Transcript Algebrai törtek Algebrai törtnek nevezzük az olyan törtet, melynek nevezőjében egy vagy több ismeretlent tartalmazó algebrai kifejezés, számlálójában pedig valamilyen algebrai kifejezés szerepel. Például: 3a.

Algebrai törtek
Algebrai törtnek nevezzük az olyan törtet, melynek
nevezőjében egy vagy több ismeretlent tartalmazó
algebrai kifejezés, számlálójában pedig valamilyen
algebrai kifejezés szerepel.
Például:
3a  5
b
5
x2  3
3x
2x  3
7y
y2  1
y 1
3x  4y
2x  3z
x 2  6x  9
Feladat
Írd be a törteket a megfelelő helyre!
3 x
y
3x  2y
5
1
3yx2
2x  1
5x
2x y
13
a 3  27
y 2  5xy  6x2
Nem
Algebrai tört
algebrai tört
Egy algebrai tört bővítése azt jelenti, hogy a tört
számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a 0-tól különböző
számmal (algebrai kifejezéssel) szorozzuk.
Például:
3  x   m3z 2 
x 3 x




y 3  y 3  y   m3z 2 


Egy algebrai tört egyszerűsítése azt jelenti, hogy a
tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a 0-tól
különböző számmal (algebrai kifejezéssel) elosztjuk.
Például:
3  x 2  y 2  z 1 x 2  y 2  z x  y 2  z
x z



12  x  y 4
4  x  y4
4  y4
4  y2
3  x2  y2  z
x z

4
12  x  y
4  y2
Feladat
Egyszerűsítsd a következő törteket!
5a4 b3 5a3

2b
10ab4
12x2 y3 3y3

x3
4x5
5k2
30k3m5 w

12km8 w 3 2m3w 2
Algebrai törtek összeadása, kivonása I.
Ha az összevonandó törtek nevezője megegyezik,
akkor egyszerűen csak összevonjuk a számlálókat.
Példák:
x  2 3x  7 (x  2)  (3x  7) x  2  3x  7 4x  5




y
y
y
y
y
Figyelem! Ha a törtvonal előtt kivonás jel van, akkor összevonásnál a
kivonandó számlálójában megváltozik a műveleti jel!
4x  4 x  1 (4x  4)  (x  1) 4x  4  x  1 3x  5




6x
6x
6x
6x
6x
b
5b  6 b  (5b  6) b  5b  6  4b  6




a2 a2
a2
a2
a2
Feladat
Végezd el a következő műveleteket!
2b  5 5a  4 (2b  5)  (5a  4) 2b  5  5a  4) 2b  5a  1




a
a
a
a
a
3x  2 4x  7 (3x  1)  (4x  7) 3x  1  4x  7 7x  6




2x  1
2x  1
2x  1
2x  1 2x  1
4m
2m  5 5  2m (2m  5)  (5  2m) 2m  5  5  2m




2m  5
2m  5
2m  5
2m  5 2m  5
Algebrai törtek összeadása, kivonása II.
Ha az összevonandó törtek nevezője különböző, akkor
először közös nevezőre hozzuk őket, majd ezután
összevonjuk a számlálókat.
A közös nevező:
• Legyen többszöröse mindegyik nevezőnek.
• Legyen minél kisebb.
Azaz a legkisebb közös többszörös a legalkalmasabb.
Ha viszont ezt nehéz megtalálni, akkor biztosan
jó lesz az összes nevező szorzata.
(mert az minden nevezőnek többszöröse).
Példák:
x  3 y  5 x(x  3) y(y 5) x 2  3x  y 2  5y




y
x
xy
yx
yx
4  x 2x  1 2(4  x) 3(2x 1) 8  2x  6x  3 5  8x





6x
4x
12x
12x
12x
12x
b
2b  1
(a  2)b
(a  2)(2b 1)




a  2 a  2 (a  2)(a  2) (a  2)(a  2)
ab  2b  (2ab a  4b  2) ab  2b  2ab  a  4b  2 a  ab  6b  2


a2  4
a2  4
a2  4
Feladat
Végezd el a következő műveleteket!
2  b 3a  5b 2  b  a(3a  5b) 2  b  3a2  5ab



ab
b
ab
ab
2x  3 3y  2 2y(2x 3)  x(3y 2) 4xy  6y  3xy  2x) 7xy  6y  2x)




4x2 y 8xy2
8x2 y 2
8x2 y 2
8x2 y 2
3  2x 4x  1 (x  3)(3 2x)  (x  2)(4x 1)



4x  8 4x  12
4(x  2)(x  3)
3x  2x2  9  6x  (4x2  x  8x  2) 3x  2x2  9  6x  4x2  x  8x  2


4(x  2)(x  3)
4(x  2)(x  3)
 6x2  10x  11
4x2  20x  24
Két algebrai tört szorzatát úgy kapjuk meg, hogy a
számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel
összeszorozzuk.
Példák:
2x  3 y (2x  3)  y 2xy  3y
 

y  1 x (y  1)  x
yx  x
3x  2 4x  5 (3x  2)(4x 5) 12x2  15x  8x  10 12x2  7x  10




2
2x  1 5x  3 (2x  1)(5x 3) 10x  6x  5x  3
10x2  x  3
x  1 x  1 (x  1)2 x 2  2x  1



2
x2 x2 x 4
x2  4
Feladat
Végezd el a következő műveleteket!
2x  3 4 y


7y 5x - 6
x  3 3x  2


5x  1 2x  4
2 x  4 3x  y


5 x  2 4 y  5x
Egy algebrai törtet egy másik algebrai törttel úgy
osztunk, hogy az osztó reciprokával megszorozzuk
az osztandót.
Példák:
2  x y 1 2  x x
(2  x)  x
2x  x 2
:




3y
x
3y y  1 3y  (y  1) 3y2  3y
5x  2 4x  1 5x  2 2x  2 (5x  2)  (2x  2) 10x2  10x  4x  4 10x2  14x  4
:





2
3x 2x  2
3x 4x  1
(3x) (4x  1)
12x  3x
12x2  3x
2y  3x 2x  3 2y  3x 4y  x (2y  3x) (4y  x)
:




5x  y 4y  x 5x  y 2x  3 (5x  y) (2x  3)
8y2  2xy  12xy 9x2
8y2  14xy 9x2

2
10x  15x  2xy  3y 10x2  15x  2xy  3y
Feladat
Végezd el a következő műveleteket!
3x  5 4x
:

x  1 2x  3
2x  5 3x  4
:

3x  1 2x  2
3m  5 7  2m
:

3m  5 4m  1