Transcript คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ ที่มาและความสาคัญ ตรรกศาสตร์ (logic) คือวิชาที่วา่ ด้วยการให้เหตุผลซึ่ง เกี่ยวข้องกับข้อความเป็ นชุดที่เรี ยงตามลาดับก่อนหลัง (a series of statements) ตรรกศาสตร์มีบทบาทมากไม่เพียงแต่ใน ชีวิตประจาวันเท่านั้นแต่เป็ นศาสตร์ที่จาเป็ นมากสาหรับนักกฎหมาย และนักรัฐศาสตร์ ตรรกศาสตร์จึงเป็ นศาสตร์ที่สาคัญและจาเป็ นต่อ มนุษย์ผเู ้

คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ที่มาและความสาคัญ
ตรรกศาสตร์ (logic) คือวิชาที่วา่ ด้วยการให้เหตุผลซึ่ง
เกี่ยวข้องกับข้อความเป็ นชุดที่เรี ยงตามลาดับก่อนหลัง (a series
of statements) ตรรกศาสตร์มีบทบาทมากไม่เพียงแต่ใน
ชีวิตประจาวันเท่านั้นแต่เป็ นศาสตร์ที่จาเป็ นมากสาหรับนักกฎหมาย
และนักรัฐศาสตร์ ตรรกศาสตร์จึงเป็ นศาสตร์ที่สาคัญและจาเป็ นต่อ
มนุษย์ผเู ้ จริ ญทั้งในทางโลกปัจจุบนั นี้และโลกาภิวตั น์ นาไป
ประยุกต์ปฏิบตั ิในชีวิตประจาวันต่อไป
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ความหมายของประพจน์
คือประโยคที่เป็ นจริงหรือเท็จ อย่ างใดอย่ างหนึ่งเท่ านั้น
ประโยคที่มีลกั ษณะดังกล่าวจะอยูใ่ นรู ปประโยคบอกเล่า
หรื อประโยคปฏิเสธก็ได้
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตัวอย่ างประโยคทีเ่ ป็ นประพจน์
ดาวพุธเป็ นดาวเคราะห์
เป็ น
จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยูท่ างภาคใต้ของประเทศไทย เป็ น
น้ านิ่งไหลลึก
ไม่เป็ น
17 + 8 = 25
เป็ น
5 เป็ นจานวนตรรกยะ ใช่ไหม
ไม่เป็ น
เซตว่างเป็ นสับเซตของเซตทุกเซต
เป็ น
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ในตรรกศาสตร์การเป็ น จริ ง หรื อ เท็จ ของแต่ละ
ประพจน์ เรี ยกว่า ค่าความจริ ง (truth value)
ของประพจน์ เช่น 3 = 1 + 2 เป็ นประพจน์ที่มีค่า
ความจริ งเป็ นจริ ง หรื อกล่าวสั้นๆ
ได้วา่ 3 = 1 + 2 เป็ นประพจน์ที่เป็ นจริ ง
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
¤ ข้ อควรจา ¤
ประโยคทีไ่ ม่ อยู่ในรู ปประโยคบอกเล่ าหรือปฏิเสธ
ไม่เป็ นประพจน์ เช่น
ประโยคคาถาม ประโยคคาสัง่ ห้าม ขอร้อง อ้อนวอน
ประโยคแสดงความปรารถนา หรื อประโยคอุทาน
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตัวอย่างประโยคทีไ่ ม่ เป็ นประพจน์
1. ประโยคคาถาม เช่น ใครกันนะ
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ประโยคคาสัง่ เช่น จงนัง่ ลง
ประโยคขอร้อง เช่น ช่วยปิ ดหน้าต่างให้หน่อย
ประโยคอ้อนวอน เช่น โปรดเมตตาด้วยเถิด
ประโยคแสดงความปรารถนา เช่น ฉันอยากเป็ นนก
ประโยคอุทาน เช่น อุย๊ .... เจ็บ
สุ ภาษิตคาพังเพย เช่น น้ าลดตอพุด
ประโยคเปิ ด เช่น เขาเป็ นดารานักร้อง
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตัวอย่ างประโยคที่ไม่ เป็ นประพจน์
-ฝนตกหรือเปล่ า
-อย่ าเดินลัดสนาม
-กรุ ณาเปิ ดหน้ าต่ างด้ วย
- ได้ โปรดเถิด
-ช่ วยด้ วย
-พระเจ้ าช่ วย
-ออกไปให้ พ้น
- โปรดให้ อภัยในความไม่ สะดวก
= คาถาม
= ห้ าม
= ขอร้ อง
= อ้ อนวอน
= ขอร้ อง
= อุทาน
= คาสั่ง
= ขอร้ อง
