Transcript Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral

Logique et raisonnement
scientifique
cours transversal
Collège Doctoral
Pr. Alain Lecomte
1. Un sommaire et quelques idées
de la logique argumentation à la
logique des processus

Qu’est-ce que la logique?
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Un truc de philosophe?
Un truc de matheux?
La science du raisonnement?
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
L’étude du « vrai »?
Une idée : les discours
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
oui… lequel?
Évaluer leur cohérence
L’argumentation, le dialogue
Quels discours?
–
–
Les mathématiques
Frege : « Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la
rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la
dépasser » (Les Fondements de l’Arithmétique)
suite

C’est tout? Seulement les mathématiques?
–
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Déjà beaucoup…
Et puis non, pas seulement les mathématiques

Les mathématiques comme « laboratoire »
suite

Une vieille histoire
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Une vieille histoire (1) : Aristote, logique antique
et logique médiévale, la disputatio, l’argument de
Saint-Anselme, « fallacies », des logiques
exotiques
Une vieille histoire (2) : Kant, Husserl, Cavaillès,
Wittgenstein
Une vieille histoire (3): la rencontre avec les
mathématiques, Cantor, Dedekind, Frege
suite

La crise des fondements et le « programme de
Hilbert »
–
Comment peut-on être sûr qu’une théorie est correcte?
Qu’elle est « vraie »?

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Peut-on définir le « vrai »?

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En refaisant tous ses raisonnements avec des moyens dont on
est sûr : idée de Hilbert
Le concept de vérité dans les langages formalisés : Tarski 
théorie des modèles, langue / métalangue
Peut-on démontrer tout ce qui est « vrai » ?

Théorèmes d’incomplétude : Gödel
suite

Le rôle de
l’intuitionnisme
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Une réaction contre le
formalisme : Brouwer
Une présentation de la
logique intuitionniste
(Heyting)
Qu’est-ce qu’elle
apporte?
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
Quelques surprises:
interprétation de Kripke
Comment le savoir
croît…
Le rôle de l’intuitionnisme

« doutes sur le tiers exclu » Brouwer, 1908
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« La fonction des principes logiques n’est pas de diriger les
raisonnements mathématiques appliqués à des réalités
empiriques, mais de décrire, dans le langage des
raisonnements, les régularités qui ont été obéies.
Si on s’exprime en langage en suivant ces régularités, et en
perdant le contact des systèmes mathématiques, on court le
risque de paradoxes tels que l’Epiménide ».
Le rôle de l’intuitionnisme-2
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

Syllogisme : non contestable (simple idée
d’emboîtement de systèmes)
Contradiction : idem (« l’effectuation de
l’emboîtement d’un système a dans un
système b d’une façon déterminée, et vle fait
de se heurter à l’impossibilité de cet
emboîtement, sont mutuellement
incompatibles »
Tiers exclu : ?
Interrogation sur les concepts
fondamentaux

Faut-il modifier la logique?
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« Si A alors B » … une pure question
d’arrangement de valeurs de vérité,
Une « implication stricte »? (Lewis)
Vers les logiques modales
Logiques modales
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Vous avez dit « modale »?
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Le nécessaire et le possible
L’obligatoire et le permis
Le futur et le passé
Savoir et croire
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Quel sens attribuer à un énoncé de croyance?
Comment modéliser le temps à l’intérieur d’une
logique?
où la machine intervient

Le problème de la décision, la logique et la
machine
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
Introduction d’une nouvelle problématique en
logique : Turing, Church
A. Church: Le lambda-calcul et nos
retrouvailles avec l’intuitionnisme
Un autre problème posé par Hilbert:
l’Entscheidungsproblem
Le problème de la décision est résolu si l’on
connaît une procédure qui permette de
déterminer, en utilisant un nombre fini
d’opérations, la validité, respectivement la
satisfaisabilité d’une expression logique
donnée (1928)
Turing (1936)



Machines de Turing
Machine de Turing
universelle
Indécidabilité du
problème de l’arrêt
Le -calcul de Church
1934? - 1936

formuler avec précision le problème de la
substitution des variables dans une expression qui
représente une fonction
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
Application
Abstraction
Équivalence avec MdT
Théorème de Church-Rosser
Une condition pour la normalisation : termes
« typés »
Où cela rencontre l’intuitionnisme

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Système de typage = logique intuitionniste
Application = modus ponens
Abstraction = introduction de 
La logique intuitionniste a un contenu
algorithmique 
Prouver c’est programmer!

