기서, R=부정정차수, e=부재수, r1=반력수, r2=강접합 부재수, j=절점수
(3) 보의 판별식
N=r-3-h
여기서, N=부정정차수, r=반력의 총수, h=보를 연결하는 힌지 수
N=0 정정보
N>0 부정정보
건축구조설계기준(2009년)
하중
- 고정하중, 활하중, 적설하중, 풍하중, 지진하중, 토압, 지하수압, 기타
(1) 고정하중
건축물의 각 부분의 고정하중은 각 부분의 실상에 따라 산정한다. 각 부분의
중량은 사용하는 재료의 밀도, 단위체적중량, 조합중량을 사용하여 산정한다.
(2) 활하중
표 1-1 기본 등분포 활하중(단위 kN/m2)
용도
건축물의 부분
활하중
주택
주거용 건축물의 거실, 공용실, 복도
2.0
병원
수술실, 공용실과 해당복도
3.0
학교
교실과 해당 복도
3.0
서고
7.5
도서관
공장
중공업 공장
12.0
도로교설계기준(2010년)
하중
- 주하중 : 고정하중(D), 활하중(L) 등등
- 부하중 : 풍하중(W), 지진의 영향(E), 온도변화의 영향(T)
- 주하중에 상당하는 특수하중 : 설하중(SW), 지반변동의 영향(GD) 등등
- 부하중에 상당하는 특수하중 : 가설시 하중(ER) 기타 등등
(1) 고정하중
표 1-1 재료의 단위질량(kg/m3)
재료
강재, 주강, 단강
주철
알미늄
철근콘크리트
프리스트레스콘크리트
단위질량
7,850
7,250
2,800
2,500
2,500
재료
콘크리트
시멘트 모르타르
목재
역청재(방수용)
아스팔트 포장
단위질량
2,350
2,150
800
1,100
2,300
(2) 활하중
표 1-2 DB 하중
교량등급
하중등급
중량
W(kN)
총하중
1.8W(kN)
전륜하중
0.1W(kN)
후륜하중
0.4W(kN)
1등교
2등교
3등교
DB-24
DB-18
DB-13.5
240
180
135
432
324
243
24
18
13.5
96
72
54
Report #4
문제 1. 다음의 교실 바닥슬래브에 대하여 고정하중과 활하중을
계산하여 보 구조부재(자유물체도)에 나타내시오 .
표 1-3 학교 교실의 고정하중과 활하중 정보
하중
고정하중(D)
활하중(L)
용도
단위중량
시멘트 모르타르 마감
2,300 kgf/m3
철근콘크리트
2,500 kgf/m3
석고보드
16 kgf/m2
학교 교실
300 kgf/m2
시멘트 모르타르 40mm
철근콘크리트슬래브 125mm
석고보드
학교 교실의 고정하중
W
4m
45o
6m
고정하중(D)
활하중(L)
자유물체도(경계조건포함)
문제 2. 다음의 철근콘크리트 슬래브 교량(1등교)에 대하여 고
정하중과 활하중을 계산하여 보 구조부재에 나타내시오 .
단, 아스콘 8cm, 철근콘크리트 슬래브 100cm, 단위폭(1m)으로 계산.
1m
7.5 m
15 m
문제 3. 문제 2번의 단순보 구조부재에 대하여 조합하중을 계산
하여 그림으로 나타내시오 . 하중조합 U = 1.3 D + 2.15 L
L
D
L
L
15 m
문제 4. 문제 3번의 단순보 구조부재에서 조합하중에 대한 반력을
계산하여 나타내시오.
서귀포시 화순 창고천
서귀포시 남원읍
서귀포시 신시가지 중산간도로
서귀포시 중문관광단지
서귀포시 중문관광단지
P
서귀포시 중문관광단지
R
서귀포시 강정 악근천
탄성받침
Pot 받침
그림 1-1. 다양한 교좌장치.