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
การเชื่อมประพจน์
ในวิชาคณิตศาสตร์ หรือในชีวติ ประจาวัน จะพบประโยคที่ได้
จากการ เชื่อมประโยคทีไ่ ด้ จากการเชื่อมประโยคอืน่ ด้วยคา
ว่ า “ และ” “ หรือ” “ ถ้ า...แล้ ว...” “ ก็ต่อเมื่อ”
หรือพบประโยคซึ่งเปลีย่ นแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติม
คาว่ า “ ไม่ ” คาเหล่ านีเ้ รียกว่ า
ตัวเชื่อม ( Connectives )
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
(1) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตัวเชื่อม “ และ”
พิจารณาประพจน์ 1 + 2 = 2 + 1
3×2 = 2×3
ประพจน์ใหม่คือ
1 + 2 = 2 + 1 และ 3×2 = 2×3
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ในการเชื่อมประพจน์ดว้ ย “ และ” มีขอ้ ตกลงว่า
ประพจน์ใหม่จะเป็ นจริ งในกรณี ที่ประพจน์ที่นามา
เชื่อมกันนั้นเป็ นจริ งทั้งคู่ กรณี อื่นๆเป็ นเท็จทุกกรณี
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จาก
การเชื่อม p กับ q ด้วย “ และ” คือ
“p และ q” เขียนแทนด้วย p q
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตารางค่าความจริ ง ( truth table ) ของ p q
p
q
p q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
(2) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตัวเชื่อม หรื อ
พิจารณาประพจน์ 1 + 5 = 5 + 1
4(2 + 3) = (4×2) + (4×3)
เมื่อเชื่อมประพจน์ท้ งั สองด้วย “ หรื อ” จะได้ประพจน์ใหม่คือ
1 + 5 = 5 + 1 หรื อ 4(2 + 3) = (4×2) + (4×3)
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ในการเชื่อมประพจน์ดว้ ย “หรื อ” มีขอ้ ตกลงว่า
ประพจน์ใหม่จะเป็ นเท็จในกรณี ที่ประพจน์ที่นามาเชื่อม
กันเป็ นเท็จทั้งคู่ กรณี อื่นๆเป็ นจริ งทุกกรณี
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จาก
การเชื่อมด้วย
“ หรื อ” คือ “p หรื อ q” เขียนแทนด้วย p q
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตารางค่ าความจริงของ p q
p
q
p q
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
หมายเหตุ ความหมายของคาว่า “หรื อ” ที่ใช้กนั ทัว่ ไปมีสองกรณี
กรณี ที่ 1 หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น ในการโยน
เหรี ยญครั้งละ 1 เหรี ยญ แต่ละครั้งเหรี ยญจะขึ้นหัวหรื อก้อยเพียงอย่าง
เดียว
กรณี ที่ 2 หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งหรื อทั้งสองอย่าง เช่น ครู ให้
รางวัลแก่นกั เรี ยนที่เรี ยนดีหรื อช่วยกิจกรรมของโรงเรี ยน นักเรี ยนที่
ได้รับรางวัลบางคนอาจเรี ยนดีเพียงอย่างเดียว บางคนอาจช่วย
กิจกรรมของโรงเรี ยนเพียงอย่างเดียว แต่บางคนอาจมีสมบัติท้งั สอง
ประการก็ได้
ในตรรกศาสตร์มีขอ้ ตกลงว่า ตัวเชื่อม “หรื อ”
หมายถึงกรณี ที่2
เว้นแต่จะระบุไว้อย่างชัดเจนให้หมายถึงกรณี ที่1
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
(3) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตัวเชื่อม ถ้า...แล้ว
พิจารณาประพจน์ 2 + 3 = 3 + 2
6(2 + 3) = 6(3 + 2)
