Transcript 투자론강의노트03

투자론강의노트03
위험과 평균분산모형
위험

위험의 개요
◦ 위험 : 미래의 현금흐름(또는 기대수익)의 분산정도
◦ Three States of Investor's Expectation (states of
nature)
① Certainty refers to cases where investor's
expectations are single valued.
② Risk refers to cases where return is not known, but
the distribution of returns is known.
③ Uncertainty refers to cases where the possible
range of returns is known, but the probability of
occurrence for each alternative is not known.

확률변수(random variable)
- 정의 : 확률시행에 의해 발생하는 사건에 수치를 부여하
는것
X : R
ex) 동전(주사위)던지기, 복권, 일기예보, 경기예측 등
- 종류 : 이산형, 연속형

확률분포 (probability distribution)
- 정의 : 확률변수가 취할 수 있는 모든 값들과 이 값들이
나타날 확률을 표시한 것
ex)
확률표본공간 Ω(ω) 확률변수 X (ω)
앞면(H )
뒷면(T)
100
- 100
확률값
1/2
1/2
- 확률분포의 특징 : 기댓값, 분산(표준편차)

개별자산의 기대수익률과 위험
◦ 기대수익률
S
E ( Ri )   ps  Rsi
s 1
E ( Ri ) : i자산의 기대수익률
ps : 상황S가 발생할 확률,
s {1,2,  , S}
Rsi : 상황S에서의 i자산의 수익률
ex) 증권 A,B,C의 수익률분포
state
prob
RA
RB
RC
호경기
0.3
100%
20%
10%
정상
0.4
15%
15%
12%
불경기
0.3
-70%
10%
14%
- 기대수익률 계산 예
E(RA) = 0.3×100 + 0.4×15 + 0.3×(-70) = 15%
E(RB) = 0.3×20 + 0.4×15 + 0.3×10
E(RC) = 0.3×10 + 0.4×12 + 0.3×14
= 15%
= 12%
◦ 위험 (분산 또는 표준편차)
Var ( Ri )      ps [ Rsi  E ( Ri )]
2
s
S .D.( Ri )    
p
s
[ Rsi  E ( Ri )]
s
ex) 분산 계산 예
 A 2  0.3(1  0.15) 2  0.4(0.15  0.15) 2  0.3(0.7  0.15) 2
 (0.6584) 2
 B 2  0.3(0.2  0.15) 2  0.4(0.15  0.15) 2  0.3(0.1  0.15) 2
 (0.0387) 2
C2 

 (0.0155) 2

투자결정의 기준
- 수익극대화
- 기대수익극대화
- 기대효용극대화
** 상호대체적인 투자안의 수익률 분포 (예제)
A
ret
8
B
prob
1
C
ret prob
10
1
D
E
ret
prob
ret
prob
ret
prob
-8
1/4
-4
1/4
-20
1/10
16
1/2
8
1/2
0
6/10
24
1/4
12
1/4
50
3/10
⑴ 수익극대화 기준
ㆍavailable under perfect certainty
ㆍchoice b/w A and B
⑵ 기대수익극대화 기준
option
Expected Return(%)
A
8
B
10
C
12
D
6
E
13
ㆍ투자안 E가 가장 선호됨
ㆍ투자자의 특정한 기호(선호)와는 독립적임
※ The St. Petersburg Paradox (presented by Bernoulli)
Description
of result
Toss

prob of result
prize
1
H
1/2
1
2
TH
1/4
2
3
TTH
1/8
4
4
TTTH
1/16
8
…
…
…
…
n
[(n-1)T]H
(1/2)n
2n-1
…
…
…
…
1
1
1
1 N N 1
E ( x )  1   2   4      ( )  2    
2
4
8
2
1 1 1
1
       
2 2 2
2

(3)기대효용극대화 기준
◦ 효용(utility) : preference index or weight of preference
경제적 이득에 대하여 선호하는 정도를 나타낸 지수 혹
은 가중치 -> 개인의 선호에 의존
Ex)
$100
A
10
B
10
C
10
$200
17
15
23
◦ 효용함수
- 효용은 개인의 선호태도를 반영
- 만약 선호태도가 일관성 있는 체계를 보이면 이를
효용 함수로 나타낼 수 있다.
- 일반적 효용함수의 형태 : u'>0, u"<0
◦ 기대효용
- 효용함수가 존재하고 미래의 부에 관한 확률분포가 존
재하면 기대효용을 구할 수 있다.
S
- E[u (W )]   ps  u (Ws )
s 1
[효용함수의 예]
효용(U)
W
U(W)
U  U (W )
50
1
1
10
5
50
40
100
50
40
5
0 10
50
100
부(W)
[위험회피형 투자자의 효용함수]
U
U  U (W )
U (W2 )
U (W )
E[U (W )]
U (W1 )
0 W1
W  E (W )
W2
W
ex1) A solution of St. Petersburg Paradox
Let u ( x)  ( x)1/ 2
, then

