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3. 원형축의 비틀림
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
원형축의 비틀림 – 문제의 정의와 가정
Mt , T
 이론 전개 대상 축의 형상: 원형축 (Circular shaft)
Shaft
 용도: 동력전달(Power transmission), spring, etc.
Mt , T
 이론 전개를 위한 가정(대칭성 논리의 적용을 전제)
M t : Twisting moment
 End-effects are negligible (Saint Venant Principle)
torque
 Uniform cross-section
 Geometry and material are axisymmetric
 Symmetric expansion and contraction are neglected
참고 : Torsion 문제는
Mechanically axisymmetric 문제
가 아님`
 Lengthening and shortening are neglected
Geometrically axisymmetric
O
O
O
O
Material is axisymmetric
O
O
O
X
Circular shaft
O
O
O
X
X
X
좌표계의 설정, 용어 정의, 이론 전개 개요
 용어의 정의


 : Angle of twist
d
: Rate of twist
dz
 변형률
 중실축, 중공축
 비틀림모멘트
 원통좌표계
Local coordinate system
Mt , T
z
축(Shaft)
z

Mt , T
•
( x, y , z )
( r , , z )
x  r cos
y  r sin 
z
zz
 동력
 이론 전개 개요
r
x
y

r
y
x
Reference coordinate system
 기하학적 적합성(Geometric compatibility, 변형의 기하학(Geometry of deformation)
 응력-변형률의 관계(Stress-strain relationship), 구성방정식 (Constitutive law)
 힘의 평형(Force equilibrium)
원형축의 비틀림 – 기하학적 적합성
 Geometry of deformation , Geometric compatibility
 Rule of symmetry (대칭성의 논리)
Mt
Cavity
Mt
upside
down
Mt
Mt
Assumed deformed
profile
 대칭성논리의 적용 법위:
중실축, 중공축,
복합재료 축
Assumed deformed shape
 기하학적 적합성 조건에
어긋남. 그 원인은 단면이
불룩하게(오목하게) 된다는
가정이 잘못된 것에 있음
 기하학적 적합성 조건에
어긋남. 즉 중심을 지나는
선분이 변형으로 곡선이
된다는 가정이 잘못되었음.
 대칭성 논리의 결론
 Diametrical straight line remains straight line
 Plane section, perpendicular to the central line, remains plane
원형축의 비틀림 – 변형률과 비틀림각의 관계
 변형률 성분(Strain components)
  xx  xy  xz 
  rr  r  rz 











 yx
yy
yz 
  r   z 
 

   

zr
z

zz


zy
zz 
 zx
 법선변형률:
 전단변형률   z와 회전각의 관계
z
 ( z  z )
r
z

 rr     zz  0
가정으로부터
 전단변형률:
 r
z
 전단변형률:
 rz
z
 r    r  0
 z  r
z

r  z plane
 rz   zr  0
r     z z
 ( z)
r 
 z
r   plane


z
  z   z  r
d
dz
 : Angle of twist
 rx  0
d
: Rate of twist
dz
좌표계와 응력성분 (Stress components)
 원통좌표계와 직각좌표계
 응력텐서
z
z
z  x plane
  z plane

y  z plane
Local coordinate system
r   plane
z
y
z
r
z  face
x  r cos
y  r sin 
z

y
 xx
x
x
x
Reference coordinate system
 zy
 xz
y
z  face
 zz
 zx
zz
r
z
z
•
r
x  y plane

( x, y , z )
( r , , z )
z  r plane
x
 xy  yx
x  face
 yz
 yy
 zz
 zr
 r
y  face
y
 
 z
(  )  face

 z
 rz
 r
r  face
 rr
r
원형축의 비틀림 – 후크법칙
 응력-변형률의 관계(Stress-strain relationship), 구성방정식 (Constitutive law)
 비틀림시험에서 후크법칙
  z  G  z  Gr
 인장시험에서 후크법칙

d
 Gr L
dz
L
 xx  E xx  E
G
u
du
E L
dx
L
E
2(1   )
 등방성 재료의
일반화된 후크법칙
 xx  1  xx   yy   zz  


E
 yy  1  yy   zz   xx  


  G


 zz  1  zz   xx   yy  

  E

E
 xy 
2 1   
 xy  1  xy
E
G
 yz 
2 1   
 yz  1  yz
E
G
 zx 
2 1   
 zx  1  zx
E
G



E
G
1

1


E
원형축의 비틀림 – 힘의 평형조건
 힘의 평형조건-단일재료 축
d
2
M t   rdF   r dA 
Gr
dA
dF   dA

A
A
A
dz
d
d
GJ : 비틀림강성
Mt 
G  r 2 dA
GJ
dz A
dz
Mr
d M t

   z   z  t
dz GJ
J
J   r dA  2 
2
A
R0
Ri
r 3 dr 

2
( R 04  R i4 )
dr
r
r
dF
A
dA
dA  2 r dr
단면극관성모멘트
 힘의 평형조건-복합재료 축
M t   rdF   r dA 
A
A
d
2
Gr
dA

