Transcript Nieuwsbrief 3 - Gemeente Leeuwarden

LINEAIRE ALGEBRA tweede inleveropgave (deadline maandag 1 december)
N.B. Voor deze inleveropgave krijg je het dubbele aantal punten dan voor een gewone
inleveropgave.
Bewijs voor zover mogeliijk al je beweringen.
Laat
x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn
√
het standaard inproduct op Rn zijn en laat |x| = x · x de lengte van x zijn.
(1)
a Laat zien dat x · y voldoet aan de volgende 4 eigenschappen:
1)
2)
3)
4)
x · y = y · x voor elke x, y ∈ Rn ;
(λx) · y = λ(x · y) voor elke x, y ∈ Rn en λ ∈ R;
(x + y) · z = x · z + y · z voor elke x, y, z ∈ Rn ;
x · x ≥ 0 voor all x ∈ Rn en bovendien: x · x = 0 ⇐⇒ x = 0.
b Gebruik bovenstaande eigenschappen om aan te tonen dat we het inproduct kunnen
reconstrueren uit de lengte, d.w.z. laat zien dat
1
1
1
x · y = |x + y|2 − |x|2 − |y|2 .
2
2
2
(2)
Naast het standaard inproduct of inwendig product bestaan er ook andere inproducten
op Rn . We willen er nu een paar op R2 gaan beschrijven. Hiervoor geven we eerst de
algemene definitie van een inwendig product op Rn .
Een inwendig product of inproduct op Rn is een functie Rn × Rn → R, genoteerd met
(x, y) 7→ hx, yi, die voldoet aan de volgende eigenschappen
1)
2)
3)
4)
hx, yi = hy, xi voor elke x, y ∈ Rn ;
hλx, yi = λhx, yi voor elke x, y ∈ Rn en λ ∈ R;
hx + y, zi = hx, zi + hy, zi voor elke x, y, z ∈ Rn ;
hx, xi ≥ 0 voor all x ∈ Rn en bovendien: = 0 ⇐⇒ x = 0.
Vervolgens definieren we de lengte van een vector t.o.v. dit inproduct door
p
|x| = hx, xi
(3)
(4)
en de hoek φ tussen twee vectoren x en y door
cos φ =
hx, yi
.
|x||y|
(5)
c Gebruik de eigenschappen van (3) om aan te tonen dat
hx, λy + µzi = λhx, yi + µhx, zi voor alle x, y, z ∈ Rn en λ, µ ∈ R.
(6)
Laat A een n×n-matrix zijn en x, y ∈ Rn , met x = (x1 , x2 , . . . , xn )t en y = (y1 , y2 , . . . , yn )t ,
dan definieren we
hx, yiA = x · (Ay), met x · y het standaard inproduct (1).
(7)
d Laat zien dat
hx, yiA = (x1 x2 · · · xn )A(y1 y2 · · · yn )t .
e Laat zien dat hx, yiA voldoet aan eigenschap 2) en 3) van (3) voor elke willekeurige
matrix A.
hx, yiA is in sommige gevallen een inproduct in andere gevallen weer niet. We gaan
dit nu verder onderzoeken.
f Neem n = 3 en geef een voorbeeld van een matrix A zodat hx, yiA ook voldoet aan
eigenschap 1) van (3) en een voorbeeld zodat aan die eigenschap 1) niet voldaan wordt.
g Neem opnieuw n = 3 en geef een voorbeeld van een A zodat hx, yiA voldoet aan
eigenschap 4) van (3) en een voorbeeld zodat aan die eigenschap 4) niet voldaan wordt.
h Laat n nu weer willekeurig zijn. Waaraan moet A voldoen om er voor te zorgen dat
hx, yiA ook voldoet aan eigenschap 1) van (3)?
i Laat nu n = 2, geef alle 2 × 2-matrices A waarvoor hx, yiA een inproduct is.


2 −1 0
j Laat A = −1 2 −1, toon aan dat hx, yiA een inproduct is.
0 −1 2
k Bepaal de hoek tussen de vectoren a = (1, 1, 1)t en b = (−1, 2, −3)t voor zowel het
standaard inproduct als het inproduct hx, yiA , waarbij A de matrix is uit opgave j. Bereken ook in beide gevallen alle vectoren die loodrecht staan op a en b.