Transcript TERMINALE GENIE MECANIQUE STATIQUE AVEC FROTTEMENT 1.INTRODUCTION Dans les chapitres précédents, les actions mécaniques de contact ont été schématisées par des vecteurs (forces) perpendiculaires (ou.

TERMINALE GENIE MECANIQUE
STATIQUE
AVEC FROTTEMENT
1.INTRODUCTION
Dans les chapitres précédents, les actions mécaniques de
contact ont été schématisées par des vecteurs (forces)
perpendiculaires (ou normaux) aux surfaces de contact, les
frottements étaient négligés.
Cette schématisation amène des erreurs systématiques
relativement faible dans la plupart des problèmes.
Cependant, dans un certain nombre de cas, la prise en compte
du frottement est nécessaire, soit pour diminuer les effets
(pertes d’énergie, amélioration du rendement, etc...), soit
pour l’utiliser avec bénéfice (freins, embrayages, pouliescourroies, arc-boutement, etc...).
Les lois sur le frottement découlent de l’expérimentation
de COULOMB.
2.CONSTATATIONS
2.1. Equilibre sur un plan horizontal, d’un solide S au repos
1
0
Solide S isolé
1
B.A.M.E.
G
● Action de pesanteur

P 
 0 inconnue
{τpes}   
0 (G,R)
P
2.CONSTATATIONS
2.1. Equilibre sur un plan horizontal,d’un solide S au repos
B.A.M.E.
Solide S isolé
● Action de pesanteur

P 
 0 inconnue
{τpes}   
0 (G,R)
1
G
A
f0/1
● Action de contact
La répartition de l’action de contact
est inconnue.
On pose N = ∑ f0/1
N 
3 inconnues
D’où {τ0/1}   
0 (A,R)
P
N
● direction
● point d’application A
● norme
2.CONSTATATIONS
2.1. Equilibre sur un plan horizontal,d’un solide S au repos
● Action de pesanteur

P 
 0 inconnue
{τpes}   
0 (G,R)
● Action de contact
{τ }
0/1
Solide S isolé
1
G
A
N 
   3 inconnues
0 (A,R)
Théorème 1:
P N  0
P
N
● direction verticale
N ● norme =mg
● A: intersection de la verticale passant par G avec le plan de contact
2.CONSTATATIONS
Si on exerce un effort F horizontal de norme connue sur 1, trois
cas se présentent:
2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement)
1
F
Solide S isolé
0
F
1
B
B.A.M.E.
G
● Action de pesanteur

P 
 0 inconnue
{τpes}   
0 (G,R)

F 

● Effort F
{τ(F)}    0 inconnue
0 (B,R)
P
2.CONSTATATIONS
2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement)
Solide S isolé
B.A.M.E.
● Action de pesanteur
1
F

B
P 
 0 inconnue
{τpes}   
0 (G,R)

F 

● Effort F
{τ(F)}    0 inconnue
0 (B,R)
G
A
P
R0/1
● Action de contact de 0/1
{τ }
0/1

R0/1
 3 inconnues
 

0 
(A,R)
● direction
● point d’application A
● norme
2.CONSTATATIONS
2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement)
P 
{τpes}   {τ(F)} 
0 (G,R)

R0/1

{τ0/1}   
0 (A,R)
P

F 

 