Pourquoi la logique est utile:
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–

Prouver c’est programmer
Prouver c’est planifier
La logique et les sciences modernes
–
La logique comme science des processus
informationnels convergents :



langue,
biologie,
cognition
Prouver c’est planifier



cf. une action produit un changement dans le
monde
utilise des ressources
se réalise par combinaison d’actions plus
élémentaires
poser c sur la table
c
a
poser c sur la table
c
a
poser c sur la table
a
poser c sur la table
a
poser c sur la table
a
poser c sur la table
a
c
Passer de l’état du monde:
 main vide (V)
 c en haut de pile (donc accessible) (H(c))
 c sur a (S(c, a))
à
 main vide
 c en haut de pile
 c en bas de pile (B(c))
 a en haut de pile
décrit par le séquent :
V, H(c), S(c, a)  VH(c)B(c)H(a)
Actions élémentaires




prendre(x) :
poser(x) :
oter(x, y) :
mettre(x, y) :
V, H(x), B(x)  T(x)
T(x)  VH(x)B(x)
V, H(x), S(x, y)  T(x)H(y)
T(x), H(y)  VH(x)S(x, y)
preuve
T(c)  V  H(c)  B(c)
H(a)  H(a)
-------------------------------------------------  - droite
T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a)
-----------------------------------------------  - gauche
V, H(c), S(c, a)  T(c)  H(a) T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a)
-----------------------------------------------------------------------------------coupure
V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a)
preuve
poser(c) H(a)  H(a)
--------------------------------------  - droite
T(c), H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a)
------------------------------------  - gauche
oter(c, a)
T(c)  H(a)  V  H(c)  B(c)  H(a)
-----------------------------------------------------------------------------------coupure
V, H(c), S(c, a)  V  H(c)  B(c)  H(a)
preuve  action?


On peut extraire une composition d’actions
d’une preuve
comme on peut extraire un programme d’une
preuve (informatique théorique)
biologie

Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur
vivant »
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–
–
–
–
Physique : matière, énergie, temps…
Biologie : Physique + information, codage, contrôle…
Arithmétique : chaînes d’entiers, récursivité, codage…
Informatique : arithmétique + programme + machine… »
« comme dans le cas de la construction d’une machine,
dans celui de la construction d’une cellule, on a besoin d’un
livre de recettes… cela demande ensuite qu’on soit capable
de changer le texte de la recette en quelque chose de
concret : ceci consiste dans le « transfert d’information ».
Dans une cellule, ce transfert d’information est assuré par le
programme génétique »
interaction
& : choix « actif » (vous avez le choix entre … et …)
 : choix « passif » (l’un ou l’autre, vous ne décidez
pas)
 : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé
: les deux, en parallèle, par exemple l’échange (l’un
contre l’autre)
 : le changement de point de vue
interprétation



Interaction
la logique n’est plus seulement interprétable
comme « décrivant un extérieur »,
elle s’interprète « par rapport à elle-même »,
autrement dit elle réfère à ses propres
procédures (elles se répondent entre elles)
Un aspect… ludique?

Retour sur le dialogue et l’argumentation:
–
–
–
Logique dialogique
« Game Theoretical Semantics » et IF-logique
(Hintikka, Sandu…)
Interprétation de la logique linéaire
2. Retour sur une vieille histoire
d’Aristote à Hilbert
Qu’est-ce que la logique?

