Transcript อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบแน่นอน (Certain Trigonometric Integrals) 

อินทิกรัลของฟังก์ ชันตรีโกณมิตแิ บบแน่ นอน
(Certain Trigonometric Integrals)
1  sin x cos xdx
m
n
m
n
tan
x
sec
xdx
2 
3
m
n
cot
x
csc
xdx
หรื อ 
 sin mx cos nxdx ,  sin mx sin nxdx
และ  cos mx cos nxdx
1.  sin m x cosn x dx จะหำค่ ำของอินทิกรัลได้ โดยแยกพิจำรณำ เป็ น3 กรณี
กรณี1 m หรื อ n เป็ นจำนวนเต็มบวกคี่
ถ้ ำ m เป็ นจำนวนเต็มบวกคี่ จะใช้ วธิ ีกำรเปลีย่ นตัวแปร โดย
กำหนดให้ u = cos x , du = - sin x dx
ถ้ ำ nเป็ นจำนวนเต็มบวกคี่ ในทำนองเดียวกันจะใช้ กำรปลีย่ นตัวแปรกำหนดให้
u = sin x, du = cos x dx และใช้ เอกลักษณ์ sin 2x + cos2x = 1
ตัวอย่ าง 12
1)  sin 3 x cos 5 xdx
3
cos x
2) 
dx
4
sin x
3)  sin 5 xdx
4)  cos 3 xdx
กรณี 2. ทั้ง m และ nเป็ นจำนวนเต็มบวกคู่จะใช้ วธิ ีลด
กำลังของพจน์ cos x และ sin x ลงโดยใช้ เอกลักษณ์
1  cos 2x
1  cos 2x
2
sin x 
, cos x 
2
2
2
(หรื อบางทีอาจใช้ sin 2x = 2 sin x cos x)
ตัวอย่ างที่ 13
1)  sin x cos xdx
4
6
2)  sin 6 xdx
3)  cos 4 3xdx
กรณี 3. m + n เป็ นจำนวนเต็มลบคู่ หรื อทั้ง m และ n เป็ นจำนวน เต็มคู่
จำนวนหนึ่งจำนวนใดต้ องเป็ นจำนวนเต็มลบ
แล้ วจะใช้ วธิ ีกำรเปลีย่ นตัวแปรโดยให้ tan x = t หรื อ cot x = t
dt
t
1
dx 
, sin x 
, cos
2
1  t 
1 t2
1 t2
ตัวอย่ างที่ 14
1) 
dx
3
sin 11 x cos x
cos 4 x
2)  2 dx
sin x
1
3)  4
dx
2
cos x sin x
2.  tanm x secn x dx หรื อ  cotm x cscn x dx
กรณี n เป็ นจานวนเต็มบวกคู่
จะให้ u = tan x , du = sec2 x dx และ sec2 x = 1 + tan2 x
ตัวอย่ างที่ 15
1) 
3
sec 4 x tan 2 xdx
3)  sec 4 xdx
3
2
2) csc 4 x cot xdx
4)  csc 6 2xdx
กรณี m เป็ นจำนวนเต็มบวกคี่
แทนค่ ำ u = sec x , du = sec x tan x dx
ตัวอย่ างที่ 16
1)  tan x sec xdx
3
5
2)  tan x sec xdx
3)  cot 5 x csc 4 xdx
7
4
กรณี m เป็ นจำนวนเต็มบวกคู่และ n เป็ นจำนวนเต็มบวกคี่
จะหำค่ ำ  tanm x secn x dx ได้ โดยกำรอินทิเกรตทีละส่ วน
(Integration by parts) ซึ่งจะได้ เรียนต่ อไป
กรณี n = 0 และ m Z+ จะเป็ นกำรหำ
m x dx และ cotm x dx
tan


จะหำค่ ำอินทิกรัลได้ มำกกว่ ำ 1 วิธี
วิธีที่ 1 โดยการสร้างสู ตรลดทอน (Reduction formula) ได้ดงั นี้
 tan
m
xdx   tan
m 2
x tan
2
xdx
  tan
m 2
x sec

