Transcript Wilson-Sommerfeldova pravila kvantiziranja ppt

Vilson-Zomerfeldova
pravila kvantovanja
Interpretacija pravila kvantovanja
Odakle dolaze:
Bohr’ovo pravilo kvantizacije momenta impulsa elektrona?
Planck’ovo pravilo kvantizacije energije elektromagnetnog zračenja?
Wilson-Sommerfeld’ova pravila kvantovanja:
Za svaki fizikalni sistem u kojem su koordinate periodične funkcije
vremena, postoji kvantni uslov za svaku od tih koordinata.
Ti kvantni uslovi su slijedeći:
 p dq  n h
q
q
q:
Jedna od koordinata (generalisana koordinata)
pq : Generalisani impuls generalisane koordinate q
nq : Kvantni broj

: Integracija se vrši preko jednog perioda koord. q
Za jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator :
x ( t )  A cost 
 a( t ) 
dx( t )
 A si nt  v ( t )
dt
dv( t )
  2 A cost
dt
 F  a ( t )m   kx( t )   2 m  k   
k
 2 
m
p x2 kx2
p x2
x2
E  K V 



1
2m
2
2mE 2 E / k
p x2 x 2

 1 for b  2mE , a  2 E / k
b2 a 2
 p dx  ab  
x
2mE 2 E / k  2E / 
 E /   n x h  nh  E  nh
E  E ( n  1)  E ( n)  ( n  1)h  nh  h
h  0  E  0 continuous
e ne rgy
Kvantizacija momenta impulsa za Bohr’ov atom:
 p dq  n h   Ld  L
q
q
2
0
d  2L
nh
 2L  nh  L 
 n
2
nh
 L  mvr  pr  n 
2
for de Brogl i ewave l e n gth  
h
h
 p
p

h
nh
 r
 2r  n , n  1,2,3...

2
de Broglievi stojeći talasi
Sommerfeld’ov model
Sommerfeld’ovo objašnjenje za eliptične putanje:
 Ld  n h  L2  n h  L  n / , n  1,2,3..
 p dr  n h  L(a / b  1)  n h, n  0,1,2,...
r
r
r
r
4 0 n 2  2
n
1 2 Z 2 e 4
a
,b  a
 E  (
)
2
Ze
n
4 0 2n 2  2
 : re du ce dm ass
nr : radialqu an tu mn u m be r
n : az i m u th alqu an tu mn u m be r
n  nr  n prin cipalqu an tu mn u m be r
(1) n  n ci rcu larorbit
(2) n  nr e llipticalorbit
 For th esam en, bu t diffe re n tnr an d n e n e rgyis de ge n e rate
.
Sommerfeld’ov model
 Sommerfeld je otklonio degeneraciju tako što je problem tretirao relativistički.
for hydroge natom v / c  102
 E  (v / c )2  10 4 (e V)e ne rgyspl itti ng
Z 2 e 4
 2Z 2 1
3
E
[
1

(

)]
2
2 2
(4 0 ) 2n 
n
n 4n
e2
1


fi n estru ctu recon stan t
4 0 c 137
1
Selekciono pravilo:
ni  nf  1
Bohr’ov model atoma
Princip korespondencije
Bohr (1923):
(1) Za vrlo veliki kvantni broj,predviđanje kvantne teorije korespondira
sa klasičnom teorijom.
(2) U kvantnoj teoriji istinito je bilo koje selekciono pravilo koje
takođe važi i za granični slučaj klasične (vrlo veliki kvantni broj).
Na primjer: zračenje crnog tijela:
Pl an cks' th e ory:   nh    n h
C l assi calth e ory:  0    kT con stan t

n h  kT as  0 an d h  0  n  
Bohr’ov model atoma
Primjer: Primijeni princip korespondencije na zračenje vodonikovog atoma u
graničnom slučaju klasičnog modela.
Th e cl assi calradi ati onfre qu e n cyof  0 i n Boh rorbi tn i s
v
1 2 me 4 2
0 
(
)
2r
4 0 4 3 n 2
Boh r's radi ati onth e oryfor ni  n f  1
me 4
1
1
1 2 me 4
2n  1
 (
)
[

]

(
)
[
]
4 0 4 3 ( n  1) 2 n 2
4 0 4 3 ( n  1) 2 n 2
1
2
me 4 2
n     (
)
0
3
2
4 0 4 n
1
2
 Uočeni su prelazi između stanja sa niskim n u kojima stara kvantna
teorija ne može da se složi sa eksperimentom.
Bohr’ov model atoma
Kritika stare kvantne teorije
(1) Wilson-Sommerfeld’ova kvantizacija se koristi samo za periodični
sistem
(2) Može se koristiti za računanje dozvoljenih stanja, ali ne može da
se koristi za računanje brzine prelaza.
(3) Ona je uspješna samo za sisteme sa jednim elektronom, a
sasvim neupotrebljiva za sisteme sa dva ili više elektrona.
(4) Čini se da cijeloj teoriji nedostaje koherentnost.