0 
(B,R)
Solide S isolé
F
B
1
I
G
A
R0/1
P
R0/1
F
P.F.S.: Système en équilibre sous l’action de trois glisseurs (théorème 2)
●
●
trois résultantes est fermé)
P  F  R0/1  0 (le dynamique formé par(leslestrois
supports sont
MI ( P )  MI (F)  MI (R0/1)  0
coplanaires et concourants en un
même point I)
2.CONSTATATIONS
2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement)
Tendance au mouvement
F
Remarque : si F
augmente,  augmente,
A se déplace.
R0/1
P
Solide S isolé
B
1
I
G
AA
R0/1
α
Pα
α
FF
α
R0/1
R0/1
R0/1 est incliné d’un angle α par rapport à la normale au
plan de contact de 0-1, du coté opposé à la tendance au
déplacement de 1 par rapport à 0
2.CONSTATATIONS
2.3. Solide 1 est à la limite du glissement: équilibre strict
(pas de mouvement)
Tendance au mouvement
Si on augmente F
A
jusqu’à une valeur Flim,
on constate que 
augmente
(pour atteindre une
B
Nous avons équilibre d’où:
P  Flim  R0/1  0
1
I
G
RR0/1
0/1
AA
P
valeur limite φo appelé
angle d’adhérence)
●
FlimF
Solide S isolé
φo
φo
α
Pα
F
Flim
● MI ( P )  MI (Flim)  MI (R0/1)
0
R0/1
R0/1
2.CONSTATATIONS
2.3. Solide 1 est à la limite du glissement: équilibre strict
(pas de mouvement)
Tendance au mouvement
Flim
R0/1 est incliné d’un angle φo
A
(angle d’adhérence)
B
1
I
G
R0/1
On pose :
tan(φo) = fo
Solide S isolé
A
P
fo: coefficient d’adhérence
φo
φo
φo est la limite supérieure
d’inclinaison de R0/1 par
rapport à la normale au
plan de contact de 0-1
P
Flim
R0/1
Equilibre :
● P  Flim  R0/1  0
●MI ( P )  MI (Flim)  MI (R0/1)  0
2.CONSTATATIONS
2.4. Solide 1 n’est plus en équilibre: (mouvement par rapport à 0)
une force F Mouvement
φOn
estexerce
légèrement
supérieure
,
inférieur
à àφoF,limmais
F
dans
trèsplus
Nous de
n’avons
A
équilibre d’où:
nombreux
cas, on
pose
P  F  R0/1  0
Le triangle des forces
n’est
φ =plus
φ0fermé
et f = f0
Solide S isolé
B
1
I
G
R0/1
A
P
R0/1 est incliné d’un angle
φ
P
φ
R0/1
F
F
lim de frottement)
φ (angle
φ reste constant lorsque F augmente
On pose :
tan(φ) = f
f: coefficient de frottement
3.MODELISATION DE L’ACTION DE CONTACT AVEC FROTTEMENT

R0/1
 
N0/1.n  T0/1


{τ0/1}     

0  0
(A,R)
N0/1 >0 et T0/1 dans le plan tangent
n
1
● Si équilibre stable:
T0/1
 tan( )
N0/1
avec
G
α <φ
A
T0/1
● Si équilibre strict:
T0/1
 tan( )  f
N0/1
● Si mouvement
P
R0/1
f: coefficient
d’adhérence
T0/1
 tan( )  f
N0/1
α
N0/1
R0/1
α
F
f: coefficient de frottement
4.LOIS DE COULOMB
4.1. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement :adhérence)
 La force d’adhérence T0/1
s’oppose au mouvement
éventuel de 1 par rapport à 0
 R0/1 fait un angle α avec la
normale n
R0/1 est contenu dans le cône
d’adhérence (cône d’axe n et
de demi-angle au sommet φ)
Tendance au mouvement
α
R0/1
n
N0/1
G
A
║T0/1 ║
<
f.N0/1
α< φ
T0/1
1
4.LOIS DE COULOMB
4.2. Solide 1 en équilibre limite ou équilibre strict
(pas de mouvement :adhérence)
Tendance au mouvement
 La force d’adhérence T0/1
s’oppose au mouvement
éventuel de 1 par rapport à 0
 R0/1 est situé sur le cône
d’adhérence
║T0/1 ║
=
f.N0/1
φ
n
N0/1
R0/1
G
A
f: coefficient d’adhérence
α= φ
φ:
angle d’adhérence
T0/1
f=
tan(φ)
1
4.LOIS DE COULOMB
4.3. Le solide 1 glisse : pas d’équilibre (mouvement :frottement)
 La force de frottement
T0/1 est opposé au mouvement
de 1 par rapport à 0
Mouvement
φ
 R0/1 est situé sur le cône
de frottement
║T0/1 ║
=
R0/1
f.N0/1
φ:
N0/1
G
A
f: coefficient de frottement
α= φ
n
angle de frottement
T0/1
f=
tan(φ)
1
5.COEFFICIENT DE FROTTEMENT
f dépend essentiellement:
● de la nature des matériaux en contact
● de leur état de surface (rugosité, sens des stries)
● de la présence ou non de lubrifiant
● de la vitesse relative de déplacement des surfaces de contact.
f ne dépend pas:
● de l’intensité des efforts exercés (poids des pièces)
● de l’étendue des surfaces de contact (pression de contact)
Nature des matériaux en contact
Lubrification
f
Acier sur acier
Surfaces sèches
Graissage abondant
0,1
0,07
Acier sur fonte
Surfaces sèches
Surfaces graissées
0,19
0,1
Acier sur bronze
Surfaces sèches
Graissage abondant
0,11
0,05
Garniture de frein sur fonte
Surfaces sèches
0,35 - 0,4
Pneu voiture sur route
Route sèche
Route mouillée
0,6 - 0,7
0,35 - 0,6
5.INTERPRETATION DES RESULTATS
1er cas: Si on déduit des équations d'équilibre que:

