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Fondements – avenir incertain
Professor André Farber
Solvay Business School
Université Libre de Bruxelles
Rappel: Certitude – 1 période
Valeur actuelle:
C1
VA(C1 ) 
 C1  v1
1 r
Critères de choix
d’investissement:
C1  I
r
VAN   I  C1  v1  0  TRI 
I
Interprétation de la VAN:
Mesure l’accroissement de richesse des propriétaires de l’entreprise
Indépendante des préférences de choix intertemporels
Valeur de l’entreprise:
Non endettée:
Endettée:
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VU  C1v1
V  A  D  [C1  D(1  r )]v1  D(1  r )v1  VU
DIV1
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Introduction de l’incertitude
• Deux approches possibles:
• Source d’incertitude = états de la « nature » (Arrow 1953)
Applications contemporaines: actifs dérivés
• Rentabilités financières = variable aléatoires distribuées selon loi
normale (Markowitz 1952)
• Aujourd’hui: analyse dans le cadre d’états de la nature
• TEMPS: 1 période
• INCERTITUDE: Une seule source d’incertitude: la conjoncture
• 2 états possibles:
• Bonne conjoncture
b
Probabilité: p
• Mauvaise conjoncture m
Probabilité: 1-p
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Exemple
Prix aujourd’hui
Cash flow bonne
conjoncture (0.40)
Cash flow mauvaise
conjoncture(0.60)
Zéro-coupon
unitaire (ZC)
100
105
105
Action (A)
50
100
25
Taux d’intérêt sans risque rf
Cash flow attendu
Rentabilité attendue de l’action
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rf 
105
 1  5%
100
CFA1  0.40 100  0.60  25  55
r
55  50
 10%
50
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Actifs financiers
Prix aujourd’hui
Cash flow bonne
conjoncture (p)
Cash flow mauvaise
conjoncture(1-p)
Zéro-coupon
unitaire
v1
1
1
Action
a
CFA1b=ua
CFA1m=da
Taux d’intérêt sans risque rf
Cash flow attendu
Rentabilité attendue de l’action
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v1 
1
1  rf
CFA1  p  CFA1b  (1  p)  CFA1m
r
CFA1  a
a
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Evaluation de l’action
CFA1  a
CFA1
r
a
a
1 r
Le prix de l’action est égale à la valeur actuelle
-du cash flow
-actualisé au taux de rentabilité attendue
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Evaluation d’un actif nouveau
Nouvel actif
Valeur
Bonne
conjoncture
Proba = 0.40
Mauvaise
conjoncture
Proba = 0.60
Rentabilité attendue
?
30
50
?
Evaluation par comparaison: est-il possible de reproduire l’actif nouveau en
combinant l’obligation et l’action?
Nous devons résoudre le systéme d’équations suivant:
nZC 105  nA 100  30
nZC 105  nA  25  50
Solution:
nZC = 0.54
nS = - 0.27
La valeur du portefeuille est donc: V = 0.54 ×100 + (-0.27) × 50 = 40.6
Conclusion: la valeur de l’actif nouveau est V = 40.6
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Sinon, ARBITRAGE
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Titres contingents / Options digitales
Une option digitale est un titre qui paie 1 dans un état du monde, 0 autrement.
(also known as Arrow-Debreu securities, contingent claims)
2 états
→ 2 options D
Evaluation
Valeur
Etat = B
Etat = M
Option B
v1b
1
0
Option D
v1m
0
1
nZC 105  nA 100  1
nZC 105  nA 100  0
nZC 105  nA  25  0
nZC 105  nA  25  1
nZC = -0.0032 nA = 0.0133
vu = 0.35
nZC = 0.0127 nA = -0.0133
vd = 0.60
Les prix d’options digitales sont appelés prix des titres contigents,
prix d’états
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Prix de titres contingents
A l’équilibre, le prix payé pour recevoir 1€ dans un état du monde doit
être le même dans les deux titres
100  v1b 105  v1m 105
50  v1b 100  v1md  25
Dans le cas contraire, il y aurait une possibilité d’arbitrage
Un portefeuille d’arbitrage est un portefeuille:
- dont la valeur est négative ou nulle (vous ne payez rien ou, mieux encore,
vous êtes payé pour détenir ce portefeuille)
-dont la valeur est positive dans au moins un des états du monde et nulle dans
les autres.
L’absence d’arbitrage est l’une des conditions les plus générale
d’équilibre (dans un marché à l’équilibre, pas de repas gratuit!)
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Théorème fondamental
Dans un marché complet (nombre d’actifs = nombre d’états), la condition
d’absence d’arbitrage (NA) est satisfaite si et seulement si il existe des prix
d’états strictement positifs tels que:
V   v1s C1s
s
0.5
Dans notre exemple:
v1b  1.05  0.35
2  0.5
1
2
1
vd  1.05
 0.60
2  0.5
Valuing Asset 3:
V  0.35  30  0.60  50  40.6
Expected return:
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r  0.40 
30  40.6
50  40.6
 0.60 
 3.36%
40.6
40.6
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A more general formulation:
Price
Value up state
Proba π
Value down state
Proba 1 - π
Zéro-coupon
1
1+rf
1+rf
Action
a
ua
da
u
1
vu 
C1b
C
 1  rf  d  1m
a
a
d
1  rf
vd 
ud
ua 
v1b  ua  v1m  da 
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uda
1  rf
ud

u
1
1  rf
ud
uda
 da
1  rf
ud
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a
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Utilisation des prix d’états
Une fois connus les prix d’états, l’évaluation est simple:
La valeur d’un actif générant des cash flows futurs C1b et C1m est:
V  v1b  C1b  v1m  C1m
La valeur actuelle d’un projet de coût I qui rapporte C1b
ou C1m
VAN   I  v1b  C1b  v1m  C1m
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