Transcript Wiskunde en biologie Gilberte Verbeeck

Wiskunde en biologie
Gilberte Verbeeck
Kennismaking Gilberte
• Lerares wiskunde sinds 1984
• Sint-Jozefinstituut Essen: ASO
Wiskunde in ASO: EMT(3u) – (W)EWI (6u) – MWTE (4u).
Vrije ruimte: seminarie (2u).
Mentor
• Leerkrachtenopleiding in Zambia (1996-2001)
• Deeltijds praktijkassistent SLO UA Wiskunde (15%) sinds
2003 en Algemene didactiek (30%) sinds 2008
• Uitwiskeling
• [email protected]
2
Kennismaking
• Leerkracht secundair / andere
• Onderbouw / bovenbouw
• Sterke leerlingen / zwakke leerlingen
• Minder dan 3u wiskunde per week / 3u wis per week
of meer
3
Vooraf
•
•
•
•
Zoektocht linken wiskunde en biologie
Vertrokken vanuit handboeken
Artikel uitwiskeling: http://www.uitwiskeling.be/
Samenwerking Sabine Van Roose
– Vrije ruimte
– Onderwerpen in Wiskunde en Biologie: ene discipline
toegankelijker maken voor de andere
• Wiskunde ondersteunt biologie
• Biologie levert contexten voor wiskunde
– [email protected]
4
Wat en hoe?
• Inleiding
– Schetsen ideeën vrije ruimte
– Lesideeën
• Zelf aan het werk: keuze uit een aantal werkteksten
• Nabeschouwing : een kijk op de werkteksten door
deelnemers EN/OF lesgever
• Aanzet tot samenwerking - contacten leggen met
eigen biologieleerkrachten
5
Vrije ruimte: wiskunde ondersteunt biologie
• Expeditie zeeleeuw:
– ICT gestuurd project bestaande uit verschillende modules
– Doel: beeld scheppen rond het onderzoek aan de
Noordzee
– Wiskunde: verwerking gegevens lengte garnalen
– Nieuw project: Planeet zee http://www.planeetzee.org
• Paddenoverzet:
– Organisatie overzet in eigen of naburige gemeente
– Wiskunde: grafiek stadia padden
– Nederland: http://www.ivn.nl
• Phyllotaxis (niet in cursus)
6
Stadia padden
7
Maak met je GRM een grafiek van onderstaande
gegevens en zoek een bijpassend functievoorschrift.
Tijdstip
20°C
Vrijdag 17 april 1987
15.15u
II13
Zondag 19 april 1987
19.15u
III6
Maandag 20 april 1987 11.00u
III7
Maandag 20 april 1987 20.00u
III7
Dinsdag 21 april 1987
08.15u
III8
Dinsdag 21 april 1987
14.45u
III8
…
8
Overkoepelende lesideeën
“In elk van de voorbeelden die we gaven, gaat de groei steeds
sneller. We noemen dat een exponentiële groei. Op de
wiskundige achtergronden ervan gaan we hier niet dieper in.
Om ze helemaal te begrijpen, moet je wat meer afweten van
logaritmen en differentialen. Misschien wil je leraar wiskunde
er wel wat meer aandacht aan besteden?”
•
•
•
•
•
Populatiedynamiek
BMI
Schoenmaat proef
Genetica
Nitraten
9
Zelf aan het werk: overzicht
1
Logistische groei GRM
Stadia padden
+
2
Rij inleiding + Meetkundige rij
Populatie konijnen
+
3
Rij, groeisnelheid, logistische groei
Populatie duiven
+/-
4
Exponentiële, logaritmische functie
Wieren
+
5
Exponentiële, lineaire groei
Wieren bacteriën
+
6
Expon., logistische groei (afg. – int.) Populatie duiven
7
Algemene sinusfunctie (kort)
Prooi – roofdier
+
8
1ste–2de – 3de graadsfuncties
BMI
+
9
Statistiek (kort)
Schoenmaten en lengte
+
10-11
Telproblemen en boomdiagrammen DNA, genen, allelen
Kansbomen
Erfelijkheid
-
10-12 Telproblemen en boomdiagrammen DNA, genen, allelen
Voorwaardelijke Kans, Bayes
Bloed
-
+/-
10
(1) Stadia padden
S-curve - logistische groei
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
25
00
0
20
00
0
15
00
0
10
00
0
Logistische groei
50
00
0
stadia
Logistische groei
tijd (min)
Een model: de logistische functie met vergelijking:
7,53
y
1  16e 0,00055 x
hierbij komt x=0 overeen met vrijdag 17 april 1987
11
(2) Rijen vierde jaar: Werktekst 1
Rij van Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,…
12
(2) Rijen vierde jaar: werktekst 2
elk paar konijnen werpt 8 nesten met 6 jongen
Na… jaar
Samenstelling
van de
populatie
1
2
0
0
0
0
2
1 jarigen
2 jarigen
3 jarigen
4 jarigen
5 jarigen
Totaal aantal konijnen
1j
van
2j 3j
4j
24 24 24 24 
1 0 0 0