A
dz
d 
d
2
2

Mt 
G1 r dA  G2  r dA 
(G J  G2 J 2 )
 dz 1 1
A2
응력분포
dz  A1
Mt
Gi rM t
d
G if r  A1 

 
, Gi   1

dz G1 J1  G2 J 2
G1 J1  G2 J 2
 G2 if r  A2 
A 1G 1
A 2G 2
r
r
용어정의
M
BA  
x
L
0
 0;  M t , AB  T  0  M t , AB  T
M
Mt
dz  t , AB
GJ
GJ

L
0
dz 
TL

, J  d4
GJ
32
한단고정-균일비틀림강성-비틀림모멘트 축
 예제 3.1
< F.B.D. >
T
M tAB
T
A
T
 힘의 평형조건
M
M
x
 0;  TA  T  0  TA  T
x
 0;  M t , AB  T  0  M t , AB  T
 비틀림각의 계산
BA  
L
0
M
Mt
dz  t , AB
GJ
GJ

L
0
dz 
TL

, J  d4
GJ
32
 최대전단응력의 계산
 max 
d
Td
2  2  16T
 4 d3
J
d
32
T
한단고정-불균일비틀림강성-비틀림모멘트 축
 예제 3.2
<F.B.D.>
TA  TB  TC
G1 J1
TB
 힘의 평형조건:
M
x
 0;
 TA  TB  TC  0  TA  TB  TC
M t , AB  TB  TC
M t , BC   TC
 비틀림각의 계산:
CA  CB  BA

TBC L2 TAB L1

G2 J 2 G1 J1
 최대전단응력의 계산:
 1max 
T r
TAB r
,  2 max  BC
J1
J2
TC
G2 J 2
균일비틀림강성-동력전달 축의 비틀림
 예제 3.3
< F.B.D. >
A
TA
L1 B
L2
C
TB  TC
TB
TC
 힘의 평형조건:
M
x
 0;
TA  TB  TC  0  TA  TB  TC
M t , AB   TB  TC
M t , BC   TC
 비틀림각도와 최대전단응력
1
[(TB  TC ) L1  TC L2 ]
GJ
(TB  TC )(d / 2)
 max 
J
CA 
기어를 매개로 한 동력전달 축
 예제 3.4
r1
T
r2
1

TA
A
F
F
 힘의 평형조건
M
x
B
2r1
L1 , G1 J1
2
2r2
T
D
L 2 , G2 J 2
C
T
 기하학적 조건
 0;
r2F  T  F 
r1
T
r2
T
r2
r1
TA  r1 F  0  TA   T
r2
M t, DC  T
r
M t, AB  TA   1 T
r2
r1
r11  r2 2   2   1
r2
 비틀림각의 계산
  r1 T  L
TL2  r1   r2  1
CA  CD  DA 
 
G2 J 2  r2  G1J1
2
TL2  r1  TL1


G2 J 2  r2  G1J1
균일비틀림강성-부정정계 문제
 예제 3.5
< F.B.D. >
B
A
T
TA
 힘의 평형조건
M
x
 기하하적 적합성:
 0;
TA  T  TC  0  TC  T  TA
M t , AB  TA
M t , BC  TC  TA  T
1
[TA L1  (TA  T ) L2 ]  0
GJ
L2T
L1  L2
 점 B 의 회전각도와 최대전단응력
BA  
 max 
M t , AB
GJ
dx 
TA L1 1  L1 L2T 
L1 L2T




GJ GJ  L1  L2  GJ ( L1  L2 )
Tmax r
, Tmax  max(TA , TC )
J
TC
CA  0
CA  BA  CB 
 TA 
C
불균일비틀림강성-부정정계 문제
 예제 3.6
< F.B.D. >
B
A
T
TA
 힘의 평형조건
 M x  0;
TA  T  TC  0  TC  T  TA
M t , AB  TA
M t , BC  TC  TA  T
 점 B에서의 회전각도 계산
TA L1
X 1 X 2T
BA 
 X 1TA 
G1 J1
X1  X 2
 기하하적 적합성: CA
CA  BA  CB 
TC
0
TA L1 (TA  T ) L2

G1 J1
G2 J 2
Li
Gi J i
X 2T


T

 A X X

1
2


X 1T 

T

T

T

A
 C
X 1  X 2 

 TA X 1  (TA  T ) X 2  X i
CA  0 
C
축의 설계
 예제 3.11
 주어진 값
Ship
P  260 hp, n  3800 rpm,  a  30,000 psi
 설계 과정
P  260 hp  260  6600 in  lb / s 1.716  106 in  lb / s
2 rad
rad
  3800 rpm  3800 
 398
60 s
s
①
P  T   T  4.31 103 in  lb
 max 
T (d / 2)