중국 화북성(2011년)
바람에 의한 전도
2.4 보의 단면력
외력이 단면에 미치는 영향
예제 1. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
5m
5m
예제 2. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
7m
3m
단면력을 구하는 조건
(1) 단면력 : N=축방향력, S=전단력, M=휨모멘트, T=비틂력
(2) 평형방정식 ∑H=0, ∑V=0, ∑M=0 을 이용
(3) 축방향력 : 축방향력의 합력으로 인장응력을 정(+), 압축응력을 부(-)
(4) 전단력 : 단면에 평행인 외력의 합력 (단면의 왼쪽에서 상향이 정(+) 하향이
부(-)) (단면의 오른쪽에서 상향이 정(-) 하향이 부(+))
(5) 휨모멘트 : 단면의 도심에 대한 모멘트의 합 (단면의 왼쪽에서 시계방향이 정
(+), 그 반대가 부(-)) (단면의 오른쪽에서 시계방향이 부(-), 그 반대가
정(+))
2.5 집중하중을 받는 단순보
반력의 계산
전단력과 전단력도
휨모멘트와 휨모멘트도
허용응력설계법 및 강도설계법
100 kN
5m
5m
- 콘크리트 : sck = 27 MPa
- 철근 : sy = 300 MPa
Dc = 80 mm
Dia = D25
CTC : 125 mm
As = 4053.6 mm2
370 mm
80 mm
1000 mm
(1) 구조해석
100 kN
- 반력
50 kN
50 kN
- 휨모멘트도
M = 250 kN.m
(2) 단면설계(ASD)
- 콘크리트 : sca = 0.4 sck = 10.8 MPa
- 철근 : sya = 0.5 sy = 150 MPa
- 탄성계수비 n = Es/Ec = 7
sc
b
x/3
C
x
N.A
d
d-x/3
As
T
ss /n
[1] 중립축계산
- 단면1차모멘트 : SGN.A=1/2bx2-nAs(d-x)=0; x = 119 mm
[2] 응력 검토
- 균열환산 단면 2차모멘트 : Icr=bx3/3+nAs(d-x)2
- 콘크리트 응력
sc = M/Icr x
= 250,000,000*119/2,349,385,641
=12.7 MPa >
- 철근 응력
s
s
= nM/Icr(d-x) = 187 Mpa >
s
ca
= 10.8 MPa
sya = 150 MPa
--- N.G.
---- N.G.
(3) 단면설계(USD)
0.85sck
b
C=0.85sckab
a
N.A
d
d-a/2
As
T=As sy
[1] 등가응력깊이 계산
a = Assy/0.85sckb = 53 mm
[2] 설계휨강도 계산
FMn =FAssy(d-a/2) = 0.9*4053.6*300*(370-53/2) = 376 kN.m
[3] 강도검토
FMn = 376 kN.m
>
Mu=250 kN.m
---- O.K.
Report #5
문제 1. 다음의 용어에 대하여 설명하시오.
(정정보, 부정정보, 구조해석, 단면설계, 전단력도, 휨모멘트도, 축력
도)
문제 2. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
200 kN
100 kN
2m
3m
5m
문제 3. 아래 주어진 단순보에서 A점의 응력을 작도하시오.
A점의 최대주응력과 최소주응력을 계산하시오.
200 kN
10cm
A
100 kN
B=100cm
A
2m
3m
2m
3m
H=40cm
문제 4. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도, 축력도)를 작도하시오.
200 kN
100 kN
60o
2m
45o
3m
5m
단순보(simple beam)
압축
중립축
주근
인장
캔티레버보(cantilever beam)
인장
주근
중립축
압축
연속보(continuous beam)
b
kd
D
허용응력설계법(WSD)
극한강도설계법(USD)
C
d
n ;중립축
T
(4) 보의 구조 해석
최대응력= M/Z
단면계수 Z=1/6.bd2
2.6 등분포하중을 받는 단순보
일부분에 등분포하중
보 전체에 등분포하중이 걸리는 경우
예제 1. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
1 kN/m
10 m
예제 2. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
1 kN/m
3m
4m
3m
예제 3. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
1 kN/m
5m
5m
2.7 전단력과 휨모멘트의 관계
면적이 길이로 된다
전단력이 0인 단면에서 휨모멘트는 최대
(1) 보의 휨모멘트에서 어느 점의 접선의 기울기는 그 단면의 전단력을 나타낸다
(2) 전단력이 0인 단면, 즉 전단력의 부호가 정(+)에서 부(-)로 변화하는 단면에
서 최대휨모멘트가 생긴다.
단순보의 특징 5가지
(1) 반력은 3개
(2) 하중은, 집중하중, 분포하중, 등변분포하중
(3) 전단력도에서 면적은 휨모멘트의 종거
(4) 전단력이 0인 단면에서 최대 휨모멘트가 발생
(5) 휨모멘트의 기울기는 전단력도의 종거
Report #6
문제 1. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
100 kN
20 kN/m
5m
5m
문제 2. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
200 kN
20 kN/m
5m
2.5 m
2.5 m
문제 3. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
200 kN
40 kN/m
5m
5m
문제 4. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
30 kN/m
3m
8m
3m
문제 5. 아래 주어진 단순보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
30 kN/m
12 m
2.8 이동하중과 영향선
정하중에서는 단면력도
(1) 단면력도에서는 어떤 위치에서 작용하는 하중을 대상으로 관찰하고자 하는
단면의 위치를 이동시키면서 변화를 관찰한다.
이동하중에서는 영향선
(1) 영향선에서는 관찰하고자 하는 특정한 보의 단면을 대상으로 하중이동에 의
한 변화를 관찰한다(E. Winkler, 1867년).
