Transcript Esercizi sulla verifica di limiti

LIMITI
1
x
1) Verificare il seguente limite: lim+ e = +∞
x →0
In base alla definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito, dobbiamo dimostrare
che scelto un M arbitrariamente grande, la soluzione della disequazione:
f ( x) > M
conduce ad individuare un intorno destro del punto x = 0.
Si ha quindi:
1
x
e >M
1
x
→ ln e > ln M
→
1
> ln M
x
posto x > 0 si può scrivere:
0< x<
1
ln M
Come si vede abbiamo ottenuto un intorno destro dello zero e il limite è quindi verificato
2) Verificare il seguente limite: lim x 2 − 5 x + 6 = 2
x→2
In base alla definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito, dobbiamo dimostrare che
scelto un ε arbitrariamente piccolo, la soluzione della disequazione:
f ( x) − l < ε
conduce ad individuare un intorno completo del punto x = 2.
Si ha quindi:
x 2 − 5x + 6 − 2 < ε
⎧⎪ x 2 − 5 x + 6 − 2 < ε
→ ⎨ 2
⎪⎩ x − 5 x + 6 − 2 > −ε
⎧⎪ x 2 − 5 x + 4 − ε < 0
→ ⎨ 2
⎪⎩ x − 5 x + 4 + ε > 0
Procediamo alla soluzione della prima disequazione, passando per la soluzione dell’equazione
associata:
x1, 2 =
5 ± 25 − 16 + 4ε 5 ± 9 + 4ε
=
2
2
La soluzione della prima disequazione è quindi l’insieme:
⎧ 5 − 9 + 4ε
5 + 9 + 4ε ⎫
<x<
S1 = ⎨
⎬
2
2
⎩
⎭
Passando alla seconda osserviamo che l’unica differenza, nell’equazione associata, è il segno
negativo di ε; l’insieme soluzione della seconda disequazione è quindi:
⎧
5 − 9 − 4ε
S 2 = ⎨x <
2
⎩
∨
x>
5 + 9 + 4ε ⎫
⎬
2
⎭
La soluzione del sistema si ottiene, come noto, dall’intersezione dei due insiemi. Per orientarci
meglio consideriamo lo schema seguente:
Osserviamo che quando ε tende a 0 vengono individuati due intorni completi, rispettivamente dei
punti x = 1 e x = 4; poiché nessuno di essi è un intorno del punto 2, ne concludiamo che il limite
non è verificato.
3) In base alla definizione verificare il seguente limite:
lim
x → +∞
1
=0
log(x + 2)
Deve essere:
1
<ε
log( x + 2)
→
→
log( x + 2) >
1
1
<ε
log( x + 2)
∨ log( x + 2) < −
ε
1
→
x + 2 > eε
∨
x+2<e
1
→ x >e −2
ε
∨
x < −2 + e
−
−
→
log( x + 2) >
1
ε
1
ε
1
ε
1
ε
Osserviamo che il primo dei due insiemi soluzione costituisce un intorno di +∞ e quindi il limite è
verificato
4) In base alla definizione verificare il seguente limite:
lim e x +1 = 0
x →∞
Deve essere:
e x +1 < ε
Osserviamo che l’esponenziale è sempre positivo, per cui possiamo scrivere subito:
e x +1 < ε
→ x + 1 < log ε
→ x < log ε − 1
L’insieme individuato costituisce un intorno solo di -∞ e non anche di +∞, quindi non è un intorno
di ∞ come richiesto. Il limite quindi non è verificato
5) verificare il seguente limite:
lim 1 − x = +∞
x → −∞
Come sappiamo, il limite risulta verificato se per ogni numero positivo M, grande a piacere, è
possibile identificare un intorno di -∞ tale che se x appartiene a tale intorno, risulta f(x)>M.
Poniamo quindi:
1− x > M
→ 1− x > M 2
→ x < 1− M 2
Osserviamo che l’insieme così individuato costituisce effettivamente un introno di -∞ quindi
possiamo affermare che il limite è verificato.
6) verificare il seguente limite:
1
=0
x →∞ log 2 + x 2
lim
(
)
Come sappiamo, il limite risulta verificato se per ogni numero positivo ε, piccolo a piacere piacere,
è possibile identificare un intorno di ∞ tale che se x appartiene a tale intorno, risulta f (x) < ε .
Poniamo quindi:
1
<ε
log(2 + x 2 )
log(2 + x 2 ) >
1
ε
→
1
<ε
log(2 + x 2 )
∨ log(2 + x 2 ) < −
1
2 + x2 > eε
∨ 2 + x2 < e
1
x >e −2
2
ε
∨
x <e
2
−
−
→
log(2 + x 2 ) >
1
ε
1
ε
1
ε
1
ε
−2
Consideriamo ora la seconda delle due disequazioni e notiamo che per ε sufficientemente piccolo
risulta:
e
−
1
ε
→ e −∞ → 0
quindi la disequazione diventa:
x 2 < −2
e tale disequazione non ammette soluzione.