32
①+②
d

4
d 
16T
16T
3 lb
3


(

30

10
)

d

a
d3
in 2
 a
3
16T
 a
 0.90 in 2

②
1hp  76kg  m / s
1
1
 76 

lb  ft / s
0.453 0.3048
축의 설계
 예제 3.12
< F.B.D. >
T
T

P  T
P  8kW  8000 N  m / sec
rad
 30 rad
   15Hz  15  2
sec
sec
P
T 
 84.88 N  m



d 
3
16T
 a
 24.3mm
균일분포 모멘트-한단고정 축
 예제 3.13
< Method Ⅰ>
q0 : 단위길이당 모멘트
< F.B.D. >
q0
x
M t ( x)
x
( L  x)
 힘의 평형조건
M
x
 0;  M t ( x)  q0 ( L  x)  0
M t ( x)  q0 ( L  x)
 비틀림각과-비틀림모멘트와의 관계
d M t ( x) q0


( L  x)
dx
GJ
GJ
q0
x2

( Lx  )  C
GJ
2
B.C.
 (0)  C  0
q0
x2
( x) =
( Lx  )
GJ
2
1차함수의 비틀림모멘트-한단고정 축
 예제 3.13 계속
q0
M t ( x)
< Method Ⅱ>
x
t
( L  x)
 비틀림모멘트 함수의 계산
dM t
 q( x)   q0  M t   q0 x  C
dx
M t ( L)  q0 L  C  0  M t ( x)  q0 ( L  x)
q( x)x
x M ( x)
M t ( x  x)
x
q ( x) : 하중밀도함수
 지배방정식의 유도
비틀림각의 함수의 계산
 M  0;
x
d
d
d
(GJ
)  q ( x)  0  GJ
  q0 x  C
dx
dx
dx
d
d
B.C.
M t ( x)  GJ
, M t ( L)  GJ
0
dx
dx
d
x2
GJ
  q0 ( x  L)  GJ    q0 (  Lx)  C2
dx
2
 (0)  C2  0
B.C.
q0
x2

( Lx  )
GJ
2
M t ( x  x)  M t ( x)  q ( x)x  0
lim
x 0
M t ( x  x)  M t ( x )
  q( x)
x
dM t
  q( x)
dx
d M t ( x)
d

 M t ( x)  GJ
dx
GJ
dx
d 
d 
GJ

   q( x)
dx 
dx 
균일분포 모멘트-양단고정 축-부정정계
 예제 3.14
A
q0 , L , d , G
B
q0 L
< F.B.D. >
A
TA
B
q0 L  TA
B
q0 L  TA
L
 비틀림모멘트와 비틀림각의 관계
d M t ( x) TA  q0 x


,  (0)   ( L)  0
dx
GJ
GJ
q
1
  [TA x  0 x 2 ]  C
GJ
2
 (0)  0  C  0
q0 2
qL
L  0  TA  0
2
2
q0 L
x
 ( x) 
x(1  )
2GJ
L
 ( L)  0  TA L 
 최대전단응력의 계산
 max
Tmax d
dq0 L


2J
4J
TA  q0 x
A
(L  x)
x
 힘의 평형조건
M
x
 0; M t ( x)  TA  q0 x
T qL
0
2
x


q0 L
2
x
원형축의 비틀림 총정리
Strain
z
r

Stress
 rr  r  rz 


  r   z 
   
 zr z zz 

0
Hooke’s law

0


1
      zz    0
• rr 

E  rr

• 
0
0
Gr
d
dz



d 
Gr
dz 

0 

0
 1     zz   rr  
E
 z   z 
 zz  1  zz   rr     
•
E
 r 
•

• z

 zr 
• 대칭성 논리
•
• 가정 : rr    zz  0
• 변형의 기하학 :  z   z  r
 r   r  0
 rz   zr  0
d
dz
Force
equilibrium
 r
d Mt

dz GJ
Mt r
J
G
 z
복합축일 경우
G
Mt
d

 ...
dz G1 J1  G2 J2
 zr
G


d
dz 
L dz
1
U 
2


M t2
dz ;
L GJ
Mt
dz
L GJ
Strain energy
원형 축의 변형에너지
Hooke’s law
P
P, 
Mt
Mt , 
kT , eq
ML
  G ,   t , kT , eq  GJ
GJ
L
Strain energy

Stress
G
1
Strain

G : shear modulus of elasticity
M t2L
Mt2
Mt2
2
U
1
1
1
1
U  kT eq 


U  
dz
2
2 JG
L 2 JG
2 L JG
M t 2r 2
2
1
1
1
u   
 
2
2G
2 GJ 2
2
2
M
M
2
t
t
1
1 GJ  d  dz
U   udV  1 
r
dAdz

dz

V
2 L GJ 2 A
2 L GJ
2 L  dz 
2