R0 / 1 est dans le cône (<)
φ
║T0/1 ║
=
tan(α).N0/1
A

R0 / 1 est incliné à gauche (par exemple)
Alors: il y a adhérence et tendance au déplacement vers la droite.
EQUILIBRE STABLE
5.INTERPRETATION DES RESULTATS
2ème cas: Si on déduit des équations d'équilibre que:

R0 / 1 est sur le cône (=)
║T0/1 ║ = tan(φ).N0/1
φ
A

R0 / 1 est incliné à gauche (par exemple)
Alors: il y a équilibre strict et tendance au déplacement vers la droite.
EQUILIBRE STRICT
5.INTERPRETATION DES RESULTATS
3ème cas: Si on déduit des équations d'équilibre que:

R0 / 1 est en dehors du cône (>)
IMPOSSIBLE
Cône de frottement
φ
A

R0 / 1 est incliné à gauche (par exemple)
Alors: l’équilibre est impossible et il y a glissement vers la droite.
MOUVEMENT

R0 / 1 est sur le du cône de frottement (>)
TAPIS ROULANT INCLINE
Un tapis roulant, incliné d'un angle  = 10°, déplace à vitesse constante des pièces
1 de forme parallélépipédique de masse m = 10 kg.
Le coefficient d'adhérence entre la pièce 1 et le tapis 2 est: f = 0,3.

1. Déterminer les composantes de la résultante des actions de contact A2 / 1
  
dans le repère R1 (G, x1, y1, z1 )
Représenter cette action en A, point où le torseur associé aux actions de
contact de 2/1 est réductible à un glisseur : {2/1} = { A ;0 }A
2/1
2. Vérifier graphiquement que l'entraînement des pièces se fait sans glissement.
3. Déterminer l'angle maximal d'inclinaison du tapis pour avoir un entraînement à
la limite du glissement.
Isolement de 1
P.F.S.
B.A.M.E.
● Action de pesanteur
P 
{τpes}    0 inconnue
0 (G,R)
 mg sin α

  mg cos α
 0

● Action de contact de 2/1
{τ }
3 inconnues
Point A
Direction
(A,R1)
Intensité
 X 2/1 0 


 Y 2/1 0 
0
0(A,R )

1
Forces directement
opposées
A2/1  P  0
0

0
0 (G,R )
1

A2/1


 
2/1

0 

(théorème 1)
A2/1
A
P
α
Vérification du non glissement de 1
3
10
3
φ
Triangle d’adhérence
A2/1se trouve à l’intérieur du
triangle d’adhérence donc
la pièce 1 ne glisse pas (elle
est en équilibre stable).
A2/1
A
Pour avoir l’angle d’inclinaison maximal, il faut que
triangle d’adhérence (équilibre strict) donc α
A2/1 se trouve sur le
max
= φ
SOLIDE SUR UN PLAN INCLINE
On désire déplacer un solide 1 de forme parallélépipédique et de masse m = 25 kg
sur un plan incliné d'un angle  = 15°, en exerçant un effort F appliqué en A.
Le coefficient de frottement entre la pièce 1 et le plan incliné 0 est: f = 0,2.
On prendra g = 10 m/s².
1. Dans le cas où F est nul, le solide 1 est-il en équilibre? Justifier.
2. Déterminer l'effort F minimal pour déplacer le solide, ainsi que l'action de
contact.
Isolement de 1
B.A.M.E.
● Action de pesanteur
{τpes}
10
 mg sin α
P 
     mg cosα
0 (G,R) 0
0 inconnue
● Action de 0/1
X