A
0
1 0 0


0
0
1
0


2
48
2
0
0
0
50
2
0 
1j
P 
0 
2j
naar
 
3j
0 
4j
3
4
1 200 30 000
48
1 200
2
48
0
2
0
0
1 250 31 250
1j
2j
3j
4j
5
750 000
30 000
1200
48
0
781 248
 48 
2
A.P   
0
 
0
1j
2j
3j
4j
13
Elk paar werpt als 1 jarige 8 nesten van 6 jongen en sterft in het 2de levensjaar
Na ... jaar
1
2
3
4
5
1 jarigen
2
48
1 152
27 648
663 552
Na … jaar
Aantal konijnen
1
u1=2
2
u2 
2
 48  48
2
3
u3 
u
48
 48  1152 dus u3  2  48  u2  24
2
2
4
u4 
5
dus u2 
u1
 48  u1  24
2
u
1152
 48  27648 dus u4  3  48  u3  24
2
2
u5  u4  24
un  un 1  24
u1  2
un  2  24
n -1
14
(3) Rijen vijfde jaar: werktekst 3
•
•
•
•
populatie van 1000 vrouwelijke tortelduiven
elk vrouwtje krijgt na 1 jaar gemiddeld 1,5 vrouwelijk jong;
kort daarna sterft het vrouwtje;
er is geen immigratie of emigratie van duiven.
yn1  1,5 yn
y0  1000
yn  1000 1,5
Absolute groei: 500, 750, 1125, 1680,…
Groeifactor 1,5
groeisnelheid 0,5
yn 500
750 1125



 ...
yn 1000 1500 2250
15
n
(3) Rijen vijfde jaar: Werktekst 4
Populatiegrootte
y
Relatieve groeisnelheid
r
1000
0,5
1250
0,49
1500
0,48
1750
0,47
y
0,54 – 0,000 04 y
yn yn 1  yn

