r ij



r

i



r

j

Atomi s više elektrona

Kinetičke energije elektrona

E



T



V

Coulombsko privlaćenje jezgre i elektrona međusobno odbijanje elektrona 

i Z

  1

p

i

2 2

m

 1 4  0

i Z

  1

Ze

2

r

i

 1 4  0

i Z

 

j e

2

r ij Udaljenost i-tog i j-tog elektrona H

   2 2

m i Z

  1 

i

2  1 4  0

i Z

  1

Ze

2

r

i

 1 4  0

i Z

 

j e

2

r ij

Hamiltonijan

(operator energije)

Onemogućuje separaciju varijabli

Aproksimacija središnjeg polja

1. i-ti elektron osjeća usrednjen potencijal ostalih elektron 2. Potencijal je sferno simetričan 1 4  0

Z



i



j e

2

r ij



i Z

  1

V

(

r i

)

efektivni potencijal

H

   2 2

m i Z

  1 

i

2  1 4  0

i Z

  1

Ze

2

r

i



i Z

  1

V

(

r i

)

Schrödingerova jednađba za Z čestica se separira na Z jednađbi za jednu česticu!

Efektivni potencijal. Ovisi o svim elektronima! Taj potencijal je pozitivan (destabilizirajući )!

    2 2

m



i

2  1 4  0

Ze

2

r i



V

(

r i

)    (

r

i

) 

E

 (

r

i

)

r

i

 (

Coulombsko privlačenje jezgre (stabilizirajuće)

Položaj i-tog elektrona

Valna funkcija koja opisuje stanje i-tog elektrona.

Valna funkcija atoma (koji sadrži Z elektrona) je produkt Z takovih funkcija!

x i

,

y i

,

z i

)

Efekti penetracije i zasjenjenja

(Efektivni atomski brojevi)

Kod atoma s više elektrona svaki elektron osjeća efektivni naboj (koji je manji od naboja jezgre) je ga zasjenjuju ostali elektroni koji se nalaze između tog elektrona i jezgre. Što je elektron dalje od jezgre to je taj efekat jači!

Z

efektivni

He Na

1s 2s 2p 3s 1.69

10.6

6.85

6.85

2.20

Energetski nivoi atoma: iste kugline funkcije



lm

! Samo radijalni dio

R

nl

se mijenja!

0 E 3s

l=0 m=0

2s

l=0 m=0

3p 3p 3p

m= -1 m=0 m=1

2p

l=1

2p 2p

m= -1 m=0 m=1 l=1

3d

n= 2

3d 3d

m= -2 m= -1 m=0 m=1 m=2 l=2

3d 3d

n= 3

1s

l=0 m=0

n= 1

Efekti penetracije i zasjenjenja uklanjaju degeneraciju stanja različitog angularnog momenta

(s,p,d,itd.)

Paulijev princip isključenja:

Kvantni brojevi n, l, m, m

s

(jednoelektronsko) jednoznačno određuju stanje ! U jednom stanju može biti

samo jedan elektron!

(to je posljedica drugog aksioma!)

Princip izgradnje (“Aufbau princip”):

Popunjavanje orbitala ide redosljedom:

1s < 2s < 2p < 3s < 3p < (4s,3d)

e.g. C atom: Z=6

1s 2 2s 2 2p 2

Kad ne bi bilo Paulijevog principa isključenja ....

Posljedica Paulijevog principa isključenja

•Ako su na raspolaganju degenerirane orbitale, elektroni najprije popunjavaju prazne orbitale

(elektrostatski razlog)

Na primjer C atom: 1s 2 2s 2 2p x 2p y

•

Hundovo pravilo:

Atom poprima konfiguraciju sa maksimalnim brojem nesparenih elektrona

(maksimalni multiplicitet)!

C atom je u tripletnom stanju!

Na kojoj udaljenosti od jezgre je najveća vjerojatnost nalaženja 1s elektrona?

 

e



Zr a

0

Z eff



Z

za

1s

elektron minimalno zasjenjenje!

P(r)



r 2



2 = r 2 exp(-2Zr/a 0 ) dP/dr=0 daje r max =a 0 /Z

Atom

H He

r max

(A 0 )

0.529 0.265

Li

0.176

Be

0.132

C

0.088

N Za uran je r max =0.0058 A 0 !

O F

0.076

0.066

0.059

Multipliciteti stanja i simboli termova

(višečestični sustavi)



2s

E

1s



pr s =1s(1)1s(2)

Primjer: osnovno stanje He atoma

2p

Prostorna komponenta valne funkcije je simetrična

sp a =

a(

1)

b

(2)-

a

(2)

b

(1)

Spinska komponenta mora biti antisimetrična! To je S=0

(singlet)

stanje!

Ukupna valna funkcija je antisimetrična!