Hilary PUTNAM, 1971:
(1 )
tous les S sont M
tous les M sont P
(donc)
tous les S sont P
(2)
x est identique à x
(3)
non (p et (non p))
(4)
p ou (non p)

…. Tout ceci, même s'ils ne sont pas
d'accord sur l'exposition des principes
respectifs à l'œuvre dans ces différents cas.
Il existe donc bien un corpus de "doctrine
permanente " en logique
Maintenir la cohérence du discours
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
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Jeu de l’obligatio:
(1) B   (A  C)
(2) A  B
(3)  B  C
B (A  C)
OUI
NON
B (A  C)
AB
OUI
NON
OUI
NON
Tu perds!
B (A  C)
AB
OUI
NON
OUI
NON
Tu perds!
OUI
NON
B (A  C)
AB
OUI
NON
OUI
NON
OUI
NON
Tu perds!
OUI
B  C
NON
Tu perds!
OUI
NON
Tu perds!
Aristote
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
Théorie du syllogisme
1ère figure : BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO
2ème figure : CESARE, CAMESTRES, FESTINO,
BAROCO
3ème figure : DARAPTI, FELAPTON, DISAMIS,
DATISI, BOCARDO, FERISON
4ème figure : BAMALIP, CALEMES, DIMATIS,
FESAPO, FRESION
Le syllogisme aristotélicien
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Tous les hommes sont mortels
Socrate est un homme
Donc Socrate est mortel
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–
moyen : homme
majeur : mortel
mineur : Socrate
… ah! Barbara, comme il pleuvait fort
sur Brest ce jour là…
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B
A Tout M est S (universelle affirmative)
R
B
A Tout X est M (universelle affirmative)
R
A Tout X est S (universelle affirmative)
NB : le moyen est sujet de la majeure et prédicat
de la mineure
celarent
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
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

C
E
L
A
R
E
N
T
Aucun M n’est S
(universelle négative)
Tout X est M
(universelle affirmative)
Aucun X n’est S
(universelle négative)
Logique indienne
(à partir du 2ème siècle)
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Proposition : il y a du feu sur la montagne
Raison : parce qu’il y a de la fumée sur la
montagne
Exemple : comme dans une cuisine, et pas
sur un lac
Application : il en est ainsi
Conclusion : donc il y a du feu
« fallacies »
catalogue de formes d’argumentation fausses
–
affirmation du conséquent
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–
accident
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–
En général les oiseaux volent, Tweety le Pingouin est un
oiseau, donc Tweety vole
pétition de principe
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Si p alors q, q, donc p
L’âme est immortelle parce qu’elle ne meurt jamais
etc. ref: Hamblin, « Fallacies », 1970
L’argument ontologique
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
[l’] insensé <celui qui dit que Dieu n’est pas>, quand
il entend cela même que je dis : "quelque chose de
tel que rien ne se peut penser de plus grand",
comprend ce qu'il entend, et ce qu'il comprend est
dans son intellect, même s'il ne comprend pas que
ce quelque chose est.
Donc l'insensé aussi, il lui faut convenir qu'il y a bien
dans l'intellect quelque chose de tel que rien ne se
peut penser de plus grand, puisqu'il comprend ce
qu'il entend, et que tout ce qui est compris est dans
l'intellect.
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
Et il est bien certain que ce qui est tel que rien ne se peut
penser de plus grand ne peut être seulement dans l'intellect.
Car si c'est seulement dans l'intellect, on peut penser que ce
soit aussi dans la réalité, ce qui est plus grand.
Si donc ce qui est tel que rien ne peut se penser de plus grand
est seulement dans l'intellect, cela même qui est tel que rien ne
se peut penser de plus grand est tel qu'on peut penser quelque
chose de plus grand ; mais cela est à coup sûr impossible.
Il est donc hors de doute qu'il existe quelque chose de tel que
rien ne se peut penser de plus grand, et cela tant dans
l'intellect que dans la réalité.