 r  0,54  0, 000 04 yn
yn
yn
yn 1  0, 000 04 y  1,54 yn
2
n
16
17
(4) Exponentiële en logaritmische functies
We veronderstellen dat op 1 januari van dit jaar de plant 30 km² van de
oppervlakte van het Karibameer bedekte. De oppervlakte die door de plant bedekt
wordt, verdubbelt elk jaar.
18
• Hoeveel oppervlakte zal bedekt zijn na 1, 2, 3,… t
jaar?
– 60km², 120km², 240km², … 30 . 2t km²
GEGEVEN
GEVRAAGD
tijd
oppervlakte
30 . 210
10 jaar
30 720 km²
EXPONENTIËLE FUNCTIE
O(t) = 30 . 2t
19
• In welk jaar zal er 120km², 960km², 1500 km² van het meer
bedekt zijn met algen?
120  30  2t  4  2t  t  2
960  30  2t  32  2t  t  5
1500  30  2t  50  2t  t  5,...
GEGEVEN
GEVRAAGD
oppervlakte
tijd
2
log 32
960 km²
5 jaar
LOGARITMISCHE FUNCTIE
o
T (o)  log
30
2
20
J curve: O(t) = 30 . 2t
21
(5) Lineaire en exponentiële
groei
In een riviervlakte wordt grind gebaggerd. Zo ontstaat een
meer. Bij het begin van de werken heeft dit meer een
oppervlakte van 800 m² water. Door de baggerwerken
wordt het meer elke week 550 m² groter. Na het baggeren
wil men het meer zo vlug mogelijk voor waterrecreatie
gebruiken. Daarom wordt de kwaliteit van het water
regelmatig gecontroleerd. Bij het begin van de werken
vindt men 5 m² van een bepaalde algensoort in het meer.
Tijdens de volgende weken verdubbelt deze oppervlakte
elke week. Iemand merkt op dat hier iets aan gedaan moet
worden. Het meer zal anders vlug volledig bedekt zijn met
algen. Maar de beambte van het ministerie van
volksgezondheid ziet voorlopig geen gevaar: “Het meer
wordt toch elke week 550m² groter.”
22
(6) Exponentiële en logistische groei
• J – curve
– Absolute groeisnelheid:
N (t )
– Relatieve groeisnelheid:
N (t )
N (t )
– Relatieve groeisnelheid constant
N '(t )  rN (t )  N (t )  N0e
rt
23
(6) Exponentiële en logistische groei
• S - curve
– Relatieve groeisnelheid niet constant:
– Absolute groeisnelheid:
K  N t 
N (t )
 rm
N (t )
K
N '(t )  rm N (t )
– Differentiaalvergelijking:
K  N t 
K
dN
KN
 rm N
dt
K
– Functievoorschrift logistische groei:
N (t ) 
K
1  Ae  r t
m
7,53
y
0,00055 x
1  16e
24
(7)Algemene sinusfunctie
• Prooien – roofdieren
• Vossen – konijnen…
N1 (t )  200sin(0, 2 t )  400
N 2 (t )  300sin  0, 2  t  2    500
25
(8) BMI
gewicht(in kg)= lengte (in cm)  100
y  x  100
gewicht (in kg)
BMI 
lengte2 (in m 2 )
x
y 2
l
y  BMI  x 2
26
(9)Schoenmaatproef
• Verband lengte schoenmaat
• Spreidingsdiagram
• Regressielijn (zelf – GRM)
• Residu : gegeven t.o. voorspelde
27
(10) Genetica en tellen
• Hoe uniek zijn we?
• Hoe geven we ons erfelijk materiaal door?
28
DNA (Deoxyribo-Nucleic-Acid)
• Molecule
• Dubbele spiraal
• Basen:
– Cytosine – Guanine
– Thymine – Adenine
• DNA – code (tripletcode)
• Unieke erfelijke
eigenschappen
29
Hoe uniek zijn we? (1)
• Unieke erfelijke eigenschappen
verschillen in volgorde van de basen A, G, C en T
AAG  AGA
• Hoeveel tripletcodes van drie opeenvolgende basen
zijn mogelijk?
4³ = 64
30
CHROMOSOMEN
chromosoom
(stuk van de
opgerolde
spiraal)
dubbele
spiraal:
bestaat uit 2
ketens
verbonden
door telkens 2
basen
3 miljard basen op 46
stukken van het DNA
23 homologe
chromosomenparen
31
Hoe geven we ons erfelijk materiaal door?
• Meiose: homologe chromosomen wijken uiteen
‘linkse’ en ‘rechtse’ chromosoom
• Mixing
• Gameet: bevat 23 chromosomen
Bv
‘linkse’ van 1, 5, 10 en 20
dus ‘rechtse’ van…
