Transcript CALCULUS III ส่วนที่ 2 : สมการเชิงอนุพันธ์ อาจารย์ ดร.เจษฎา ตัณฑนุช

CALCULUS III
ส่ วนที่ 2 : สมการเชิงอนุพนั ธ์
อาจารย์ ดร.เจษฎา ตัณฑนุช
KdV equation
สมการการเคลื่อนที่

dx
v
dt
2
d x
g 2
dt
(ความเร็ ว)
(ความเร่ ง)
สมการการผสมกันของของเหลว
mx(t )  bx(t )  qx(t  r )  kx(t )  0
ระบบสมการระบบนิเวศน์วทิ ยาระหว่าง
ผูล้ ่า-ผูถ้ ูกล่า
1  x(t )
x '(t )  a1 (
) x(t )  b1 y (t ) x (t )
p
y '(t )   a2 y (t )  b2 x(t  r ) y (t  r )
สมการ Navier-Stokes equation
du

  f  grad  div
dt
ตัวอย่ าง
y  f ( x)  e x เป็ นผลเฉลยชัดแจ้ง (explicit solution)
dy
ของสมการ
y0
dx
ตัวอย่ าง
1 1
 0
y x
ความสัมพันธ์
dy
เป็ นผลเฉลยโดยปริ ยาย (implicit solution) ของสมการ 
dx
2
y
2
x
จงหาผลเฉลยของสมการ
จงหาผลเฉลยของสมการ
จงหาผลเฉลยของสมการ
จงหาผลเฉลยชัดแจ้ง (exact solution) ของสมการ
csc x y '  y
ตัวอย่ างทีผ่ ่ านมา
x y y
y' 
, y(3)  1
y 1
2
5. ( x 2  xy)dy  y 2 dx  0, y(1)  1
y
2
 1 xdx  ( x  2) ydy  0
xyy '  2 y  4 x , y(2)  4
2
2
หรื อ
y '  2 xy  3x e , y(0)  5
2 x2
dy
x2
 2 xy  6 xe
dx

y( )  0
2
xy ' 3 y  2 x , y(2)  1
5
จงแสดงว่า
x  3xy  4 y  c เมื่อ c เป็ นค่าคงตัวใดๆ
2
เป็ นผลเฉลยของสมการ
y
y' 
, y(1)  2
2 xy  1
2
M N

y
x
สมการใดต่อไปนี้ไม่ใช่สมการเอกพันธุ์ (homogeneous)
(1) xy ' y  1
2
2
2
(2) ( x  3xy  y )dx  x dy  0
y/x
(3) xy '  y  2 xe
(4) x y ' 3xy  2 y  0
(5) ( x 2  2 y 2 )dx  xy dy  0
2
2
สมการใดต่อไปนี้ไม่ใช่สมการเชิงเส้น (linear)
2
(1) x y ' 3 xy  2 y  0
2
(2) ( x  2 y ) dx  xy dy  0
(3) xy ' y  x
(4) xy '  y  2 xe
2
2
(
x

3
xy
)
dx

x
dy

0
(5)
x
สมการใดต่อไปนี้ไม่ใช่สมการเแม่นตรง (exact)
3 2
(1) ( x  2 x)dy  (3 xy  2 y )dx  0
2
2
(2) ( x  2 y )dx  2 x dy  0
(3) ( x  2 xy )dx  x dy  0
(4) xy ' y  x
x
(5) xy '  y  2 xe
2
2
(2 x  y )dx  ( x  4)dy  0
สมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับทีห่ นึ่งทีก่ าหนดให้
เป็ นสมการชนิดใด
(1) สมการแยกตัวแปรได้ (separable)
(2) สมการเอกพันธุ์ (homogeneous)
(3) สมการเชิงเส้น (linear)
(4) สมการแม่นตรง (exact)
(5) มีขอ้ ถูกมากกว่า 1 ข้อ
(2 x  y )dx  ( x  4)dy  0
จงหาผลเฉลยชัดแจ้ง (explicit solution)
ของสมการดังกล่าว
(1)
(3)
x  yx  4 y  c
2
2
x
y
c
x4
(5) ไม่มคี าตอบทีถ่ ูก
(2)
x c
y
4 x
(4)
x  yx  4 y  c
2
2
ถ้า
y  y ( x)
เป็ นผลเฉลยของปั ญหาค่าตัง้ ต้น
(2 x  y )dx  ( x  4)dy  0,
จงหาค่า
(1) 0
(2) 1
(3) 4
(4) 10
(5) 16
y (0)
y (2)  10