(drugi postulat)



pr s



sp a =1s(1)1s(2)

a(

1)

b

(2)-1s(1)1s(2)

a

(2)

b

(1)

Osnovno stanje He atoma 2p E 2s



1s(1)1s(2)

a(

1)

b

(2)-1s(1)1s(2)

a

(2)

b

(1)

1s

Kompaktan prikaz preko Slaterove determinante:

1s(1)

a

(1) 1s(2)

a

(2)



= 1s(1)

b

(1) 1s(2)

b

(2)

ukupna kutna količina gibanja (S) multiplicitet (singlet)

1 S 0

Stupci sadrže moguća stanja jednog elektrona

Poopčenje na sustave s više od dva elektrona!

ukupni angularni moment

(prvo)

Pobuđeno stanje

He

atoma

E

2s 1s



pr s =1s(1)2s(2)+1s(2)2s(1)



pr a =1s(1)2s(2)-1s(2)2s(1)

Prostorne funkcije

(dvije mogučnosti)



sp s =

a

(1)

a

(2)



sp s =

b

(1)

b

(2)



sp s =

a(

1)

b

(2)+

a

(2)

b

(1)



sp a =

a(

1)

b

(2)-

a

(2)

b

(1)

Spinske funkcije

(tri mogučnosti)

Potpuna valna funkcija mora biti antisimetrična na zamjenu dva elektrona!

2s E 1s Singlet ( 1 S 0 )



s =



pr s



sp a

Singletno stanje. Simetrična prostorna i antisimetrična spinska funkcija!

Ukupni spin je nula

(S=0)

Jedna spinska funkcija. Spinski multiplicitet je 1!

Tri spinske funkcije. Spinski multiplicitet je 3!

2s 1s triplet ( 3 S 1 )



t =



pr a



sp s

Tripletno stanje. Antisimetrična prostorna i simetrična spinska funkcija!

Ukupni spin je 1

(S=1)

Spinski multiplicitet je

2S+1

!

Simboli termova

Primjer: 2 elektrona, orbitalni angularni kvantni brojevi l 1 i l 2 .

Ukupni orbitalni kvantni brojevi:

(Clebsch-Gordanova serija):

L=l 1 +l 2 , l 1 +l 2 -1,l 1 +l 2 -2,...., |l 1 -l 2 |

Orbitalni kvantni broj

sustava

.

Označava stanje

termova

atoma

:

termovi

L=0, 1, 2, 3,... S, P, D, F,...

singlet

Ukupni spinski kvantni broj

S:

U slučaju dva elektrona:

S=0, 1

triplet

Simboli termova

Ukupni angularni kvantni broj

J

:

(Clebsch-Gordanova serija):

Primjer:

J=L+S, L+S-1, L+S-2,...., |L-S|

Spinski multiplicitet (singlet) 1 S 0 term

Ukupni angularni momemt

(J) 3 P 0

J=0

3 P 1

J=1

3 P 2

J=2 S=1 (triplet); L=1 (P)

H E 2s H



2 S 1/2 osnovno stanje “dublet S” 1s 2 S 1/2 1 S 0 osnovno stanje “singlet S” He 3 S 1 pobuđeno stanje “triplet S” 1 S 0 2s 1s 2s 3 S 1 1s

S 1 P 3 P 0

Konfiguracija elektrostatska interakcija

P D

spinska korelacija

3 P

Spin-orbit interakcija

3 P 1 5 3 P P 2 Ukupni orbitalni angularni momemt L termovi Spinski multiplicitet 2S+1 ukupan spin Ukupan angularni momemt J

Pitanja

Atomi s više elektrona

 Napišite opći Hamiltonijan za atom s

v i š e e l e k t r o n a !

 Što je to aproksimacija središnjeg      polja? Što su efekti penetracije i zasjenjenja? Što su efektivni atomski brojevi? Kako izgleda shema energetskih nivoa višeatomskog atoma? Što je to princip izgradnje (“Aufbau princip”)? Objasnite Paulijev princip isključenja!

T a j p r i n c i p j e p o s l j e d i c a j e d n o g a k s i o m a v a l n e m e h a n i k e .

K o j e g ?

 Koji kvantni brojevi jednoznačno

o d r e đ u j u s t a n j e e l e k t r o n a u a t o m u ?

 Kako elektroni popunjavaju degenerirane orbitale? Dajte primjer!    Objasnite Hundovo pravilo! Dajte primjer za Hundovo pravilo! Na kojoj udaljenosti od jezgre je najveća vjerojatnost nalaženja elektrona?

1s

 Na kojoj udaljenosti od jezgre je najveća vjerojatn

o s t n a l a ž e n

elektrona kod atoma urana?

j a

1s

   Napišite osnovno stanje stanje

He

atoma!

He

atoma! Napišite prvo pobuđeno singleton stanje

He

atoma! Napišite prvo pobuđeno tripletno