• Eicel + zaadcel: 23 homologe chromosomenparen
32
Hoe uniek zijn we? (2)
• Op hoeveel manieren kan een willekeurig
assortiment van 23 chromosomen in een gameet
gevormd worden?
223 = ongeveer 8 miljoen
• Hoeveel combinaties van chromosomenparen
kunnen er door één ouderpaar gevormd worden?
Ongeveer 8 . 8 = 64 miljoen²
33
Hoe geven we ons erfelijk materiaal door?
• Meiose: homologe chromosomen wijken uiteen
‘linkse’ en ‘rechtse’ chromosoom
• Mixing
• Gameet: bevat 23 chromosomen
Bv
‘linkse’ van 1, 5, 10 en 20
dus ‘rechtse’ van…
• Eicel + zaadcel: 23 homologe chromosomenparen
34
Hoe uniek zijn we? (2)
• Op hoeveel manieren kan een willekeurig
assortiment van 23 chromosomen in een gameet
gevormd worden?
223 = ongeveer 8 miljoen
• Hoeveel combinaties van chromosomenparen
kunnen er door één ouderpaar gevormd worden?
Ongeveer 8 . 8 = 64 miljoen²
35
Genen en bomen
• Hoe geven we ons genetisch materiaal door?
• Hoe komen die 64 miljoen verschillende combinaties
tot stand?
• Hoe kan ….
36
GENEN
Mijlpaal in onderzoek
NCR Handelsblad 9 maart 2000
Menselijk chromosoom 22 ontcijferd
Een internationaal team van 217 wetenschappers heeft de DNA-code van het
menselijk chromosoom 22 in kaart gebracht. Het is het eerste menselijke
chromosoom waarvan de erfelijke code is bepaald. Dat meldt het
wetenschappelijk tijdschrift Nature vandaag.
…
Op chromosoom 22, het op een na kleinste, ontdekten de onderzoekers ten
minste 545 genen. Maar dat aantal zal nog groeien omdat de softwareprogramma's die tussen de letterbrij naar genen zoeken, niet feilloos werken. In
totaal schatten de onderzoekers dat chromosoom 22 een kleine 1.000 genen
bevat. Het totale erfelijke materiaal van de mens bevat naar schatting 100.000
genen.
37
GENEN
Een gen is een stukje van een
chromosoom, dat de informatie bevat
voor één erfelijke eigenschap:
oogkleur, vorm neus, haarkleur…
Een homoloog chromosomenpaar
bevat dezelfde set van genen
38
Allelen
• Verschillende variaties voor een gen:
Haarkleur: blond, zwart…
Oogkleur: blauw, bruin…
Pigmentatie: albino, normaal
• een allel is een bepaalde vorm van een gen
• allelen komen steeds in paren voor
• Dominant
recessief co-dominant
39
Genotype - fenotype
• Genotype = combinatie van allelen die op het gen
voorkomen
– Allel voor blond + allel voor zwart
• Fenotype = uiterlijke verschijningsvorm
– Zwart haar
40
Gen ‘losse of vaste oorlellen’
• allel L losse oorlellen en allel l vaste oorlellen
• losse oorlellen dominant
Voorbeeld:
Moeder vaste oorlellen – vader losse oorlellen
Wat zijn genotypes en fenotypes?
– Genotype Moeder: ll
– Genotype Vader: LL of Ll
opm: in biologie L .
Fenotype: vaste oorlellen
Fenotype: losse oorlellen
41
‘losse of vaste oorlellen’
moeder ll, vader LL P generatie
• F1 generatie
– Genotype: Ll
Fenotype: Losse oorlellen
Eerste wet van Mendel:
Bij kruising van twee homozygoten die slechts in één
eigenschap verschillen, ontstaan nakomelingen die allemaal
hetzelfde genotype en fenotype hebben.
Mono hybride = kruising van ouderparen die slechts in één eigenschap
verschillen
42
‘losse of vaste oorlellen’
moeder ll, vader LL
• F1 generatie
– Genotype: Ll
Fenotype: Losse oorlellen
• F2 generatie
– Punnettschema: Vrouw/man
L
l
L
LL
l
Ll
Ll
ll
– Boomdiagram:
L
LL
l
Ll
L
lL
I
ll
L
I
43
Tweede wet van Mendel
Bij een onderlinge kruising van hybriden uit een
eerste monohybride kruising van homozygote ouders,