เมื่อเชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว” ประพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้น คือ
ถ้ า 2 + 3 = 3 + 2 แล้ ว 6(2 + 3) = 6(3 + 2)
ประพจน์ซ่ ึ งตามหลังคาว่า แล้ ว เรี ยกว่า ผล
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้
จากการเชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว” คือ “ถ้า p แล้ว q”
เขียนแทนด้วย p q
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ในการเชื่อมประพจน์ดว้ ย “ถ้า...แล้ว” มีขอ้ ตกลง
ว่าประพจน์ใหม่จะเป็ นเท็จในกรณี ที่ เหตุเป็ นจริง
และผลเป็ นเท็จ เท่านั้น กรณี อื่นๆเป็ นจริ งทุกกรณี
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตารางค่ าความจริงของ p q
p
q
p q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
(4) การเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ
พิจารณาประพจน์
2(3 + 2) = 2×5
3+2 =5
เมื่อเชื่อมประพจน์ ทงั ้ สองด้ วย “ ก็ต่อเมื่อ”
ประพจน์ ท่ ไี ด้ ใหม่ คือ
2(3 + 2) = 2×5 ก็ต่อเมื่อ 3 + 2 = 5
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ซึ่งมีความหมายเป็ น
ถ้ า 2(3 + 2) = 2×5 แล้ ว 3 + 2 = 5 และ
ถ้ า 3 + 2 = 5 แล้ ว 2(3 + 2) = 2×5
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
การเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่ า
ประพจน์ ใหม่ จะเป็ นจริงในกรณีท่ ปี ระพจน์ ท่ นี ามาเชื่อมกันนัน้
เป็ นจริงด้ วยกันทัง้ คู่หรือเป็ นเท็จด้ วยกันทัง้ คู่เท่ านัน้
กรณีอ่ นื ๆเป็ นเท็จเสมอ
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ ประพจน์ที่ได้จากการ
เชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” คือ “p ก็ต่อเมื่อ q”
เขียนแทนด้วย p q
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตารางค่าความจริ งของ p q เขียนได้ดงั นี้
p
q
p q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
(5) นิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ
2+ 3≠ 5
นิเสธของประพจน์ 2 < 3 คือ
23
นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~p
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
ตารางค่าความจริ งของ ~p เขียนได้ดงั นี้
p
p
T
F
F
T
คุณครูจักรินทร์ ทะสะระ
สรุปวิธีจา
T  T = T นอกนัน
้ F
F  F = F นอกนัน
้ T
T  F = F นอกนัน
้ T
T  T = T และ F  F = T นอกนัน
้ F
ตารางค่ าความจริงของประพจน์ ที่มีตวั เชื่อมแบบต่ างๆ ที่กล่ าวมาแล้วมีไว้
เพือ่ ช่ วยในการหาว่ าประพจน์ ใดเป็ นจริงหรือเท็จ ดังตัวอย่ างในต่ อไปนี้
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาค่ าความจริงของประโยคต่ อไปนี้
“เชียงใหม่ และธนบุรีเคยเป็ นเมืองหลวงของเมืองไทย”
วิธีทา ให้ p แทน เชียงใหม่ เคยเป็ นเมืองหลวงของไทย
ให้ q แทน ธนบุรีเคยเป็ นเมืองหลวงของไทย
ประโยคทีก่ าหนดให้ อยู่ในรูป p q
เนื่องจาก p เป็ นเท็จ และ q เป็ นจริง จะได้ p q เป็ นเท็จ
ดังนั้น ประโยค “เชียงใหม่ และธนบุรีเคยเป็ นเมืองหลวงของไทย”
มีค่าความจริงเป็ นเท็จ
ถ้ามีประพจน์เดียวคือ p มีกรณี เกี่ยวกับค่าความจริ งที่จะพิจารณา 2 กรณี
