Transcript การเคลือ่ นที่แบบวงกลม วิชาฟิ สิ กส์ 1 ครู รมณีย์ สร้ อยสน โรงเรียนอุดมดรุ ณี สานักงานเขตพืน้ ทีก่ ารศึกษาสุ โขทัย เขต 1

การเคลือ่ นที่แบบวงกลม
วิชาฟิ สิ กส์ 1
ครู รมณีย์ สร้ อยสน
โรงเรียนอุดมดรุ ณี
สานักงานเขตพืน้ ทีก่ ารศึกษาสุ โขทัย เขต 1


a  ac

 at
การเคลื่อนที่แบบวงกลม
ลักษณะการเคลือ่ นทีเ่ ป็ นวงกลม
1. มีแนวทางการเคลือ่ นทีเ่ ป็ นเส้ นรอบวงของวงกลม ทิศ
ของการเคลือ่ นทีจ่ ึงเปลีย่ นแปลงตลอดเวลา ความเร็ วจึงไม่
คงทีเ่ พราะเปลีย่ นทิศตลอดเวลา
2. ความเร็วของวัตถุ ณ ตาแหน่ งใดๆจะมีทศิ อยู่ในแนวเส้ น
สั มผัสวงกลม หรือตั้งฉากกับรัศมีเสมอ
3. แรงลัพธ์ ทกี่ ระทาต่ อวัตถุ และความเร่ งของวัตถุจะมีทศิ
พุ่งเข้ าสู่ จุดศูนย์ กลางการเคลือ่ นทีต่ ลอดเวลา
มีแนวทางการเคลือ่ นที่เป็ นเส้ นรอบวงของวงกลม
F
v
r
F
v
F
v
ความเร็วของวัตถุ ณ ตาแหน่ งใดๆ
v จะมีทิศอยู่ในแนวเส้ นสั มผัส
วงกลม ทิศของการเคลือ่ นทีจ่ ึง
F เปลีย่ นแปลงตลอดเวลา
แรงลัพธ์ ที่กระทาต่ อวัตถุ และ
ความเร่ งของวัตถุจะตั้งฉากกับ
ความเร็วและมีทิศพุ่งเข้ าสู่ จุด
ศูนย์ กลางการเคลือ่ นที่ตลอดเวลา




การเคลื่อนที่แบบวงกลมนับว่าเป็ นการเคลื่อนที่ซ้ ารอยเดิมอย่างหนึ่ง หาก
การเคลื่อนที่มีอตั ราเร็ วและรัศมีคงที่
คาบเวลาของการเคลื่อนที่ คือ เวลาที่วตั ถุใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ
หน่วยในระบบ SI คือ วินาที หรื อ วินาทีต่อรอบ
ความถี่ของการเคลื่อนที่ คือ จานวนรอบที่วตั ถุเคลื่อนที่ได้ใน 1 หน่วยเวลา
หน่วยในระบบ SI คือ รอบต่อวินาที หรื อ เฮิรตซ์
ความสัมพันธ์ระหว่างคาบและความถี่ เป็ นไปตามสมการ
1
T
f
ปริมาณเชิงเส้ น
การกระจัด s
ความเร็ว v
ความเร่ ง a
s  2 r
s 2 r
v 
t
T
2
v
ac 
r
ความเร่ งสู่ ศูนย์ กลาง คือ ความเร่ งของวัตถุทมี่ ีการเคลือ่ นทีแ่ บบวงกลม มีทศิ
พุ่งเข้ าหาจุดศูนย์ กลางของวงกลม
v2
ac 
r
แรงสู่ ศูนย์ กลาง วัตถุใดทีเ่ คลือ่ นทีด่ ้ วยความเร่ งได้ ต้ องมีแรงลัพธ์ ทไี่ ม่ เท่ ากับ
ศูนย์ มากระทา โดยทิศของแรงลัพธ์ มีทศิ เดียวกับความเร่ ง ดังนั้นวัตถุที่
เคลือ่ นทีแ่ บบวงกลมทีม่ ีความเร่ งพุ่งสู่ ศูนย์ กลางจึงมีแรงลัพธ์ มากระทาใน
ทิศเดียวกัน เรียกว่ า แรงสู่ ศูนย์ กลาง
จากกฎการเคลือ่ นที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
F = ma
แรงสู่ ศูนย์ กลาง
Fc = mac
ปริมาณเชิงมุม
การกระจัด 
ความเร็ว 
v2
Fc  m
r
v2
ac 
r
  2

2
 
 2f
t
T
ความสั มพันธ์ ระหว่ างปริมาณเชิงเส้ นและปริมาณเชิงมุม v  r
สมการการเคลือ่ นทีเ่ ป็ นวงกลมทีม่ อี ตั ราเร็วคงที่
ความถี่
อัตราเร็ วเชิงเส้น
อัตราเร็ วเชิงมุม
ความเร่ งสู่
ศูนย์กลาง
1
f 
T
s 2 r
v 
t
T
 2
 