splits de uniforme F1 generatie zich weer in de F2
generatie volgens de ouder-fenotypen.
44
Wat met Kian en Remee?
Both Kylie and her partner Remi
Horder, 17, are of mixed race. Their
mothers are both white and their
fathers are black.
According to the Multiple Births
Foundation, baby Kian must have
inherited the black genes from both
sides of the family, whilst Remee
inherited the white ones.
Daily Mail, 2 maart 2006
45
(11) kenmerk ‘losse of vaste
oorlellen’
– Kansboom:
0,5
L
0,5
0,5
0,5
0,5
I
L
LL
l
Ll
3:1
L
lL
I
ll
0,5
Wat is de kans dat deze ‘grootouders’, ‘kleinkinderen’ hebben met vaste
oorlellen?
46
Tweede wet van Mendel
Bij een onderlinge kruising van hybriden uit een
eerste monohybride kruising van homozygote ouders,
splits de uniforme F1 generatie zich weer in de F2
generatie volgens de ouder-fenotypen. Dit gebeurt in
volgende verhoudingen 3:1 in geval van dominantie
en 1:2:1 wanneer een intermediaire bestaat.
47
kenmerk ‘rode of witte bloemen’
– Kansboom:
0,5
R
0,5
0,5
0,5
0,5
W
R
RR
W
RW
R
RW
W
WW
0,5
1:2:1
48
Steeds hetzelfde schema
p
A
AA
q
a
Aa
A
Aa
a
aa
A
p
q
p
a
q
p+q = 1
Kansen
AA: p²
Aa: 2pq
aa: q²
49
(11) Toepassing: De genetica van ons bloed
Bloedgroep
Antigen
Antistof
A
A
B
B
B
A
O
_
A en B
AB
A en B
_
4 bloedgroepen zijn fenotypen A, B, O en AB
allelen: IA codeert voor de A-bloedgroep, IB codeert voor de
B-bloedgroep, i codeert voor geen van beide
Dominantie: twee eerst genoemde allelen dominant over het
i-allel. Tegenover elkaar co-dominant.
50
• Is het mogelijk dat een kind bloedgroep O heeft als
beide ouders bloedgroep A hebben?
– Beide ouders IAi
– Kan kind geven met bloedgroep ii
– Kans? p = 0,5, q = 0,5, kans ii: q² = 0,25 .
Dus 25% kans
p
p
q
q
p
q
51
Bepaal de mogelijke bloedgroepen van de vader als moeder O
en kind A als bloedgroep hebben en in elke situatie de kans dat
het kind A heeft met deze ouders.
Een zwangere vrouw kan een kind dragen met een
verschillende bloedgroep dan zij zelf heeft.
moeder bloedgroep O
en kind bloedgroep A
Het kind krijgt van de moeder antistoffen tegen A.
Als deze antistoffen het bloed van het kind na de
bevalling afbreken, veroorzaakt dit geelheid
geelheid is zelden ernstig: behandeling onder een
blauwe lamp, zeer zelden nieuw bloed nodig
52
Moeder heeft O, kind A en de vader?
Vader moet allel IA doorgeven
Dus bloedgroep AB (IAIB) of A (IAi of IAIA)
Kans:
AB (IAIB) 50% kans om IA door te geven
A (IAi) 50% kans om IA door te geven
A (IAIA) vader geeft altijd IA door
53
Voorwaardelijke kans
Beide grootvaders: O
Oefening 1
? kans dat kind: A
Beide grootmoeders: AB
Oefening 2
Kind: A
? Kans dat ouders verschillende bloedgroep hebben
54
grootvaders O, grootmoeders AB
• Mogelijke bloedgroepen ouders:
50% kans op A (IAi) of B (IBi)
p
• Mogelijke ouderparen
– 25% kans op beide A
– 50% kans op A en B
– 25% kans op beide B
p
q
q
p
q
55
Oefening 1
O,75
A
I Ai x I Ai
O
O,25
O,5
I Ai x I Bi
O,25
AB
A
B
O
O,25
B
I Bi x I Bi
O
56
P  A   P  I Ai  I Ai   P  A I Ai  I Ai   P  I Ai  I B i   P  A I Ai  I Bi 
1 3 1 1 5
 0, 25.0,75  0,5.0, 25     
4 4 2 4 16
O,75
A
I Ai x I Ai
O
O,25
O,5
I Ai x I Bi
O,25
AB
A
B
O
O,25
B
I Bi x I Bi
O
57
Oefening 2
O,75
A
I Ai x I Ai
O
O,25
O,5
I Ai x I Bi
O,25
AB
A
B
O
O,25
B
I Bi x I Bi
O
58
1 1
P  I Ai  I B i en A  P  I Ai  I B i   P  A I Ai  I B i  2  4 2
P  I Ai  I B i A  



