Transcript { } { }M { } { }M

Cours
Mécanique
Statique
I Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.)
Un système étudié (ou isolé) est en équilibre par rapport à un repère galiléen (ou lié à la terre), si la
somme des torseurs en un point quelconque M des actions mécaniques extérieures appliquées sur
le système étudié, est égale à un torseur nul. On écrit ce principe de la façon suivante :
∀ M, Σ Τext/sys M = {0}M
{
}
Nota : On doit ainsi, transporter (ou réduire) tous les torseurs en M.
L'application de ce principe donne 6 équations, aussi la résolution ne sera possible que si le
nombre d'inconnues est inférieur ou égal à 6.
Théorème de la résultante statique : Σ F ext/sys = 0 (3 équations)
Théorème du moment statique : Σ MM (ext/sys) = 0 (3 équations)
II Présentation de l'étude générale d'un mécanisme :
Liaison glissière
d'axe x
y
Modélisation des liaisons
Schéma cinématique
ou graphe des liaisons
ou
x
2
1
z
Choix du système étudié
Système matériel
étudié
y
x
{Τ1/2 }A
Modélisation des Actions
Mécaniques Extérieures
Bilan
Résolution possible ?
0
 A 1/ 2 

=
 =  YA
M A(1/2)  A 
Z A
LA 

MA 
N A  A
Nombre d'inconnues < ou > à
6 lors d'une étude spatiale
non
oui
{Τ1/2 }A
= - {Τ2/1 }A
Transport des torseurs
en un point commun

{Τ1/2 }B = 


+ BA ∧ A 1/ 2 B
A 1/ 2
MB(1/2) = M A(1/2)
Application du principe
des actions mutuelles
{
∀ M, Σ Τext/sys
Application du P.F.S.
Résolution partielle ou totale
Ecriture et interprétation
des résultats
{Τ1/2 }A
}M = {0}M
0
 0
 A 1/ 2 