2
x  1 dx

  tan
m 2
x sec
2
xdx   tan
  tan
m 2
x d tan x    tan
tan m 1 x

  tan
m 1
m 2
x dx
m 2
m 2
x dx
x dx
วิธีที่ 2 อำจหำค่ ำ 
m
tan

tanm x dx
2
sec
x ดังนี้
โดย คูณด้ วย
2
sec x
tan m x
2
xdx  
sec
xdx
2
sec x
tan m x
2

sec
xdx
2
1  tan x
um

duเมื่อให้ u = tan x
2
1 u
แล้ วหำรยำวตัวถูกอินทิเกรต เพื่อแปลงตัวถูกอินทิเกรตให้ อยู่
ในรู ปที่ง่ำยต่ อกำรหำค่ ำต่ อไป
วิธีที่ 3 เปลีย่ นค่ ำ
m
sin
x
m
 tan xdx   cosm xdx
แล้ วหำค่ ำอินทิกรัลต่ อไปในรู ปของ  sinm x cosn x dx ในกรณีต่ำง
แล้ วแต่ ค่ำของ m และ n
ตัวอย่ างที่ 17
1)  tan 5 xdx
2)  tan 6 xdx
3)  cot 6 xdx
3. sin mx cos nx dx,  sin mx sin nx dx และ  cos mx cos nx dx
จะหำค่ ำอินทิกรัลทั้ง 3 ได้ โดยใช้ เอกลักษณ์ ของฟังก์ ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
1
sin mx cos nx  sin m  n x  sin m  n x
2
1
sin mx sin nx  cosm  n x  cosm  n x
2
1
cos mx cos nx  cosm  n x  cosm  n x
2
ตัวอย่ างที่ 18
1)  sin 2x cos 5xdx
3)  sin 2x sin 3xdx
2)  cos4 x cos7 xdx
x
x
4)  cos x cos cos dx
2
4
กำรอินทิเกรตโดยกำรแทนค่ ำด้ วยฟังก์ ชันตรีโกณมิตหิ รื อ ไฮเพอร์
โบลิก
Hyperbolic
ถ้ ำตั(Trigonometric
วถูกอินทิเกรต มีตัวor
ประกอบเป็
นพจน์Substitutions)
ในรู ปแบบต่ อไปนี้
a u
2
2
หรื อ a  u
2
2
1
u2  a2
2
2
u

a
หรื อ
2
a2  u2
a2  u2
3
หรื อ
กำรหำค่ ำของอินทิกรัลโดยแทนค่ำด้ วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหรื อฟังก์ชัน
ไฮเพอร์ โบลิก ดังในตำรำงต่ อไปนี้
พจน์
a u
2
2
กำรแทนค่ ำ
หรื อ
u  a sin  หรื อ
u  a tanh 
a cos 
a sec h
หรื อ
หรื อ
u  a sec  หรื อ
u  a cosh 
a tan 
หรื อ
หรื อ
u  a tan 
u  a sinh 
a2  u2
u a
2
2
u2  a2
a u
2
a2  u2
2
ผลลัพธ์
หรื อ
a sinh 
a sec 
a cosh 
หรื อ
ตัวอย่ างที่ 19
1) 
7  x2
dx
2
x
3) 
x2  9
dx
x
5) 
2)  x3 7  x2 dx
4) 
ex
1  e 
2x 2
dx
x
2

3
 1 dx
ถ้ ำตัวถูกอินทิเกรตมีตวั ประกอบเป็ น ax2  bx  c หรื อ ax2 + bx + c
จะต้ องแปลงรู ปของ ax2+bx+c ให้ เป็ นรู ปกำลังสองสั มบูรณ์ แล้ วหำค่ ำ
อินทิกรัลต่ อไปโดยกำรแทนค่ ำด้ วยฟังก์ ชันตรีโกณมิติหรื อไฮเพอร์ โบลิก
ตัวอย่ างที่ 20
1) 
3) 
x
dx
2

 4x  13
2
dx
x  12
x 2  2x  3
2) 
x  1
2x  6x  4
2
dx
2x 3
4)  2
dx
2 x  4x  3