Eu ( x)   p ( x)u ( x)
x 1
1
1
1
2
2
2
2
  n  2 n 1  

  
2 4
8
n 1 2
1 2


2
1
2- 2
Now, let X 0 be maximum price that an individual will be
ready to pay in order to participat e in the game, i.e. , CEQ.
1
 Eu ( x)  u ( x0 )  x0
2 2
1
 x0  (
) 2  (1.707) 2  2.914
2 2
ex2) 앞의 5가지 alternative option의 예
투자안 A : u ( A)  8  2.8284
투자안 B : u ( B)  10  3.1623
투자안 C : u (C )   8  1  16  1  24  1  2.5176
4
2
4
투자안 D : u ( D) 
''' '''
 1.2802
투자안 E : u ( E ) 
->투자안 B를 선택
''' '''
 1.6741

위험에 대한 투자자의 태도 → under u'>0,depending on u"
alternative
payoff
E(W)
std(W)
No Game
100
100
0
Game
H : 150
T : 50
100
50
⑴ 위험회피형 (u"<0)
E[u (W )] 
1
1
 u (50)   u (150)  u (100)  u[ E (W )]
2
2
⑵ 위험선호형 (u">0)
E[u (W )]  u[ E (W )]
⑶ 위험중립형 (u"=0)
Eu (W )  u[ E (W )]
[이성적 투자자의 효용함수와 동전게임]
U
c
U (150)  12.247
U (100)  10
E[U (W )]  9.659
U (50)  7.071
0
U (W )  W
a
b
50
100
150
W
1
2
[위험선호형의 효용함수와 동전게임]
U (W )  W 2
U
U (150)  22,500
E[U (W )]  12,500
U (100)  10,000
U (50)  2,500
0
50
100
150
W
[위험중립형의 효용함수와 동전게임]
U
U (W )  0.5W
U (150)  75
E[U (W )]  50
U (50)  25
0
50
100
150
W

위험회피
-
안전한 1원이 위험한 1원보다 보다 가치 있다
→ 인간은 불확실성(위험)을 좋아하지 않는다 (위험회피)
- 정의 :
For initial wealth , W0 , and fair gamble , ~z , w/ E( ~z )  0 ,
Var( ~z )  0, a person is said to be risk adverse at W0 , if
u (W )  E[u (W  ~z )]
0
0
- If this relation holds for all W, the person is globally
risk averse.

확실성등가와 위험프리미엄
U
U (W )  W
U (150 )  12 .247
U (100 )  10
E [U (W )]  9 .659
U (50 )  7 .071

CEQ
0
W1  50 E (W )  100 W2  150
W
1
2
◦ 확실성등가(Certainty Equivalent Quantity)
어떤 불확실한 부의 기대효용과 동일한 효용을 갖는 확
실한 부의 크기
u(CEQ)  E[u(W0  ~
z )]
◦ 위험프리미엄(π) : (Markowitz) risk premium
  E[W0  ~z ]  CEQ
 게임의 기대값과 확실성등가와의 차이
평균분산모형

Mean-Variance Criterion
An option F dominate (is preferred to) an option G by MVC,
if
E ( RF )  E ( RG )
Var ( RF )  Var ( RG )
On the condi that at least one strong inequality holds.
ex)
option
A
B
C
D
E
E(Ri)
10
8
9
11
12
Var(Ri)
10
11
10
12
11
- A C , and E B
C B ( E(R C )  E(R B ) and Var(R C )  Var(R B ) )
E D ( E(R E )  E(R D ) and Var(R E )  Var(R D ) )
- efficient group : A, E  inefficien t group : B, C, D
- Every investor who acts in accordance w/ MVC will
make his final selection from the efficient group.

M-V Indifference Curve
E (R )
0

- 우상향 : Along I1 , K has the same utility w / M.
a direction : utility increased (I 2  I1 )
b direction : utility
decreased (I1  I 3 )
 a, b 사이로 존재 and I 2  I1  I 3
- convexity : due to risk adverse additional increments
of variance require increasingly larger increment of
expected return to compensate the individual.
- IC의 기울기 : risk averse의 정도
( example의 option A와 E의 selection w/ IC )