ถ้ามีสองประพจน์คือ p และ q มีกรณี เกี่ยวกับค่าความจริ ง
ที่จะพิจารณา 4 กรณี
ในทานองเดียวกัน ถ้ามีสามประพจน์คือ p , q และ r มีกรณี เกี่ยวกับค่า
ความจริ งที่จะพิจารณา ทั้งหมด 8 กรณี
ตัวอย่ าง จงสร้างตารางค่าความจริ งของ
(p  q)  (~p ~q)
วิธีทา รู ปแบบของประพจน์
(p  q)  (~p ~q)
p
q
pq
~p
~q ~p  ~q (p  q)  (~p  ~q)
T
T
T
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
ในวิชาตรรกศาสตร์ ถ้ ารูปแบบของประพจน์สอง
รูปแบบใดมีคา่ ความจริ งตรงกันกรณีตอ่ กรณี แล้ วจะ
สามารถนาไปใช้ แทนกันได้ เรี ยกสองรูปแบบของ
ประพจน์ดงั กล่าวว่าเป็ น รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน
เช่น p q กับ ~p  q เป็ นรูปแบบที่สมมูลกัน ซึง่
แสดงการตรวจสอบความสมมูลได้ ดงั นี ้
ค่าความจริ งของ p  q กับ ~p \/ q ตรงกันกรณีตอ่ กรณี
p
q
pq
~p
~ p \/ q
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
จะเห็นว่าค่าความจริ งของ p  q กับ ~p /\ q ตรงกันกรณี ต่อกรณี
p
q
pq
~p
~ p /\q
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
รูปแบบของประพจน์ ท่ สี มมูลกัน ที่ควรทราบ
1.กระทาตนเอง
p p p
p  p p
2.เดอร์ มอร์ แกน
~(p  q) ~p  ~q
~(p q)  ~p  ~q
3.สลับ
p  q q  p
pq  qp
p «q q « p
4.จัดหมู่
p  (q r) (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
p « (q « r)  (p « q) « r
5.กระจาย
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
6.แปลงรู ป
p  q  ~p  q
p  q  ~q  ~p
~(p  q)  p  ~q
7. ลดทอน
p  (p  r) p
p  (p  r) p
8. กระจายพิเศษ
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r) (p  q)  (p  r)
(q  r)  p  (q  p)  (r  p)
(q r)  p  (q  p)  (r  p)
9.ก็ต่อเมือ่
p « q (p  q)  (q  p)
p « q ~p « ~q
~(p « q) ~p « q
 p « ~q
p (q « r)  (p  q) « (p  r)
การสมมูลเชิงตรรกศาสตร์
(Logical Equivalence)
เทคนิคการยุบประพจน์ยอ่ ยๆเพื่อหารประพจน์ผสม
กาหนดให้ P และ q เป็ นประพจน์ และ T,F เป็ นค่าความจริ งของ
ประพจน์ที่ตาแหน่งนั้น
1. (p  p p
9. (p  p)  T
2. (p  F)  p  (F  p) 10. (p  T T
3. (p  T T  (T  p) 11. (T  p p
4. (p  p T  (p  p) 12. (p F p
5. (p  p p
13. (F  p)  T
6. (p  T p  (T  p) 14. (p   p  p
7. (p  F F  (F  p) 15. (p  q q  p)
8. (p p F  (p  p) 16. (p  q  p  q)
บทนิยาม รู ปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริ งเป็ นจริ งทุกกรณี เรี ยกว่า สัจนิรันดร์
คอนทราดิชนั่ (contradiction) คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริ งเป็ นเท็จทุกกรณี
พิจารณาค่าความจริ งของรู ปแบบของประพจน์ [(p  q) p]  q
p  q (p  q) p [(p q) p]  q
p
q
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
T
สั จนิรันดร์
ตัวอย่ างสั จนิรันดร์ ที่สาคัญ
p  [ p  q ] (law of addition) กฎการเติมเต็ม
2. [ p  q ]  p (law of implication)
กฎของการทาให้ง่าย
3. [ p  ( p  q) ]  q (modus ponens)
การแจงผลตามเหตุ
4. [ ~ q  (p  q )]  ~ p (modus tollens)
การแจงผลค้านเหตุ
1.
