Transcript Residui, Massimo modulo e Teorema di Rouché

GEOMETRIA III
VII Foglio di Esercizi - 26 Maggio 2014
Residui, massimo modulo e teorema di Rouch´
e
Esercizio 1. Siano p(z) e q(z) due polinomi in C[z] di grado m ed n con n ≥ m + 2.
Mostrare che
Z
p(z)
lim
dz = 0.
R→∞ |z|=R q(z)
Esercizio 2. Calcolare con il teorema dei residui i seguenti integrali:
Sia f : R → R una funzione restrizione di una funzione f : Ω → C olomorfa in {=(z) ≥ 0}
eccetto che per un numero finito di poli z1 , . . . , zn contenuti in {=(z) > 0} e tale che
∃ K, a > 0 : |f (z)| ≤
Z
K
|z|1+a
+∞
⇒
f (x)dx = 2πi
−∞
Caso particolare: f (x) =
P (x)
Q(x)
se |z| → +∞,
X
Reszj (f )
zj
con P (x), Q(x) polinomi a coefficienti reali tali che
Q(x) non ha radici reali e deg Q(x) ≥ deg P (x) + 2.
Z
+∞
I=
0
Z
+∞
I=
−∞
Z
+∞
I=
−∞
Z
+∞
I=
0
Z
+∞
I=
0
Z
I(α) =
0
x2
dx
(x2 + 9)2
π
x2 + 2
dx
x4 + 10x2 + 9
5π 12
12
dx
2
x +x+1
h
√ i
2 3π
3
x2
dx
x4 + 5x2 + 4
π
6
x2
dx
(x2 + 9)(x2 + 4)2
+∞
cos2 (αx) − 12
dx
(x2 + 1)2
π
200
+ 1)
π
con α ≥ 0
8e
1
−2α (2α
Sia f : R → R una funzione restrizione di una funzione f : Ω → C olomorfa in {=(z) ≥ 0}
eccetto che per un numero finito di poli z1 , . . . , zn contenuti in {=(z) > 0} e tale che
∃ K : |f (z)| ≤
Z
K
|z|
se |z| → +∞,
+∞
f (x)eix dx = 2πi
⇒
X
−∞
+∞
Z
I=
0
+∞
Z
I=
0
Z
−∞
x2
x sin x
dx
+ 4x + 20
x2
x cos x
dx
− 2x + 10
+∞
I=
−∞
zj
h
con a ∈ R, a 6= 0
x sin x
x2 + 4
+∞
I=
Z
cos x
x2 + a2
Reszj f (z)eiz
π
4e
Z
+∞
− 3 sin(1))
−∞
Z
+∞
I=
−∞
Z
+∞
I=
−∞
Z
+∞
I=
−∞
1 − e−3
9
cos( π2 x)
dx
(x2 + 1)(x − 1)
h
− π2
i
− π2
1+e
x sin(πx)
dx
1 − x2
[π]
cos( π2 x)
dx
x3 + 1
h
√
π −
6e
3
π
4
√
6+
√ πi
2 +3
Esercizio 4. Sia γ la circonferenza con centro nell’origine e raggio 4. Calcolare:
Z
z2
dz.
2
2 2
γ (z + 1) (z + 4)
Esercizio 5. Sia γ la circonferenza con centro nell’origine e raggio π. Calcolare:
Z
1 + tan2 (πz)
dz.
tan(πz)
γ
Esercizio 6. Sia f (z) = z/ez e sia S il settore circolare
S = {z ∈ C : |z| < 1 e 0 ≤ arg(z) ≤ π/2}.
Trovare il massimo modulo di f su S.
2
i
πe−2
2
−3 (cos(1)
3e
π
h
+ 2 sin(2))
π
sin x
dx
x(x2 + 9)
i
−4 (4 cos(2)
Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali:
I=
e−|a| π
2|a|
Esercizio 7. Trovare il minimo modulo della funzione
f (z) =
eiz
z+2
sul quadrato chiuso, centrato nell’origine, con lati paralleli agli assi e di lato 2. centrato nell’origine
di lato 2.
Esercizio 8. Trovare il massimo modulo delle seguenti funzioni
a) f (z) = e−z
2
nel cerchio |z| ≤ 1
[e]
nel cerchio |z| ≤ 1
[e]
c) h(z) = z 2 − 3iz + 4
nel cerchio |z| ≤ 2
[10]
d) q(z) = z 2 − iz + 1
nel cerchio |z| ≤ 1
√
[ 5]
b) g(z) = ez
2
Esercizio 9.
a) Quanti zeri ha il polinomio z 4 + z 3 − 4z + 1 nella corona circolare 1 < |z| < 3?
b) Quanti zeri ha la funzione ez + 4z 4 + 1 nel cerchio |z| < 1?
c) Quanti zeri ha il polinomio z 6 − 5z 4 + 10 nel cerchio |z| < 1? E nella regione |z| ≥ 3?
d) Quanti zeri ha il polinomio z 7 − 2z 5 + 6z 3 − z + 1 nel cerchio |z| < 1?
Esercizio 10. Sia γ la circonferenza con centro nell’origine e raggio 1. Calcolare:
Z
3z 7 − 4z 5 + 41z
dz.
8
7
3
γ 11z − z + 2z + 5
Esercizio 11. Si mostri che per ogni n ≥ 1 l’equazione
ez = 3z n
ha n radici distinte in |z| < 1.
3