 2f
t 2T
v
ac 
r
2
v
Fc  m
r
แบบฝึ กหัด
1. วัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมอย่างสม่าเสมอด้วยอัตรา 20 รอบใน 4 วินาที จงหา
ก. คาบเวลา
ข. ความถี่
ค. ถ้าให้รัศมีของวงกลม มีค่า 2 เมตร จะมีอตั ราเร็ วเท่าใด
2. จงหาความเร่ งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็ นวงกลมด้วยรัศมี 16 เมตร ด้วย
อัตราเร็ ว 4 เมตร/วินาที
3. ผูกก้อนหิ นมวล 100 กรัม ด้วยเชือกยาว 1.3 เมตร แกว่งเป็ นวงกลมด้วยความถี่ 5
รอบต่อวินาที จะมีแรงสู่ศูนย์กลาง เท่าใด
วิธีแก้ ปัญหาโจทย์ การเคลื่อนทีเ่ ป็ นวงกลม
1. เขียนเวกเตอร์ ของแรงทีก่ ระทาต่ อวัตถุทเี่ คลือ่ นทีเ่ ป็ น
วงกลมให้ ครบ
2. แยกแรงให้ เป็ นแรงย่ อยสองแรงตั้งฉากกันโดยแรง
หนึ่งต้ องอยู่ในแนวรัศมีของวงกลมการเคลือ่ นทีเ่ พราะ
เราต้ องใช้ แรงสู่ ศูนย์ กลาง
3. เข้ าสมการ แรงลัพธ์ = แรงสู่ ศูนย์ กลาง
F  Fc
วงกลมแนวราบ การแกว่ งรู ปกรวย
h   cos 
r   sin 

T sin   Fc
h
T sin   m ac
2
mv
T sin  
r
T cos  mg
ac  g tan

r
T
T cos 
T sin 
mg
ตัวอย่ าง ถ้ าแกว่ งเชือกยาว L ซึ่งมีวตั ถุมวล m ผูกที่
ปลายให้ เคลือ่ นทีแ่ บบเพนดูลมั กรวย โดยให้ แนวเส้ นเชือก
ทามุม θ กับแนวดิง่ รัศมีของการเคลือ่ นทีแ่ บบวงกลมเท่ ากับ
r และวัตถุเคลือ่ นทีด่ ้ วยอัตราเร็วคงตัว v จงหามุม θ ทีเ่ ส้ น
เชือกทากับแนวดิง่
วงกลมแนวราบ

h
r
วิธีทา ให้ T เป็ นแรงดึงในเส้ นเชือก
แรงองค์ ประกอบของ T ในแนว
ระดับเท่ ากับ T sinθ ซึ่งเป็ นแรงสู่
ศูนย์ กลาง
v
F m
จาก
r

2
T T cos 
T sin 
แทนค่ า T sinθ = F
c
c
mg
mv
T sin  
r
2
แรงองค์ ประกอบของ T ในแนวดิง่ คือ T cos θ ซึ่งมีขนาด
เท่ ากับนา้ หนัก mg แต่ กระทาวัตถุในแนวตรงข้ ามกัน ใน
สมดุล
T cosθ = mg
mv
จะได้ θ
T sin 
 r
2
T cos 
mg
v2
tan  
rg
คาตอบ มุมทีเ่ ส้ นเชือกทากับแนวดิง่ เท่ ากับ
2

1 v 
  tan  
 rg 
วงกลมแนวดิง่
A
ทีจ่ ุด A จาก F = Fc
TA+ mg = Fc
mg
ที
จ
่
ด
B
จาก

F
=
F
ุ
F  Fc
c
TA
TB
TB= Fc
TD
B
D

ทีจ่ ุด C จาก F = Fc

T
C
TC- mg = Fc
mg cos 
mg
mg mg sin  C
ทีจ่ ุด D จาก F = Fc
TD- mg cos  = Fc
mg
.
.
วงกลมแนวดิ่ง
ตัวอย่ าง ผูกวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ด้ วยเส้ นเชือกยาว 1 เมตร
แกว่ งวัตถุให้ เคลือ่ นทีใ่ นแนววงกลมในระนาบดิง่
ขณะวัตถุเคลือ่ นทีม่ าถึงตาแหน่ งตา่ สุ ด วัตถุเคลือ่ นทีด่ ้ วย
อัตราเร็ว 10 เมตรต่ อวินาที จงหาอัตราเร็ว ณ ตาแหน่ ง
สู งสุ ด เมือ่ แรงตึงในเส้ นเชือกเท่ ากับ 6 นิวตัน
อัตราเร็ว ณ ตาแหน่ งสู งสุ ดหาได้ ดงั นี้
จาก
T + mg = FC
mv
จะได้
T + mg = r
2
r T  mg 
v 
m
2
1
m
6
N