5. [ ( p  q)  (q  r) ]  (p  r)
(law of syllogism) กฎของตรรกบท
6. [ ~ p  (q  ~ q) ] p
7. [(p  r)  ( q  r )] ( p  q  r)
(inference by case) การอนุมานโดยกรณี
8. [ ~ p  (p  q ) ]  q
(disjunctive syllogism) ตรรกบทแบบคัดออก
9. [ (p  q )  ~ q ]  ~ p
(law of absurdity) กฎของการเป็ นไปได้
10. (p  q)  (p  r  q  r)
บ.ฝ.
การอ้างเหตุผลคือ การอ้างว่า เมื่อมีขอ้ ความ P1,P2,...,Pn ชุด
หนึ่ง แล้วสามารถสรุ ปข้อความ C ข้อความหนึ่งได้ การอ้าง
เหตุผลประกอบด้วยส่ วนสาคัญสองส่ วนคือ เหตุหรื อสิ่ งที่
กาหนดให้ ได้แก่ ข้อความ P1,P2,...,Pn และผลหรื อข้อสรุ ป
ได้แก่ขอ้ ความ C การอ้างเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผลหรื อไม่
สมเหตุสมผลก็ได้ ซึ่ งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตวั เชื่อม ^
เชื่อมเหตุท้ งั หมดเข้าด้วยกัน และใช้ตวั เชื่อม เชื่อมส่ วนที่
เป็ นเหตุ
การอ้ างเหตุผล
การอ้างเหตุผล คือการอ้างว่าเมื่อมีขอ้ ความ P 1, P 2, P3 , ... , P n
เชื่อหนึ่ง แล้วสรุ ป ข้อความ c อันหนึ่งใด
ดังนั้น การอ้างเหตุผลจะประกอบด้วย 2ส่ วน
1. ส่ วนที่เรี ยกว่าเหตุ คือส่ วนที่กาหนดให้ซ่ ึงเป็ นจริ งเสมอ
ได้แก่ขอ้ ความ P1 , P2 , ... , Pn
2.ส่ วนที่เรี ยกว่าผล คือผลสรุ ปที่เกิดจากเหตุ ได้แก่
ข้อความ c
บทนิยาม ประโยคเปิ ดคือ ประโยคบอกเล่าหรื อประโยคปฏิเสธ
ที่มีตวั แปรและเมื่อแทนค่าของตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพ
สัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์
กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนเต็ม
พิจารณา 2x + 1 = 3 จะเห็นว่าเป็ นประโยคเปิ ด เพราะมีตวั
แปร x และเมื่อแทน x ด้วยจานวนจริ งใดๆ แล้วได้ประพจน์
เช่น
แทน x ด้วย 0 ได้ 0 + 1 = 3 เป็ นเท็จ
แทน x ด้วย 1 ได้ 2 + 1 = 3 เป็ นจริ ง
แทน x ด้วย 2 ได้ 4 + 1 = 3 เป็ นเท็จ
พิจารณา 2x + 1 = 3 จะเห็นว่าเป็ นประโยคเปิ ด เพราะเมื่อแทน x ด้วย
จานวนจริ งใดๆแล้วเป็ นไปได้ท้ งั 2 อย่าง
ในวิชาคณิ ตศาสตร์ จะพบว่ามีการใช้ขอ้ ความ สาหรับ x ทุกตัว และ สาหรับ x
บางตัว เสมอ เช่น
สาหรับ x ทุกตัว x + 0 = x เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็ นเซตของจานวนจริ ง
สาหรับ x บางตัว x + x = xเมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็ นเซตของจานวนจริ ง
หมายเหตุ การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิ ดที่มีตวั บ่งปริ มาณ เราจะต้องเขียนเอกภพ
สัมพัทธ์กากับไว้เสมอเพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตัวแปรว่าแทนสิ่ งใด แต่ในกรณี ที่เอกภพ
สัมพัทธ์เป็ นเซตของจานวนจริ ง มักนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์ นอกจากนี้ใน
การศึกษาเกี่ยวกับเซตนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์เช่นเดียวกัน
ตัวบ่งปริ มาณ(Quantifiers)