=
 = 150 0 
M A(1/2)  A 

- 80 95 A
non
Fin de l'étude ?
oui
FIN
Statique.doc
Retour au mécanisme par le
dimensionnement des pièces,
après d'éventuels calculs de Rdm
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
Page 1 /7
Cours
Mécanique
Statique
III Système sous l'action de deux glisseurs
Tout système isolé, en équilibre sous l'action de deux glisseurs, a ses vecteurs forces de norme
égale, opposés et colinéaires (même support).
1
1
A 2/1
Biellette en
Biellette en
traction
A 2/1
compression
A
A
B
B
B 3/1
A 2/1 = - B 3/1
B 3/1
IV Principe des actions mutuelles (ou réciproques)
Ce principe est nécessaire pour faire l'étude successive des systèmes de solides d'un même
mécanisme. Ce principe montre que :
{Τ1/2 }M = - {Τ2/1}M
V Système sous l'action de trois glisseurs non parallèles
Principe Fondamental de la Statique graphique
Un système, soumis à l'action de trois glisseurs, est en équilibre si :
- la somme des trois forces est nulle,
- les supports des trois forces sont coplanaires et concourantes en un même point.
Attention : Les techniques de résolution graphique ne s'appliquent qu'aux problèmes plans.
Choix d'une échelle pour les distances et d'une autre échelle pour les forces.
Principe de résolution
Faire l'inventaire des actions mécaniques extérieures agissant sur le système, puis compléter le
tableau ci-dessous avec les différents paramètres connus. Pour que la résolutions soit possible il ne
doit y avoir au maximum que trois inconnues dans le tableau.
Tracer les deux supports connus pour déterminer le point de concours et la troisième direction.
Direction obtenue par le P.F.S.
F ext/sys
Point
d'application
Direction
sens
Norme
en Newton
A 2/1
A
?
B 3/1
B
50
C 4/1
C
?
A
?
C
B
A 2/1
B 3/1
Statique.doc
C 4/1
Tracé du dynamique :
Tracer la résultante de B 3/1 en un point quelconque du plan,
puis tracer les parallèles au deux autres directions passant
par les deux extrémités de B 3/1 . On obtient un triangle dont
chaque coté représente la résultante d'un des glisseurs. La
somme des vecteurs est un polygone fermé, ce qui traduit la
nullité de la somme vectorielle du P.F.S.
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
Page 2 /7
Cours
Mécanique
Statique
VI Adhérence et frottement
Généralités :
Dans un mécanisme, on peut être amené à vouloir :
- réduire le frottement donc les pertes par frottement et ainsi permettre un meilleur rendement du
mécanisme.
- augmenter le frottement afin de :
réaliser la liaison encastrement entre deux solides : presse, collage, frettage.
augmenter la résistance au mouvement (exemples : pneu / route, freins)
Définitions :
- si deux surfaces en contact tendent à glisser l'une par rapport à l'autre sans déplacement : on dit
qu'il a ADHERENCE
- si deux surfaces en contact glissent l'une par rapport à l'autre : on dit qu'il a FROTTEMENT
Loi de Coulomb :
On exerce sur un parallélépipède 1 de poids P, en appui sur un plan 2, un force F située dans le
plan de symétrie géométrique de 1.
1er cas : 1 est en équilibre ( F1 ≠ 0 ) :
α
1
A 2/1 + P + F1 = 0
A 2/1 est incliné d'un angle α par rapport à la
normale au plan de contact de 1 et 2, du côté
opposé à la tendance au déplacement de 1 par
rapport à 2.
A 2/1
F1
I
G
P
F
A
Remarque : si F1 augmente, l'angle d'inclinaison α
de A 2/1 augmente.
α
F1
P
2
A 2/1
2ème cas : 1 est à la limite du glissement (équilibre strict) ( F2 > F1 ) :
A 2/1 + P + F 2 = 0
A 2/1 est incliné d'un angle ϕ0 (angle d'adhérence) ;
ϕ0 est la limite supérieure d'inclinaison de A 2/1 par
rapport à la normale au plan de contact de 1 et 2.
ϕ0
A 2/1
F2
I
G
tan ϕ0 = f0 : facteur d'adhérence
P
F
A 2/1
ϕ0
F2
A
3ème cas : 1 n'est plus en équilibre statique (mouvement par rapport à 2) ( F3 > F2 ) :
A 2/1 + P + F 3 ≠ 0
A 2/1 est incliné d'un angle ϕ (angle de frottement)
ϕ reste constant lorsque F 3 augmente encore.
ϕ est légèrement inférieur à ϕ0, mais dans de
très nombreux cas pratiques, on pose ϕ=ϕ0.
tan ϕ = f : facteur de frottement
ϕ
P
A 2/1
F3
I
G
Statique.doc
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
ϕ
F3
F
A
A 2/1
Mvt1/2
Page 3 /7
Cours
Mécanique
Statique
Force normale et tangentielle :
r
n
A 2/1
Tendance au glissement
y
A 2/1 = N 2/1 + T 2/1
N 2/1
N2/1 : résultante des forces normales
résultante
des
forces
T 2/1 :
tangentielles
O
z
T 2/1
A
r
r