Rimane quindi solo la disequazione:
1
1
x >e −2
2
1
→ x > e −2
ε
ε
∨
x< − e −2
ε
L’insieme soluzione costituisce effettivamente un intorno di infinito, quindi il limite risulta
verificato
7) verificare il seguente limite:
lim
x→4
1
x −2
=∞
Come sappiamo, il limite risulta verificato se per ogni numero M grande a piacere è possibile
identificare un intorno di 4 tale che se x appartiene a tale intorno, risulta f ( x) > M . Poniamo
quindi:
1
x −2
>M
→
1
⎧
⎪⎪ x − 2 < M
→ ⎨
⎪ x −2> − 1
⎪⎩
M
2
1
x −2
>M
→
1
⎧
⎪⎪ x < 2 + M
→ ⎨
⎪ x > 2− 1
⎪⎩
M
1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
→ ⎜2 − ⎟ < x <⎜2 + ⎟
M⎠
M⎠
⎝
⎝
x −2 <
1
M
⎧
⎛
⎪x < ⎜ 2 +
⎪
⎝
→ ⎨
⎛
⎪
⎪ x > ⎜⎝ 2 −
⎩
1 ⎞
⎟
M⎠
2
1 ⎞
⎟
M⎠
2
2
Si nota che l’insieme soluzione così determinato costituisce effettivamente un intorno simmetrico di
4 in quanto, per M sufficientemente grande, 1/M tende a 0. Quindi il limite risulta verificato
8) verificare il seguente limite:
lim 2 x + 1 = 3
x →3
Come sappiamo, il limite risulta verificato se per ogni numero ε > 0, piccolo a piacere, è possibile
identificare un intorno di 3 tale che se x appartiene a tale intorno, risulta f (x) − 3 < ε . Poniamo
quindi:
⎧⎪ 2 x + 1 − 3 < ε
→ ⎨
⎪⎩ 2 x + 1 − 3 > −ε
(3 − ε ) 2 − 1
(3 + ε ) 2 − 1
<x<
2
2
2x + 1 − 3 < ε
→
⎧⎪ 2 x + 1 < 3 + ε
→ ⎨
⎪⎩ 2 x + 1 > 3 − ε
⎧⎪2 x < (3 + ε ) 2 − 1
→ ⎨
⎪⎩2 x > (3 − ε ) 2 − 1
Notiamo che al tendere di ε a zero, l’insieme così individuato costituisce un intorno completo di 4 e
non di 3, come indicato nel limite da verificare. Pertanto ne concludiamo che il limite stesso non è
verificato.
1 − log x
= −1
x → +∞ log x
In base alla definizione di limite finito per x tendente ad infinito, dobbiamo dimostrare che scelto un
ε arbitrariamente piccolo, la soluzione della disequazione:
9) Verificare il seguente limite: lim
f ( x) − l < ε
conduce ad individuare un intorno di + ∞.
Si ha dunque:
1 − log x
+1 < ε
log x
→
1
<ε
log x
→
1
<ε
log x
→
log x >
1
ε
L’ultimo passaggio è lecito purché sia x ≠ 1, ma ciò ovviamente non è limitativo in quanto stiamo
cercando un intorno di + ∞.
Per l’esistenza del logaritmo deve essere anche x > 0. A questo punto possiamo scrivere:
log x >
1
ε
∨ log x < −
1
ε
⇓
1
x>e
ε
∨ 0< x<e
−
1
ε
Esaminiamo i due insiemi così individuati. Osserviamo che quando ε → 0 risulta 1/ε → ∞;
pertanto:
1
e → e∞ = ∞
ε
e
−
1
ε
→ e −∞ = 0
Il primo insieme identifica quindi un intorno di +∞ mentre il secondo identifica un intorno destro di
0. Possiamo quindi concludere che il primo insieme soddisfa la richiesta e quindi il limite è
verificato.
(
)
10) Verificare il seguente limite lim 2 + 3 − 2 x = +∞
x → −∞
In base alla definizione di limite infinito per x tendente ad un valore infinito, dobbiamo dimostrare
che scelto un M arbitrariamente grande, la soluzione della disequazione:
f ( x) > M
conduce ad identificare un intorno di - ∞
Si ha quindi:
2 + 3 − 2x > M
→
3 − 2x > M − 2
→ 3 − 2 x > (M − 2 )
2
L’insieme così individuato rappresenta, come si vede, un intorno di - ∞
→ x<
3 − (M − 2 )
2
2