작도원리
(1) 평형방정식을 이용
(2) Muller-Breslau 원리를 이용(1886년)
구조물의 어느 한 위치에서 구조해석 결과(반력, 전단력, 휨모멘트)에 대한 영향선 종거는, 구
조물의 그 위치에 구조해석 결과에 대응하는 구속을 제거한 후, 그 위치에서 구조해석 결과
에 대응하는 단위변위를 일으켰을 때의 처짐곡선의 종거와 같다.
즉, 반력, 전단력, 휨모멘트 등 구하고자 하는 힘에 대응되는 가상 단위변위를 구조물에 부여
하여 얻어지는 변위 형태를 그리면, 그 힘의 영향선이 된다.
(3) 반력의 영향선
RA x d = P x d
RA = d
(4) i 점의 전단력의 영향선
Vi x d = P x d
Vi = d
(5) i 점의 휨모멘트의 영향선
Mi x d = P x d
Mi = d
P
i
a
b
RA
반력의
영향선
P
RA
d
d
+
Vi
전단력의
영향선
1
P
d
-1
d
+
Vi
P
휨모멘트의
영향선
a
Mi
+
f
d
b
예제 1. 아래 주어진 단순보의 반력의 영향선을 작도하시오.
영향선을 이용하여 A점과 B점의 반력을 구하시오.
10 kN
7m
3m
예제 2. 아래 주어진 단순보의 i점의 전단력에 대한 영향선
을 작도하시오. 영향선을 이용하여 i점의 전단력을 구하시오.
10 kN
i
5m
2m
3m
예제 3. 아래 주어진 단순보의 i점의 휨모멘트에 대한 영향
선을 작도하시오. 영향선을 이용하여 i점의 휨모멘트을 구하
시오.
10 kN
i
5m
2m
3m
2.9 단순보의 영향선
반력의 영향선
전단력의 영향선
휨모멘트의 영향선
Report #7
문제 1. 아래 주어진 단순보에서 A 점의 반력 및 i 점의 전단
력과 휨모멘트에 대한 영향선을 작도하시오.
A
i
4m
6m
문제 2. 아래 주어진 단순보 i 점에서의 전단력과 휨모멘트
를 영향선을 이용하여 계산하시오.
100 kN
20 kN/m
i
3m
2m
5m
문제 3. 아래 주어진 단순보 i 점에서의 전단력과 휨모멘트
를 영향선을 이용하여 계산하시오.
100 kN
20 kN/m
i
5m
3m
2m
최대전단력
최대휨모멘트
절대최대휨모멘트
예제 1. 아래 주어진 단순보에서 그림과 같은 하중이 이동할
때 절대최대 전단력과 철대최대휨모멘트을 구하시오.
20 kN
10 kN
3m
A
B
10 m
예제 2. 아래 주어진 단순보에서 그림과 같은 하중이 이동할
때 절대최대 전단력과 절대최대휨모멘트을 구하시오.
60 kN
20 kN
4m
A
B
10 m
예제 3. 아래 주어진 단순보에서 그림과 같은 하중이 이동할
때 i점에서의 최대 전단력을 구하시오.
2 kN 2 kN
1 kN
A
B
i
4m
6m
1m
1m
예제 4. 아래 주어진 단순보에서 그림과 같은 하중이 이동할
때 절대최대전단력을 구하시오.
2 kN 2 kN
1 kN
A
B
10 m
1m
1m
2.10 이동하중에 의한 최대전단력
최대전단력
(1) 연행하중 : 열차나 자동차처럼 일정 간격을 유지하면서 이동하는 하중
(1) 어느 단면 i 에서 전단력이 최대로 되는 연행하중의 위치는, Pr/dr ≧ R/l
그림 (d)에서
R / l = 48 / 10 = 4.80 tf/m
P3 / d3 = 16 / 2.2 = 7.27 tf/m > R / l 만족한다.
Si3 = 0.6 Ⅹ16 + 0.38 Ⅹ16 + 0.1 Ⅹ16 = 17.3 tf = 170 kN
절대 최대전단력
(1) 보의 단면에서 최대전단력 중에서 가장 큰 값을 절대 최대전단력이라 한다.
그림 (c)에서 P3 / d3 = 16 / 2.2 = 7.27 tf/m > R / l
Sabmax=1 Ⅹ16 + 0.78 Ⅹ 16 + 0.5 Ⅹ16 + 0.28 Ⅹ16 = 41.0 tf = 402 kN
2.11 이동하중에 의한 최대휨모멘트
최대휨모멘트
보의 어느 단면 i 의 휨모멘트가 최대로 되는 연행하중의 위치는, 단면 i 위에
하나의 하중 Pr 이 있고, 그 좌우에는 가능한 한 최대의 하중이 균형을 이루며
실리도록 하였을 때, 보 전체의 평균하중 (R/L)이 구간 Ai의 평균하중(R1/x)과
같거나 크고, Pr을 포함한 구간 AC의 평균하중(R1+Pr)/x 보다는 작게 되는 위치
이다.
