Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM Ejercicio Mason México D.F.
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Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM
Ejercicio Mason
México D.F. a 28 de Agosto de 2006
Diagrama de flujo de señales
Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones simultaneas. Es una red en la que nodos dinámicas están conectado mediante ramas, cada nodo representa una variable y cada rama una ganancia.
La ventaja del diagrama de flujo de señales de Mason es la disponibilidad de una fórmula que proporciona la relación entre variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción.
Definiciones: Nodo.
Es un punto que representa una variable o señal.
Rama.
Un segmento lineal dirigido entre dos nodos.
Transmitancia.
Es la ganancia de un rama.
Nodo de entrada (fuente).
Es un nodo que solo tiene una rama saliente.
Nodo salida (sumidero).
Es un nodo que solo posee ramas entrantes.
Nodo mixto.
Es un nodo que tiene ramas tanto entrantes como salientes.
Camino.
Es un recorrido de ramas conectadas en la dirección de la flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún nodo más de una vez el
camino es abierto.
Si el camino termina en el mismo nodo desde el que comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un vez, es
camino cerrado o lazo
.
Diagrama de flujo de señales
Definiciones: Lazos que no se tocan.
Son lazos que no poseen ningún nodo en común.
Camino directo.
Es un camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de Salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez.
Camino directo
x
1
a
Nodos mixtos
x
2
b x
4 Nodo de entrada (fuente)
d
Camino directo
x
3
x
3 Nodo de entrada (fuente)
c
Nodo de salida (sumidero) Lazo Figura 3. Diagrama de flujo de señal.
Diagrama de flujo de señales
Fórmula de ganancia de Mason
P
1
k k
donde
P
es la ganancia global.
P
k k
es la ganancia del
k
ésimo camino directo.
es el determinante del diagrama = 1- (suma de todas las ganancias de lazos individuales)+(suma de los productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de dos lazos que no se tocan)-(suma de los productos de ganancias de todas las posibles combinaciones de tres lazos que no se tocan)+...
1
L t
n L n m
,
q L m L q L r L s
Es el cofactor del k ésimo camino directo. Se obtiene a partir de Eliminando los lazos que tocan el camino
P k
Diagrama de flujo de señales
Ejemplo: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia de Mason .
H
2 (
s
)
R
(
s
) + + +
G
1 (
s
) + -
H
1 (
s
)
G
2 (
s
)
G
3 (
s
)
C
(
s
)
Solución:
La ganancia del camino directo es
P
1
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
G
2 (
s
)
Diagrama de flujo de señales
Los lazos individuales son tres:
L
1
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
H
1 (
s
)
L
2
G
2 (
s
)
G
3 (
s
)
H
2 (
s
)
L
3
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
G
3 (
s
) El determinante es 1 (
L
1
L
2
L
3 ) 1
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
H
1 (
s
)
G
2 (
s
)
G
3 (
s
)
H
2 (
s
)
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
G
3 (
s
) por lo tanto
C
(
s R
(
s
) )
P
P
1 1
C
(
s
)
R
(
s
) 1
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
H
1 (
s
)
G
1
G
( 2
s
( )
G
2
s
)
G
( 3
s
( )
G
3
s
)
H
( 2
s
( )
s
)
G
1 (
s
)
G
2 (
s
)
G
3 (
s
)
Desarrollo en fracciones parciales
Se utilizan fracciones parciales para descomponer alguna función
F
(
s
) complicada en fracciones más simples con transformadas inversa más sencillas Considere una función
F
(
s
)
