Transcript ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK Tartalomjegyzék  Geometriai transzformációk - Egybevágósági transzformációk - Hasonlósági transzformáció  Síkidomok - háromszögek - négyszögek  Térgeometria 2015.11.06. Mészáros Andrea.

ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK
Tartalomjegyzék
 Geometriai transzformációk
- Egybevágósági transzformációk
- Hasonlósági transzformáció
 Síkidomok
- háromszögek
- négyszögek
 Térgeometria
2015.11.06.
Mészáros Andrea
2
A geometriai transzformációkról általában
Azokat a függvényeket, amelyeknek értelmezési tartománya is,
értékkészlete is ponthalmaz, geometriai transzformációknak
nevezzük
Az f geometriai transzformáció fixpontjának nevezzük az olyan
pontot, amely önmagának a képe.
Több transzformáció egymás utáni alkalmazásaként nyert
transzformációt a transzformációk szorzatának nevezzük.
Az olyan transzformációt, amely minden pontot helyben hagy,
identikus leképezésnek nevezzük.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
3
Egybevágósági transzformációk
A transzformáció neve
Fix pontja(i)
Helyettesíthető
egyenesre (tengelyre) vonatkozó
tükrözás
a tengely minden pontja
a tengely körüli 180-os (térbeli)
elforgatás
pontra vonatkozó tükrözés
a tükrözés középpontja
a tükrözés középpontján áthaladó és
egymásra merőleges két egyenesre
történő egymás utáni tükrözéssel
pont körüli  nagyságú
adott irányú elforgatás
az elforgatás középpontja,  esetén
miden pont
az elforgatás középpontján áthaladó
t1és t2 egyenesekre történő egymás utáni
tükrözéssel. A t1 egyenes 
forgásszöggel vihető át a t2 egyenesbe
d nagyságú, adott irányú eltolás
d esetén nincs, d esetén minden
pont
az eltolás irányára merőleges és
egymástól d/2 távolságban lévő
párhuzamos egyenesekre történő
egymás utáni tükrözéssel (a tükrözések
sorrendje lényeges!)
2015.11.06.
Mészáros Andrea
4
Síkidomok egybevágósága
Az egybevágóság fogalma: Két alakzat egybevágó, ha
létezik olyan egybevágósági transzformáció, ill.
transzformációk sorozata, amely az egyik alakzatot a
másikba viszi át.
Háromszögek egybevágósága:
- oldalaik páronként megegyeznek
- két oldaluk és az általuk bezárt szög páronként
megegyezik
- két oldaluk és a nagyobbik oldallal szemben fekvő
szögük páronként egyenlő
- egy oldaluk és a rajta fekvő szögek páronként
egyenlők
2015.11.06.
Mészáros Andrea
5
Négyszögek egybevágósága: Két négyszög egybevágó, ha
megfelelő oldalaik és szögeik páronként megegyeznek
• két négyzet egybevágó, ha egy megfelelő adatuk megegyezik
• két téglalap egybevágó, ha két megfelelő adatuk megegyezik
• két rombusz egybevágó, ha két megfelelő adatuk megegyezik
•két paralelogramma egybevágó, ha három megfelelő adatuk
megegyezik
•két trapéz egybevágó, ha négy megfelelő adatuk megegyezik
2015.11.06.
Mészáros Andrea
6
Hasonlósági transzformációk
A hasonlóság olyan transzformáció, ahol bármely két képpont
távolságát osztva a tárgypontok távolságával, ugyanazt a
pozitív valós számot kapjuk. Tehát, ha a transzformáció A-hoz
A’-t, B-hez B’-t rendeli, akkor dA’B’/dAB=l minden A, B pont
esetén.
A középpontos hasonlóság szintén rendelkezik a definícióban
előírt tulajdonsággal, tehát hasonlósági transzformáció
Minden hasonlóság megkapható mint egy egybevágóság és egy
középpontos hasonlóság szorzata.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
7
Középpontos hasonlóság
Jelöljünk ki egy O pontot, és adjunk meg egy l>0 valós számot.
Az O ponthoz rendeljük hozzá önmagát. Egy tetszőleges, de Otól különböző P ponthoz rendeljük hozzá azt az OP félegyenesre
eső P’ pontot, amelyre dOP’=ldOP. Az így definiált
ponttranszformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük.
Az O pont a hasonlóság középpontja, a l>0 valós számot a
hasonlóság arányának nevezzük. Ha l>1, akkor az O
centrumból való nagyításról, ha 0<l<1 kicsinyítésről beszélünk.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
8
Síkidomok hasonlósága
háromszögek hasonlósága
- a megfelelő oldalak aránya egyenlő
- két-két megfelelő oldal aránya és az általuk közbezárt szög
egyenlő
- két-két megfelelő oldal aránya és a nagyobbik oldalakkal
szemközti szögük egyenlő
- két-két szögük páronként egyenlő
négyszögek hasonlósága:
- két négyzet mindig hasonló egymáshoz
- két téglalap hasonló, ha oldalaik aránya megegyezik
- két rombusz hasonló, ha egy-egy szögük egyenlő
körök hasonlósága:
bármely két kör hasonló egymáshoz
2015.11.06.
Mészáros Andrea
9
Síkidomok
háromszögek
Egy háromszög a legnagyobb szöge szerint
 hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög
 derékszögű, ha egyik szöge derékszög
 tompaszögű, ha egyik szöge tompaszög
Az oldalak alapján
 egyenlő oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő
 egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala
 általános, ha nem egyenlő szárú
2015.11.06.
Mészáros Andrea
10
C
c
A
g
a
b