2.12 절대 최대휨모멘트
최대 중의 최대인 휨모멘트
절대 최대의 조건
보의 절대 최대휨모멘트는 보에 되도록 많은 하중을 실어 그 합력의 작용위치를
구하고, 이에 가까운 하중 Pr 과의 거리를 d로 하여 지지점간의 중앙선으로 d를
2등분할 때, Pr이 작용하는 단면에 발생한다.
Mm1 = 1.2 Ⅹ 20 + 2.4 Ⅹ 20 + 0.8 Ⅹ 60 = 120 kN m
Mm2 = 0.8 Ⅹ 20 + 2.4 Ⅹ 60 = 160 kN m
Report #8
문제 1. 아래 주어진 단순보에서 그림과 같은 연행하중이 지
나갈 때 절대최대전단력과 절대최대휨모멘트를 구하시오.
50 kN 50 kN
10 kN
4m
A
B
20 m
3m
문제 2. 아래 주어진 단순보에서 그림과 같은 연행하중이 지
나갈 때 절대최대전단력과 절대최대휨모멘트를 구하시오(1
등급교).
96 kN 96 kN
24 kN
4.2 m
A
B
30 m
4.2 m
2.13 캔틸레버보의 계산
집중하중을 받을 때
등분포하중을 받을 때
예제 1. 아래 주어진 외팔보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
5m
예제 2. 아래 주어진 외팔보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
5m
예제 3. 아래 주어진 외팔보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
2 kN/m
5m
예제 4. 아래 주어진 외팔보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
2 kN/m
5m
캔틸레버보의 특징 3가지
(1) 반력은 지점(고정단)에서만 3개 발생
(2) 지점에서 전단력과 휨모멘트가 최대
(3) 모멘트는 항상 – 값, 전단력은 변형된 모양을 보고 판단
서귀포시 신시가지
서귀포 대신중학교
서귀포 강창학 구장
부산 금정사이클 경기장
2.14 내민보의 계산
내민보의 장점
w
a
l
a
Wl/2
Wl/2
+
Wa
+
-
Wl/2
-
Wa
Wl/2
Wa2/2
-
+
Wl2/8
내민보의 휨모멘트 크기의 감소
Wl2/8
+
예제 3. 아래 주어진 내민보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
2m
10 kN
5m
10 kN
5m
2m
예제 4. 아래 주어진 내민보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
1 kN/m
2m
10 m
2m
내민보의 특징 3가지
(1) 캔틸레버 구간을 먼저 계산한다.
(2) 단순보 중앙부의 휨모멘트값이 감소한다.
(3) 반곡점이 발생한다.
2.14 내민보의 계산
단순보와 캔틸레버 보의 조합
내민보 반력의 영향선
내민보 전단력의 영향선
내민보에서의 휨모멘트의 영향선
Report #9
문제 1. 아래 주어진 캔틸레버보의 반력과 전단력도 및 휨모
멘트도를 작도하시오.
10 kN
2 kN/m
5m
문제 2. 아래 주어진 캔틸레버보의 반력과 전단력도 및 휨모
멘트도를 작도하시오.
10 kN
2 kN/m
2m
3m
문제 3. 아래 주어진 캔틸레버보의 반력과 전단력도 및 휨모
멘트도를 작도하시오.
2 kN/m
6m
문제 4. 아래 주어진 내민보의 반력과 전단력도 및 휨모멘트
도를 작도하시오.
100 kN
100 kN
20 kN/m
2m
10 m
2m
문제 5. 아래 주어진 캔틸레버보의 반력을 구하고, 축력도,
전단력도 및 휨모멘트도를 작도하시오.
30o
10 kN
2m
10 m
2.15 겔버보의 계산
단순보와 내민보의 조합
예제 1. 아래 주어진 내민보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
10 kN
4m
4m
4m
10 m
예제 2. 아래 주어진 내민보의 반력을 구하고, 단면력도(전
단력도, 휨모멘트도)를 작도하시오.
1 kN/m
10 m
2m
6m
2m
10 m
겔버보의 특징 3가지
(1) 힌지 구간을 우선 계산한다.
(2) 힌지에서는 항상 모멘트가 0이다.
(3) 최대 휨모멘트 값을 줄이기 위해 힌지를 사용한다.
겔버보의 영향선
Report #10
문제 1. 아래 주어진 겔버보에서 반력과 전단력도 및 휨모멘
트도를 작도하시오.
10 kN/m
10 m
2m
6m
2m
10 m
문제 2. 아래 주어진 겔버보에서 반력과 전단력도 및 휨모멘
트도를 작도하시오.
100 kN
4m
4m
4m
10 m