R
0/1
 

    Y
0/1

0 
(B,R)0
{τ }
3 inconnues
0/1
0/1
0

0
0 (G,R)
0

0
0  (B,R)
2
Triangle de frottement
φ
R0/1
B
Point B
Direction
Intensité
P.F.S.
R0/1  P  0
(théorème 1)
Forces directement
opposées
R0/1 est en dehors du triangle
de frottement
Il n’y a pas d’équilibre
Isolement de 1
B.A.M.E.
● Action de pesanteur
 mg sin α
P 
     mg cosα
pes
0 (G,R) 0
0 inconnue
● Action de contact (F)
{τ }
{τ(F)}
F
F 
    0
0 (A,R) 0
0

0
0 (G,R)
φ
I
0

0
0(A,R)
1 inconnue (norme)
B
● Action de 0/1



R
0/1
 

    Y
0/1

0 
(B,R)0
{τ }
2 inconnues
Point B
Intensité
X 0/1 0 

0/1
0
0  (B,R)
P.F.S.
(théorème 3)
246 N
║R0/1 ║
=
║F ║
113 N
=
φ
I
B
R0 / 1  P.
cos
cos15
 P.
 246 N
cos
cos11,3
F  P.sin   P cos. tan   P.sin15  P cos15. tan11,3  113N
ECHELLE CONTRE UN MUR
Soit une échelle de 4,80 m posée contre un mur et
inclinée de 35°.
Le coefficient d'adhérence entre l'échelle et le sol
est : f1= tan 1 = 0,25.
Le contact en B est un contact ponctuel parfait de
normale, l'horizontale.
Le poids de l'échelle et d'une personne est de 100
daN appliqué en G.
1. Isoler l’ensemble S={échelle +
personne) et déterminer
graphiquement si l'équilibre est
possible lorsque la personne se
trouve au milieu de l’échelle (voir
figure). Justifier votre réponse.
Le support de l’action
en A est en dehors du
triangle d’adhérence
donc pas d’équilibre
10
2,5
ECHELLE CONTRE UN MUR
B.A.M.E.
● Action de pesanteur
{τpes}
I
 0
P 
     mg
0 (G,R)  0
0

0
0 
0 inconnue
φ
● Action de Mur/Echelle
X
BM/E 




0
M/E 
0 
0
(B,R) 
{τ }
y
M/E
1 inconnue (Intensité)
0

0
0 (B,R)
● Action de Sol/Echelle
P
x
P.F.S.
(G,R)
(théorème 3)
X
AS/E 





Y
S/E
0 
0
(A,R) 
{τ }
M/E
M/E
2 inconnues
Direction ; Intensité
0

0
0  (A,R)
Le support de l’action en
A est à l’intérieur du
triangle d’adhérence
donc il y a EQUILIBRE
5,7
10
ECHELLE CONTRE UN MUR
B.A.M.E.
● Action de pesanteur
{τpes}
I
 0
P 
     mg
0 (G,R)  0
0

0
0 
0 inconnue
● Action de Mur/Echelle
φ
X
BM/E 




0
M/E 
0 
0
(B,R) 
{τ }
y
M/E
1 inconnue (Intensité)
0

0
0 (B,R)
● Action de Sol/Echelle
P
x
P.F.S.
(G,R)
(théorème 3)
X
AS/E 





Y
S/E
0 
0
(A,R) 
{τ }
M/E
M/E
2 inconnues
Direction ; Intensité
0

0
0  (A,R)
ECHELLE CONTRE UN MUR
Le support de l’action en A doit être sur
le triangle d’adhérence pour avoir
EQUILIBRE STRICT
5,7
10
BM/E
I
G limite
φ
P
AS/E
y
P
x
║BM/E ║
=
║AS/E ║ =
35 daN
106 daN