ตังบ่งปริ มาณมี 2 ชนิด
1. Universal Quantifiers คือ “สาหรับ...ทุกตัว", “ แต่ละค่าของ..."
อ่านว่า "for all" เขียนแทนด้วย
" "
2. Existential Quantifiers คือ “ สาหรับ... บางตัว", " มีอย่างน้อยหนึ่ง "
อ่านว่า "for some“เขียนแทน " "
การพิจารณาค่าความจริ งของประโยคที่มีตวั บ่งปริ มาณนั้น โดยทัว่ ไป
จะพิจารณาแต่ละส่ วนของประโยคที่มีตวั บ่งปริ มาณ ดังนี้
ส่ วนที่ 1 ตัวบ่งปริ มาณ
ส่ วนที่ 2 ประโยคเปิ ด
ส่ วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์
ค่ าความจริงของประโยคมีตัวบ่ งปริมาณตัวเดียว
ค่ าความจริงของประโยคทีม่ ีตวั บ่ งปริมาณตัวเดียวพิจารณาประโยคเปิ ด
>0
เมื่อ กาหนดตัวบ่งปริ มาณและเอกภพสัมพัทธ์ให้แตกต่างกัน ดังนี้
x[ > 0],
x[ > 0],
x[ > 0],
x[ > 0],
x[ < 0],
= {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน
= {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน
= {1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน
= {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน
= {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน
ยกกาลังสองแล้มากกว่า 0
ยกกาลังสองแล้วมากกว่า0
ยกกาลังสองแล้วมากกว่า 0
ยกกาลังสองแล้วมากกว่า 0
ยกกาลังสองแล้วน้อยกว่า 0
ประโยคบางรู ปแบบอาจจะต้องใช้พิจารณาจากบทนิยามของสมมูล
หรื อนิเสธ ดังนี้
“ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริ งเหมือนกัน
ทุกกรณี ”
“ประพจน์สองประพจน์จะเป็ นนิเสธกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริ งตรงกัน
ข้ามกรณี ต่อกรณี ”
รู ปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน และเป็ นนิเสธกันที่ใช้วธิ ีพิจารณา
ดังกล่าว
รูปแบบที่ 1~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]
กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]
พิสูจน์ กรณีที่ 1 ถ้า ~ x[P(x)] เป็ นจริ ง
จะได้วา่
x[P(x)] เป็ นเท็จ
ดังนั้น มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนาไปแทนค่า x ใน P(x)
แล้วได้ประพจน์ที่เป็ นเท็จ จะได้วา่ มีสมาชิกบางตัวในเอกภพ
สัมพัทธ์เมื่อนาไปแทนค่า x ใน ~P(x)แล้วได้ประพจน์ที่เป็ นจริ ง
นั่นคือ x[~P(x)] เป็ นจริง
รู ปแบบที่ 2 ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]
กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] พิสูจน์
กรณีที่ 1 สมมุติวา่ ~ x[P(x)] เป็ นจริ ง
จะได้วา่ x[P(x)] เป็ นเท็จ
ดังนั้น เมื่อแทนค่า x ใน p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอก
ภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่เป็ นเท็จทั้งหมด
นัน่ คือ เมื่อแทนค่า x ใน ~p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน
เอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่เป็ นจริ งทั้งหมด
บ.ฝ.
บ.ฝ.
