Transcript 피타고라스의 정리 증명

유클리드의 증명법
옆의 그림과 같이 ∠C=90°인 직각
삼각형 ABC 에 대하여 세 변의 길이
를 각각 한 변의 길이로 하는 정사각
형 ADEB, ACHI, BFGC를 그린다.
점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발을
M, 그 연장선과 변 BE와 만나는 점
을 N이라고 하자.
□ ACHI = 2 △ ACI
‥‥‥(1)
또, 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,
△ ACI = △ ABI
‥‥‥(2)
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가
각각 같으므로,
△ ABI ≡△ ADC
‥‥‥(3)
유클리드의 증명법
밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,
△ ADC = △ ADM
‥(4)
□ ADNM = 2 △ ADM
‥(5)
또,
(1), (2), (3), (4), (5)에서
□ ACHI = □ ADNM
‥(6)
같은 방법으로
□ BFGC = □ BENM
‥(7)
(6), (7)에서
□ ADEB = □ ACHI + □ BFGC
∴
2
2
AB  AC  BC
2
도형 분할을 이용한 증명법
이 그림은 레오나르도 다 빈치
(Leonardo da Vinci, 1452-1519)가
고안했던 것이라고 한다.
그림에서
AC // JG, BC // FJ 되게 하면
△ ABC ≡ △ CID ≡ △ FJG
□ IDEH ≡ □ EABH
≡ □ CAFJ ≡ □ JGBC
∴ ABHIDE = CAFJGB
∴ ABHIDE - 2△ABC
= CAFJGB - 2△ABC
∴ □ ACDE + □ CBHI = □ AFGB
바스카라 (Bhaskara)의 증명법
ab
C 
 4  ( a  b) 2
2
2
∴ c2 = a2 + b2
이 그림은 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라 (Bhaskara : 1114~1185)의 증
명인데, 그는 두 개의 그림을 나란히 그려놓고 ' '보라!'는 말 이외에는 더 이상의 설
명을 제시하지 않았다.
물론, 간단한 대수로 이것을 증명할 수 있다.
페리갈(Perigal)의 증명법
△ABC에서 변 BC를 한 변으로 하는 정사
각형의 넓이는 4a+b가 됨에 주목한다.
단 O는 변 AC를 한 변으로 하는 정사각
형의 중심이며, O를 지나고 선분 BC에 평
행 또는 수직인 선분으로 정사각형을 4등
분한 것이다.
(이 절단은 1830년경 영국인 주식 중매인
이자 아마추어 수학가인 헨리 페리갈에 의
해 발견되어 1837년에 그에 의해 처음 발
표되었다. 이것은 절단함으로써 피타고라
스의 정리를 논증할 수 있는 여러 가지 방
법 중에서 가장 훌륭한 방법의 하나이다.)
참고문헌
수학의 천재들 ►오승재▬경문사
기하학원론►유클리드,토마스히드 ▬교우사
www.mann.co.kr/math/theorem/pythagoras.htm
www.edupark.kongju.ac.kr/java_math/midjava/java/pythagoras.html
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