รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย” หรื อเปล่าครับจะให้ ? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย เหรอค่ะ ? ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน เราจะทได้ ายังคไงกั น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน ่ะ ตามมาดู ช่วยผมหน่อย โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม ครับ หน่อยนะครับ ภาคตัดกรวย อยากรู ้เรื่ องไหน.
Download ReportTranscript รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย” หรื อเปล่าครับจะให้ ? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย เหรอค่ะ ? ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน เราจะทได้ ายังคไงกั น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน ่ะ ตามมาดู ช่วยผมหน่อย โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม ครับ หน่อยนะครับ ภาคตัดกรวย อยากรู ้เรื่ องไหน.
Slide 1
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 2
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 3
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 4
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 5
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 6
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 7
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 8
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 9
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 10
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 11
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 12
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 13
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 14
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 15
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 2
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 3
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 4
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 5
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 6
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 7
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 8
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 9
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 10
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 11
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 12
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 13
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 14
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40
Slide 15
รู้จกั เรื่ อง “ภาคตัดกรวย”
หรื อเปล่าครับจะให้
? ช่วยเรื่ องภาคตัดกรวย
เหรอค่ะ ?
ผมก็ไม่รู้จกั เหมือนกัน
เราจะทได้
ายังคไงกั
น ใครก็กไนั ด้เลยค่ะทุกคน
่ะ ตามมาดู
ช่วยผมหน่อย
โอ้โห นางฟ้ าสวยจัง ช่วยผม
ครับ หน่อยนะครับ
ภาคตัดกรวย
อยากรู ้เรื่ องไหน คลิกได้เลยค่ะ
1. ความเป็ นมาของภาคตัดกรวย
2.2ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงรี)
2. ชนิดของภาคตัดกรวย
2.3ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (พาราโบลา)
2.1 ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (วงกลม)
2.4ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิต
วิเคราะห์ (ไฮเปอร์ โบลา)
ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic)
ในทางคณิตศาสตร์
หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวย
กลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนีถ้ กู ตัง้ เป็ น
หัวข้อศึกษาตัง้ แต่สมัย 200 ปี ก่อนคริสต์ศักราชโดย
อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผูซ้ ึ่งศึกษาภาคตัด
กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของภาคตัด
กรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูก
นาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133
(ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิง
ขึน้ ไปในมุมที่กาหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพารา
โบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์
พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็ นรูปวงรี
เป็ นต้น
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่ งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิ ด (เป็ นวง) วงกลมนั้นถือ
เป็ นกรณี พิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรื อเรี ยก เส้นกาเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรี ยกว่า
พาราโบลา หากระนาบไม่อยูใ่ นแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิ ดไม่เป็ นวง จะเรี ยกเส้นโค้ง
นี้วา่ ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้วา่ ในกรณี น้ ีระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่ งบน และครึ่ งล่าง ได้เป็ นเส้นโค้งที่ขาด
จากกันสองเส้น
ในกรณี ที่เรี ยกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจน
เนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย
และได้ผลของการตัดเป็ น จุด เส้นตรง หรื อ
เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณี เหล่านี้ไม่ได้ถกู
รวมไว้ในภาคตัดกรวย
วงกลม
ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็ นเส้นโค้งที่สมบูรณ์ เครื่องใช้ตา่ งๆ
ของเรามักมีลกั ษณะเป็ นวงกลม เช่น ขันตักนา้ หน้าปั ดนาฬิกา จานข้าว
ถาด กระโถน เงินเหรียญ แก้วนา้ ท่านลองตรวจดูของใช้รอบ ๆ กาย
และทัว่ ๆ ไป จะเห็นว่าการใช้ของที่มีลกั ษณะเป็ นวงกลมนัน้ ให้ความ
สะดวก มากที่สดุ ลองนึกดูว่าถ้าล้อเกวียน ล้อจักรยานยนต์ ล้อ
รถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เป็ นวงกลมแล้ว การเคลื่อนที่จะลาบากสักเพียงใด
วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
1.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = r2
2.ถ้าวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 = r2
สมการวงกลมในรูปทัว่ ไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
วงรี
ยามคา่ คืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สกุ สว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และ
หากสังเกตต่อเนือ่ งไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผา่ นกลุม่ ดาวฤกษ์
ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของโลกและดาวเคราะห์ตา่ ง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตย์ตา่ งก็ลว้ นมี
เส้นทางเป็ นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จดุ โฟกัสของวงรีแต่ละวง ดวงจันทร์ซึ่งเป็ นดาวบริวารของ
ดาวเคราะห์ก็เดิน ทางรอบดาวเคราะห์เป็ นวงรี แม้ดาวเทียมที่มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ ก็หมุนรอบโลก เป็ นวงรี
กฎข้อที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็ นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึง่
นักวิทยาศาสตร์ ยังได้พบว่าแม้แต่ในปรมาณูของธาตุตา่ ง ๆ เช่น อิเล็กตรอนก็
เดินทางเป็ นวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนนั้ ๆ เราอาจนาเส้นโค้งแบบวงรีไป
ออกแบบเป็ นเครื่องใช้ก็ได้ เช่น จานเปล ถังเปล เป็ นต้น เราจะสังเกตว่ารถบรรทุก
นา้ มันมักจะมีตวั ถัง เป็ นรูปทรงกระบอกซึ่งมีหน้าตัดเป็ นรูปวงรี สนามกีฬาที่มีล่ ู
แข่งขันกันก็มีลกั ษณะ เกือบเป็ นวงรี
วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
อิเล็กตรอน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่าน
ศู นย์กลางหลัก
ข้อควรจา วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัวเสมอ
y
สมการวงรีที่มีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
(-a,0)
F
F’
(0,0)
(a,0)
(-c,0) (c,0)
x กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y
x
2
a
2
y
2
a
2
y
2
b
2
x
2
b
2
1
1
สมการ วงรีซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
พาราโบลา
เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผวิ โค้ง เพื่อรับ
สัญญาณที่สง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จดุ รับสัญญาณ เพื่อให้มีสญ
ั ญาณที่แรงขึน้ นา้ พุที่
มนุษย์ประดิษฐ์ขนึ้ เป็ นเส้นโค้งพาราโบลา หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสง
เพื่อรวมลาแสงให้พง่ ุ เป็ นลาตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุม
สะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนีเ้ รียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทาให้มมุ ตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่
จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา
พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรี ยกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง
กาหนดตายตัว และไม่ผา่ นจุดโฟกัส เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
จุดคงที่เรี ยกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรี ยกว่า ไดเรกทริ กซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริ กซ์ เรี ยกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรี ยกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx
ไดเรกทริ กซ์
o
สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริ กซ์
F(c,0
)
x = -c
x=c
สมการ x2 = 4cy
F(0,c)
o
y = -c
ไดเรกทริ กซ์
F(-c,0)o
สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริ กซ์
y=c
o
F(0,-c)
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูท่ ี่จุด
(h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ
แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ไฮเปอร์โบลา
ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสาคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทาต่อกัน ตามกฏของ
นิวตัน นั้นจะมีรูปร่ างเป็ นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่ วมของทั้งสองวัตถุน้ นั อยูน่ ิ่ง หากทั้ง
สองนั้นถูกดึงดูดอยูด่ ว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็ นรู ปวงรี หากวัตถุท้งั สองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็ นรู ป
พาราโบลา หรื อ ไฮเปอร์โบลา
ลักษณะที่พบ
FlashlightHyperbola1
Flashlight Parabola
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็ นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน
เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็ นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)
ผลต่ างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์ โบลาไปยังจุดคงทีส่ องจุดมีค่าเท่ ากับ 2a
y
F/
(c,0)
(-c,0)
v/
o
v
(-a,0)
F
x
(a,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจดุ ยอดอยู่ที่จดุ (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
งั้นพี่นางฟ้ าไปแล้วนะค่ะ ถ้ามีอะไร
ยถามคุ
ครู อกรญาได้
อ๋ อ ! เรื่ อง สงสั
“ภาคตั
ดกรวย
งั้นณไปดู
นั เลยค่ะค่ะ
มันเป็ นอย่างนี้นี่เอง
คุณครู อรญาคนไหนหรอครับ
นึกไม่ออกเข้าใจแล้วใช่ไหมค่ะทุกคน
ว้าว คุณครูอรญาสวยจังเลย
งั้นนางฟ้
าไปแล้วนะค่ะ บ๊ายบายค่ะ
ลาก่อนนะครั
บ
Bye
^^
คนนี้ไงค่ะ
ครับ
จัดทาโดย
นางสาว กนกวรรณ
ธรรมชาติ เลขที่ 1
นางสาว กิตติมา ทรัพย์เจริ ญ
เลขที่ 23
นางสาว กมลวรรณ อินทรักษ์
เลขที่ 2
นางสาว ชไมพร ศรี เมือง
เลขที่ 25
นางสาว ขวัญชนก สฤษดิสุข
เลขที่ 3
นาย สุ ทธิ พนั ธุ์ พวงแก้ว
เลขที่ 36
นาย บุญชัย ทองมา
เลขที่ 18
นางสาว ปาริ ฉตั ร ขมักการ
เลขที่ 40