ประโยคที่มีตวั บ่งปริ มาณสองตัว สามารถเขียนได้ 8
รู ปแบบ ได้แก่
xy[P(x,y)] x y[P(x,y)] xy[P(x,y)]
xy[P(x,y)] yx[P(x,y)] yx[P(x,y)]
yx[P(x,y)] yx[P(x,y)]
ซึ่ งจะหาค่าความจริ งของประโยคเหล่านี้
บทนิยาม
ประโยค xy[P(x,y)] มีคา่ ความจริ งเป็ นจริ ง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และy ด้วย
สมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a,b) เป็ ฯจริ งเสมอ
ประโยค xy[P(x,y)] มีคา่ ความจริ งเป็ นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วย
สมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a,b)เป็ นเท็จ
ตัวอย่าง กาหนดให้ u = {-1,0,1] จงหาค่าความจริ งของ
(1) xy[xy < 2]
(2) xy[x + y < 2]
วิธีทา (1) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอาภพสัมพัทธ์ จะเห็นได้วา่ P(-1,-1), P(-1,0), P(1,1), P(0,-1), P(0,0), P(0,1), P(1,-1), P(1,0) และP(1,1)เป็ นจริ ง
ดังนั้น ประโยค xy[ xy < 2] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง
(2) จะเห็นว่า เมื่อเลือก x=1 และ y=1 จะได้วา่ x+y = 1+1 = 2
ดังนั้น ประโยค xy[ x+y < 2] มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ
บทนิยาม
ประโยค xy[P(x,y)] มีคา่ ความจริ งเป็ นจริ ง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วย
สมาชิก a และ b บางตัวในเอาภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a,b) เป็ นจริ ง
ประโยค xy[P(x,y)] มีคา่ ความจริ งเป็ นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วย
สมาชิก a และ b บางตัวในเอาภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a,b) เป็ นเท็จ
ตัวอย่าง กาหนดให้ u = {-1,0,1] จงหาค่าความจริ ง
(1) xy[2x+y = 2]
(2) xy[x + y > 2]
วิธีทา (1) เมื่อเลือก x=1 และ y=0 จะได้ 2x + y 2(1) + 0 = 2
ดังนั้น ประโยค xy[2x + y = 2] มีคา่ ความจริ งเป็ ฯจริ ง
(2) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอาภพสัมพัทธ์ จะเห็นได้วา่
P(-1,-1), P(-1,0), P(-1,1), P(0,-1), P(0,0), P(0,1), P(1,-1), P(1,0) และP(1,1)เป็ นจริ ง
ดังนั้น ประโยค xy[x + y > 2] มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ
บทนิยาม
ประโยค )] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุก
ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a,y)] เป็ นจริ ง
ประโยค )] มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัว
ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a,y)] เป็ นเท็จ
ตัวอย่าง กาหนดให้ u = {-1,0,1} จงหาค่าความจริ งของ
(1) xy[x +y = 0]
(2) xy[x < y]
วิธีทา (1) เมื่อ x = 0 จะเห็นว่า ประโยค y[0 + y = 0] มีค่าความจริ งเป็ นจริ งเพราะ สามารถเลือก
y = 0 แล้วทาให้ 0+y = 0+0 = 0 เป็ นจริ งเมื่อ x = -1 จะเห็นว่า ประโยค y[-1+y = 0] มีค่า
ความจริ ง เป็ นจริ ง เพราะ สามารถเลือก y=1 แล้วทาให้ -1+y= -1+1=0เป็ นจริ ง
สรุ ปได้วา่ xy[x + y = 0] มีคา่ ความจริ งเป็ นจริ ง
(2) เมื่อเลือก x = 1 จะได้เห็นว่า ประโยค y[1 < y] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง
xy[x < y] มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ
ดังนั้น ประโยค
บทนิยาม
ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วย
สมาชิก a บางตัวเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y[P(a,y)] มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง
ประโยค xy[P(x,y)] มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วย
สมาชิก a บางตัวเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y[P(a,y)] มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ
(นั้นคือไม่สามารถหาค่าของ a ซึ่ งทาให้ ประโยค y[P(a,y)] เป็ นจริ งได้เลย )
สาหรับค่าความจริ งของประโยคyx[P(x,y)], yx[P(x,y)], yx[P(x,y)] และ
yx[P(x,y)] สามารถหาได้ในทานองเดียวกันกับรู ปแบบข้างต้น
จะเห็นได้ชดั เจนว่าประโยค xy[P(x,y)] และ yx[P(x,y)] มีค่า
ความจริ งตรงกันเสมอ และประโยค xy[P(x,y)] และ yx[P(x,y)] มีค่าความจริ งตรงกัน
เสมอเช่นเดียวกัน
The End
Good Bye