B
b
Összefüggések a háromszög adatai között:
 a háromszög belső szögeinek össze 180°
 bármelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két
belső szög összegével
 két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál
 ugyanabban a háromszögben egyenlő oldalakkal szemben
egyenlő szögek vannak
2015.11.06.
Mészáros Andrea
11
C
B1
O
A1
B
A
C1
A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik
egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.
Az a, b, c oldalú, T területű háromszög köré írt kör R
sugara: R= abc/4T
2015.11.06.
Mészáros Andrea
12
C
a
b
r
O
A
c
B
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik
egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja.
A T területű és a+b+c=2s kerületű háromszögbe írt kör r
sugara: r=T/s
2015.11.06.
Mészáros Andrea
13
D
/
/
C
/
a
b
A
x
y
E
mc
/

B
c2 b
c1
c
1.ábra
2.ábra
A háromszög bármely szögfelezője a szemközti oldalt a
közrefogó oldalak arányában felezi. (1.ábra)
(Vetületi tétel): c=bcos+acosb (2.ábra)
2015.11.06.
Mészáros Andrea
14
Háromszögek nevezetes vonalai
Magasságtétel: a derékszögű háromszög a átfogójához tartozó
magasság a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek
mértani közepe.
b 
b
a
m

p
q
b
c
Befogótétel: A derékszögű háromszög befogója az átfogónak
és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani
közepe.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
15
négyszögek
minden konvex négyszög belső szögeinek összege 360°
Azt a négyszöget, melynek két-két szemközti oldala
párhuzamos paralelogrammának nevezzük.
O

b

Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha
2015.11.06.
i.
két-két szemben fekvő oldala párhuzamos
ii.
két-két szemben fekvő oldala egyenlő
iii.
két szemben fekvő oldala párhuzamos és egyenlő
Mészáros Andrea
16
iv. két-két szemben fekvő szöge egyenlő
v.
két átlója felezi egymást
vi. középpontosan szimmetrikus
Ha a paralelogramma oldalai egyenlők, rombusznak hívjuk.
- egy paralelogramma akkor, és csak akkor rombusz, ha átlói
egymásra merőlegesek
- egy négyszög akkor, és csak akkor rombusz, ha átlói
merőlegesen felezik egymást
Ha a paralelogramma szögei egyenlők, téglalapnak
nevezzük.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
17
Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala,
trapéznak hívjuk.
A trapéz bármely szárán nyugvó szögek összege 180°
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög megegyezik,
akkor a trapézt, szimmetrikus trapéznak nevezzük.
Szimmetrikus trapéz szárai és átlói egyenlők
Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő,
akkor deltoidnak nevezzük.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
18
Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek minden
csúcsa ugyanazon a körön van, húrnégyszögnek
nevezzük. (1. Ábra)
Egy négyszög, akkor és csak akkor húrnégyszög, ha
két szemközti szögének összege 180°
c

2b

d
b
a
b
2.ábra
1.ábra
Érintőnégyszögnek nevezzük azokat a négyszögeket,
amelyeknek minden oldala egy adott kört érint. (2.ábra)
Egy négyszög akkor, és csak akkor érintőnégyszög, ha
két-két szemközti oldalának összege egyenlő
2015.11.06.
Mészáros Andrea
19
Térgeometria
Poliéderek
Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszögtartomány
határol, s amely teljes egyenest nem tartalmaz,
poliédereknek nevezzük.
Egy-egy szögtartomány a poliéder egy-egy lapja, a
szögtartomány síkja a poliéder lapsíkja, a lapokat határoló
szakaszok a poliéder élei, az élek végpontjai a poliéder
csúcsai.
A csúcsokat összekötő az élektől különböző szakaszok a
lapátlók, ha egyetlen lapsíkban vannak; s testátlók, ha
egyetlen lapsíkhoz sem tartoznak.
2015.11.06.
Mészáros Andrea
20
C
B1
O
B
Euler tétele: A konvex poliéderben a csúcsok (c), és lapok (l),
C
számának összege kettővel nagyobb az élek (e), számánál.
c+l=e+2
A
1
Az olyan konvex poliédert, amelynek élei, élszögei és
lapszögei egyenlők, szabályos testnek nevezzük.
2015.11.06.
Elnevezés
n
m c
e
f
Tetraéder
3
3
4
6
4
Hexaéder
4
3
8
12
6
Oktaéder
3
4
6
12
8
Dodekaéder
5
3
20 30
12
Ikozaéder
3
5
12 30
20
Mészáros Andrea
21
2015.11.06.
Mészáros Andrea
22