N 2/1.y = A 2/1 . cosϕ 0 .y
x
T 2/1
tan ϕ0 = f0 avec f0 =
r
r
T 2/1 . x = A 2/1 . sinϕ 0 . x
N2/1
Cône d'adhérence et cône de frottement :
- On appelle cône d'adhérence le volume à l'intérieur duquel la résultante des actions de contact
peut se situer dans le cas où il y aurait adhérence.
- On appelle cône de frottement la surface sur laquelle la résultante des actions de contact peut se
situer dans le cas où il y aurait frottement.
Le cône de frottement est défini par :
- son sommetr : au point d'application de la résultante des actions ou au point de contact.
- son axe (A, n ) normal au plan tangent commun, du coté de la matière du système isolé
- son demi - angle au sommet égal à ϕ0
Dans l'espace :
r
n
Dans le plan x,y :
r
n
ϕ0
ϕ0
1
A
A
2
Interprétations des résultats
er
1 cas : 1 est immobile par rapport à 2 ( A 2/1 = 0 ) :
r
n
Tendance au glissement
A 2/1
- la condition d'équilibre s'écrit : α < ϕ0 et T 2/1 = N2/1 . tan α
α
1
- A 2/1 est dans le cône
- T 2/1 est opposé à la tendance au glissement
On dit qu'il y a adhérence
A
2
Statique.doc
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
Page 4 /7
Cours
Mécanique
Statique
Cas particulier : l' équilibre strict α = ϕ0
r
n
avec T 2/1 = N2/1 . tan ϕ0
-
A 2/1 est sur la génératrice du cône d'adhérence
Tendance au glissement
A 2/1
α = ϕ0
1
T 2/1 est toujours opposé à la tendance au glissement
A
r
n
2ème cas : 1 glisse par rapport à 2
-
A 2/1 ne peut pas sortir du cône ( α > ϕ impossible)
-
T 2/1 est opposé à direction de V A∈1/2
A 2/1
2
Direction du mouvement
ϕ
1
On dit qu'il y a frottement
A
2
ϕ et ϕ0 dépendent :
LOIS DE COULOMB
ϕ et ϕ0 sont indépendants :
-de la nature des surfaces de contact (matériaux) ;
-de la pression de contact ;
-de la rugosité des surfaces de contact ;
-de la forme des surfaces de contact ;
-de l'état des surfaces de contact (sèches, lubrifiées). -de l'aire des surfaces de contact ;
-de la vitesse de glissement.
En pratique, les valeurs de ϕ0 et ϕ sont voisines. On peut en première approximation les confondre.
Ces constatations sont aussi approchées :
En réalité ϕ et ϕ0 croissent avec la pression de contact ;
-ϕ varie avec la vitesse (régime hydrodynamique) ;
-ϕ varie avec la température (embrayages, freins).
Exemples de valeurs du facteur de frottement f et du facteur d'adhérence f0
Matériaux
Acier /Acier
Acier / Fonte grise
Acier / Graphite
Acier / Nylon
Acier / P.T.F.E.
Acier / Courroie caoutchouc
Acier / Bronze
Pneumatique / Asphalte
Statique.doc
f0 à sec
0,2
0,12
0,4
0,18
0,15
0,5
0,15 à 0,25
0,3 à 0,6
f0 avec lubrifiant
0,13 à 0,1
0,08 à 0,1
f à sec
0,1 à 0,08
0,1
0,15
0,15
0,1 à 0,08
f avec lubrifiant
0,1 à 0,04
0,08 à 0,04
0,1 à 0,05
0,1
0,1 à 0,03
0,1 à 0,15
0,2 à 0,4
0,15 à 0,2
0,1 à 0,05
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
Page 5 /7
Cours
Mécanique
Statique
Cas particulier : ARC BOUTEMENT :
Pour un solide soumis à n forces extérieures on dit qu'il y a arc-boutement chaque fois que le
phénomène de frottement provoque une impossibilité de mouvement (ou provoque l'équilibre)
quelle que soit l' intensité des forces mises en jeu.
Régulièrement utilisé l'arc-boutement est une conséquence du frottement et de l'adhérence.
De nombreux dispositifs fonctionnent sur ce principe :
- l'effet arc-boutement est alors recherché.
exemples : – serre joint - échelle – roue libre – serrage par excentrique.
Roue libre
Illustration du phénomène de l’arc-boutement
Les ressorts permettent de maintenir les billes en
contact avec les deux parties (tambour et noyau ) à
solidariser dans un sens et à libérer dans l’autre sens.
Serre joint
Statique.doc
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
Page 6 /7
Cours
Mécanique
Statique
- l'effet arc-boutement n'est pas recherché et est néfaste au fonctionnement
exemples : – guidage en translation –
On évite le phénomène d’arc-boutement avec une longueur de guidage L suffisamment élevée.
Condition de non arc-boutement pour un jeu donné : f : coefficient d’adhérence entre les surfaces de contact
∆≤
L L : longueur du guidage
2f ∆ : distance entre la direction de l’action mécanique et l’axe de la liaison
La tendance à l’arc-boutement entraîne un déplacement saccadé du coulisseau. Ce phénomène de broutage est appelé
stick slip.
Statique.doc
STS : Conception Industrialisation Microtechniques
Page 7 /7