5
P( A)
P  A
5
16
O,75
A
I Ai x I Ai
O
O,25
O,5
I Ai x I Bi
O,25
AB
A
B
O
O,25
B
I Bi x I Bi
O
59
Het bloed van de Belgische bevolking
Bloedgroep: A - 42% ; B - 10% ; AB – 3% en O - 45%
Rh+
86%
; 85% ; 87% en 84%
Bloedgroepen
0,86
Resusfactor
+
A

0,42
0,85
0,1
+
B

0,03
0,87
+
AB

0,45
0,84
+
O

60
Kans O – en kans op resusfactor - ?


P  O en    P  O   P  O  0,45  0,16  0,072
P  A    P  B    P  AB    P  O    0,15
Bloedgroepen
0,86
Resusfactor
+
A

0,42
0,85
0,1
+
B

0,03
0,87
+
AB

0,45
0,84
+
O

61
Hoeveel procent van de Belgische bevolking is
drager van het recessieve resusnegatief allel?
Resusfactor positief R
P(rr) = 0,15
Resusfactor negatief r
Stel P(rr) = q², P(RR) = p² en P(Rr) = 2pq.
q² = 0,15, dus q = 0,39.
p
Dus p = 0,61
q
Dus P(RR) = 0,37, P(Rr) = 0,48.
p
q
p
q
Kans drager resusnegatief allel is dus 0,63
62
Moeder is Rh– kans op Rh+ kind ?
• Moeder Rh- dus rr
• Kind Rh+ dus vader RR of Rr
• Moeder rr en vader RR, kind is Rr met kans 1
• Moeder rr en vader Rr, kind is Rr met kans 0,5
63
P  RR en rr   0, 37  0,15  0, 0555
P  Rr en rr   0, 48  0,15  0, 072
moeder
rr
vader
rr
O,48
kind
O,5
Rr
0,15
O,37
0,48
Rr
rr
RR
Rr
1
Rr
O,37
P( Rr )  0,0555 1  0,072  0,5  0,092
RR
64
O is de meest voorkomende bloedgroep maar i is
een recessief allel.
Stel p+q+r=1 met p de kans voor het allel IA ,
q de kans voor het allel IB en r de kans voor het allel i.
r 2  0, 45 en 2 pq  0,03
 r  0, 45  0,67
 p  q  1  0, 45 en p  q  0,015


 p en q zijn oplossingen van x 2  1  0, 45 x  0,015  0
 p  0, 27 en q  0,05
Het meest voorkomende allel is dus het allel i
65
Dank voor uw aandacht
66