Transcript 불확실성과 예측 Uncertainty and Prediction

전남대 수학전공 학생을 위한 강연
I. 나의 미래와 수학
2005년 11월 4일
서강대학교 수학과
정동명
1. 나의 미래
나의 미래의 좌표를 진정 설정해 본
적이 있는가 ?
불확실한 미래에 대한 위험을 감수할
용기가 있는가 ?
불확실성이란?
• 확실성
- 미래의 어떤 결과를 현재 시점에서 정확히
예측 가능
• 불확실성
- 미래의 결과를 현재 시점에서 정확한
예측이 불가능
나의 미래의 좌표
• 불확실성하의 미래의 나의 좌표는
조직의 인력구조
조직의 책임구조
나의 미래의 비전은?
지금 세상은 시장의 경쟁논리에 따라
움직이고 있음을 인식해야 한다.
이런 시대에 나의 불확실한 미래를 위
해 어떻게 준비를 할 것인가?
공부 방법 (1)
• 반복 학습에 의한 기능적 공부
–
–
–
–
Fact 위주의 학습
Study by Grinding Method
2차원적 사고 수준에 머물게 된다.
5지선다형 문제 해결 방식 수준에 머문다.
공부방법(2)
• 창의적 사고를 경험하는 공부
- 문제제기, 문제해결을 구현해 보려는 학습
- 논리성,엄밀성,아름다움,실용성을 실현해 보려
는 학습
- Study by Constructive Way of Thinking
서양과 동양의 세계관
• 서양철학
– 희랍문명
– 희랍이 정립한 수학이 바탕
– 세계를 수학적 분석을 통해 이해하려 한다.
• 동양철학
– 중국문명
– 공자가 정립한 유교사상이 바탕
– 세계를 인간관계 중심으로 이해하려 한다.
현 시대가 요구하는 인제상
• 창의적으로 문제를 제기하는 사람
• 제기된 문제를 해결해 내는 사람
• 인화능력을 갖춘 사람
2. 수학
• 수학 이란
자연현상의 법칙 또는 사회현상의 원
리를 규정하는 사고의 법칙
수학의 연구 철학
• Feel
• Think
• Develop
확실성하의 수학적 예측 과정
자연현상
 을 규명하기 위하여
사회현상
모델링
수식화, 미분방정식
해를 구한다.
No
실제 현상과의 적합성을
데이터를 통해 검증
Yes
현상의 해명, 현상의 예측
전문적 지식이 필요
전문적, 수학적 지식이 필요
미분방정식의 지식이 필요
통계적 지식이 필요
Uniqueness of Differentials
• 두 미분가능 함수 f 와 g 에 대하여
f (0)  g (0) 이고 df  dg
이면 모든 t 에 대하여 f (t )  g (t ) 이다
그리고 함수 f 는
t
f (t )  f (0)   f ( s)ds
'
0
로 주어진다. 즉 함수 f 는 f (0) 와 f ' (t ) 에 의하
여 유일하게 결정된다
예제(1)
•
•
•
•
t=0 일 때 박테리아 수 = N0
t=1 일 때 박테리아 수 = 3/2 N0
박테리아의 증가율이 현 박테리아 수에 비례할 때 박테리아 수가 3 N0
가 될 때 까지 걸리는 시간을 예측 하시오
미분방정식
dN
 mN ,
dt
•
해
N (t )  N 0e
N ( 0)  N 0
3
m  ln( )  0.4055
2
mt
N (t )  N 0e 0.4055t
• 구하는 시각
3N 0  N 0e
0.4055t
ln 3
t 
 2.71(h)
0.4055
금융자산 가격의 예측
수익률 개념의 이해
• 전통적 수익률 개념
- Absolute change 개념을 사용
• 수정된 수익률 개념
- Relative change 개념을 사용
로그 수익률
• 상대가격비
110/100 = 1.1 , 99/110 = 0.99
1.10 x 0.99 = 0.99
•
로그 상대가격비
ln(110/100) = 0.0953
ln( 99/110) =-0.1054
0.0953-0.1054=-0.0101
수익률 정의
• 전통적인 수익률
• 로그수익률
가격변화의 대칭성
• 로그수익률에 의한 금융자산의 가격변화
투자자산의 가격이 처음에 10% 오르고 다음에 10%가 내렸다
면 투자자산의 가격이 원래의 위치로 되돌아 온다.
100의 가격에서 로그 수익률이 10% 상승하면 자산의 가격은 1
100 x exp(0.10) = 110.52
다시 로그수익률이10%의 가격 하락이 있었다면 자산의 가격
은
110.52 x exp(-0.10) = 100.00
불확실성하의 수학적 예측 과정
• 금융자산의 가격변화의 예측과정
투자자산의 가격이 처음에 10% 오르고 다음에 10%가 내렸다
면 투자자산의 가격이 원래의 위치로 되돌아 왔다고 생각하기
쉽다. 그런데,
100의 가격에서 10% 상승하면 자산의 가격은 100 ->110
다시 10%의 가격 하락이 있었다면 자산의 가격은 110 ->99
요점: (1) 투자자산의 가격변화는 수익률개념을 통해 예측한다.
(2) 투자자산의 가격변화는 비대칭성은 수익률을 측정하
는 방법으로부터 기인한다
예제(2)
• 열방정식
y
2 y
( x, t )  a 2 ( x, t ),
t
x
– 경계조건
y
(0, t )  0,
x
– 초기조건
y( x,0)  g ( x)

– 해
a  0,
0  x 1
y
(1, t )  0,
x
t0
0  x 1
y ( x, t )   C (n) cos( nx)e
 an2 2t
n 0
1
C (n)  2 g ( x) cos( nx)dx
0
금융자산 가격의 확률분포
• 100의 가격에서 수익률이 매년10%씩 7년 동
안 상승할 경우:
100, 110.52, 122.14,134.99,
149.18, 164.87, 182.21, 201.38
• 100의 가격에서 수익률이 매년10%씩 7년 동
안 하락할 경우:
100, 90.48, 81.87, 74.08
67.03, 60.65, 54.88, 49.66
예제(2)
• Black-Scholes 방정식
f 1 2 2  2 f
f
  S
 rS
 rf ( S , t )
2
t 2
S
S
if
ST  X
f ( ST , T )  
 0 if
• 변환
x  T  t,
ST  X
ST  X
S  2 
(T  t ),
u  log   r 
X 
2 
f ( S , t )  e rx y(u, x)
• 변환된 방정식
 X (eu  1) u  0
y
 2 2 y
(u, x) 
(u, x), y (u,0)  
2
x
2 u
0 u  0