B
(
s A
(
s
) )
K
(
s
(
s
p
1
z
1 )(
s
)(
s
z p
2 2 ) ( ) (
s s
z p n m
) ) (F1) donde
z
1 ,
z
2 , ,
z m
,
p
1 ,
p
2 , ,
p n
, son cantidades reales o complejas. Si tiene solo polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones simples:
F
(
s
)
B
(
s
)
A
(
s
) (
s a
1
p i
) (
s a
2
p
2 ) (
s a n
p n
)
F
(
s
) (F2) donde
a
1 ,
a
2 , ,
a n
son constantes. Cada elemento llama residuo del polo
s
p k
. El valor de cada ambos lados de la ecuación (F2) por (
s
p k
)
a k a k
(
k
y evaluar para
s
1 , 2 ,
p k n
) se se obtiene multiplicando
Desarrollo en fracciones parciales
a k
(
p k
)
B
(
s
)
A
(
s
)
s
p k
Una vez obtenido cada elemento fracción, se obtiene de
a k
la transformada inversa de cada L 1
s a k
p k
a k e
p k t
y la función en el tiempo queda:
f
(
t
)
L
1
F
(
s
)
a
1
e
p
1
t
a
2
e
p
2
t
a n e
p n t
,
t
0
Desarrollo en fracciones parciales
Ejemplo 1: Hallar la transformada inversa de Laplace de
F
(
s
)
s
(
s s
2 1 )(
s
2 2 ) Solución donde
F
(
s
)
s
(
s s
2 1 )(
s
2 2 )
a
1
s s a
2 1
s a
3 2
a
1 ,
a
2 ,
a
3 se obtienen de la siguiente manera
a
1
s s
(
s s
2 1 )(
s
1 2 )
s
0 1
a
2 (
s
1 )
s
(
s
s
2 1 1 )(
s
2 )
s
1 3
Diagrama de flujo de señales
Ejemplo 2: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia de Mason .
o x
1 1
x
1
d x
4
j x
5
a x
7
c e i k m n b l b x
2
g f h x
3
x
6
x
8 Figura 1. Diagrama de flujo de señal del ejemplo 2.
Diagrama de flujo de señales
x
1 Caminos directos: 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
i x
4
h x
3
x
1
k j
1
x
3
l a c x
7
b x
2
m x
1
x
5
x
6
o n d
1
x
1
o d x
1
x
4
a c x
7
b x
2
g f e j x
5
x
8
g f e h i x
3
k l m x
6
n x
8
x
3
h i x
4
x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
Diagrama de flujo de señales
Caminos directos:
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
i x
4
h x
3
j x
5
k x
3
l m x
6
n x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
i x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
Diagrama de flujo de señales
Lazos:
x
1
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
h x
3
h i i x
4
x
4
x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
x
1
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
i i x
4
h x
3
x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
Diagrama de flujo de señales
Lazos:
x
1
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
h i i x
4
x
3
x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
x
1
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e x
8
h i i x
4
x
3
x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
Diagrama de flujo de señales
Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan:
x
1
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e
1
x
1
o x
8
d a c x
7
b x
2
g f e x
8
h i i x
4
x
3
x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
x
1
x
1 1
x
1
o d a c x
7
b x
2
g f e
1
x
1
o x
8
d a c x
7
b x
2
g f e x
8
i i x
4
h x
3
x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
Diagrama de flujo de señales
1
x
1
o d x
4
j x
5 1
x
1
x
7
a c f e i x
3
k l m n x
1
x
7
b x
2
g x
6
h x
8
x
3 Combinaciones de 3 Lazos que no se tocan: 1
x
1
o d x
4
j x
5
x
1
x
7
a b c x
2
g f e h i x
3
k l m x
6
n x
8
x
3
a c b x
2
x
1
o g f d e x
8
i x
4
h x
3
j x
5
k l m x
6
n x
3
Diagrama de flujo de señales
Resumen de ecuaciones:
P
1
e P
2
cf P P
4 3
di djk P
5 1 2 3 4 5
djml
1 1 1 1 1 1 (
L
1
L
4
L
5
L
2
L L L
4 4 4
L L L L
1 2 3 4
abc o aehgb mn
L
3
L
4
L
7 )
L
4
L
5 (
L
2
L
4
L
7 )
L
6
P
1
L
5
L L L
k
6 7 8
L
7
adihgb adjkhgb fgh adjmlhgb
k L
8 ) (
L
1
L
4
L
2
L
4
L
2
L
7
L
3
L
4