1
kg
10
m
/
s






2
v 
1kg 
2


v2 = 16 ( m/s )2
v = 4 m /s
คาตอบ อัตราเร็ว ณ ตาแหน่ งสู งสุ ดเท่ ากับ 4 เมตรต่ อวินาที
แบบฝึ กหัด
1. ผูกเชือกเบากับวัตถุมวล 1 กิโลกรัม แกว่งเป็ นวงกลมในแนวดิ่งรัศมี
0.2 เมตร ด้วยความเร็ วเชิงเส้น 4 เมตร/วินาที จงหาแรงดึงในเส้นเชือก
ขณะที่ลูกบอลอยูท่ ี่ตาแหน่งสูงสุ ด
2. วัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ติดกับเชือกยาว 1 เมตร แกว่งเป็ นวงกลมใน
แนวดิ่ง เมื่อเชือกทามุม 60 องศา กับแนวดิ่งจากตาแหน่งต่าสุ ดของแนว
การเคลื่อนที่ของวัตถุ จงหาแรงดึงในเส้นเชือก ถ้าขณะนั้นมีอตั ราเร็ วใน
การเคลื่อนที่ 3 เมตร/วินาที
การเคลือ่ นทีบ่ นทางโค้ ง
ขณะทีร่ ถยนต์ กาลังเลีย้ วโค้ ง ได้ โดยทีร่ ถยนต์ ไม่ ไถลออก
นอกถนน เนื่องจากมีแรงเสี ยดทานระหว่ างพืน้ ถนนกับยางรถ
และแรงนีจ้ ะมีทศิ เข้ าสู่ ศูนย์ กลางความโค้ งของถนน แรงสู่
ศูนย์ กลางนีจ้ ะมีค่าจากัด ขึน้ อยู่กบั รัศมีความโค้ งของถนน
อัตราเร็วทีร่ ถวิง่ เมือ่ ฝนตกถนนลืน่ แรงเสี ยดทาน( แรงสู่
ศูนย์ กลาง )จะลดลง
ดังนั้นอัตราเร็วของรถยนต์ จึงควรลดลงด้ วย เพื่อป้องกัน
การเกิดอุบัตเิ หตุ
การเคลื่อนที่บนทางโค้ง
ขณะรถเลี้ยวโค้ง บนถนนโค้งราบ ซึ่งมีแนวทางการ
เคลื่อนที่ เป็ นส่ วนโค้งของวงกลม ดังนั้นต้องมีแรงสู่ ศูนย์กลาง
กระทาต่อวัตถุ เมื่อพิจารณาแรงกระทาต่อรถในแนวระดับพบว่า
ขณะรถเลี้ยว พยายามไถลออกจากโค้ง จึงมีแรงเสี ยดทาน ที่พ้ืน
กระทาต่อล้อรถในทิศทาง พุง่ เข้าในแนวผ่านศูนย์กลางความโค้ง
ดังนั้น แรงเสี ยดทาน = แรงสู่ศูนย์กลาง
ถ้ารถเลี้ยวด้วยอัตราเร็ วสู งสุ ดได้ปลอดภัย
แรงสู่ ศูนย์ กลางนีจ้ ะมีค่าจากัด ขึน้ อยู่กบั รัศมีความโค้ งของ
ถนน อัตราเร็วที่รถวิง่ เมื่อฝนตกถนนลืน่ แรงเสี ยดทาน( แรงสู่
ศูนย์ กลาง )จะลดลง ดังนั้นอัตราเร็วของรถยนต์ จงึ ควรลดลงด้ วย เพือ่
ป้องกันการเกิดอุบัตเิ หตุ
การหามุมเอียงของรถจักรยานยนต์ ขณะเลีย้ ว
ขณะเลีย้ วรถแรงกระทาต่ อรถมี mg, N และ f ซึ่งแรง N และ f รวมกัน
ได้ เป็ นแรงลัพธ์ R C.M. จะก่อให้ เกิดโมเมนต์ ทาให้ รถควา่ ขณะเลีย้ วดังรูป ถ้ า
ไม่ ต้องการให้ รถควา่ ต้ องเอียงรถ ให้ จุดศูนย์ กลางของมวล ผ่ านแนวแรง R ขณะ
เลีย้ ว รถจึงเลีย้ วได้ โดยปลอดภัยไม่ พลิกควา่ ดังรูป
ถ้าเลี้ยวรถรถด้วยอัตราเร็ วสู งสุ ด พบว่า
รถวิง่ บนทางโค้งเอียงลื่น
จากการเลี้ยวรถบนถนนทางโค้งราบพบว่า รถจะเลี้ยวได้เร็ ว
หรื อช้า อย่างปลอดภัย ขึ้นอยูก่ บั ค่าสัมประสิ ทธิ์ ของความเสี ยด
ทานระหว่างพื้นกับล้อ ถ้ามีมากรถเลี้ยวได้ดว้ ยอัตราเร็ วสู ง แต่ถา้
มีนอ้ ย รถเลี้ยวด้วยอัตราเร็ วต่าและถ้าสัมประสิ ทธิ์ ของความ
เสี ยดทานระหว่าง พื้นเอียงกับล้อเป็ นศูนย์ รถไม่สามารถเลี้ยว
โค้งได้เลย ดังนั้นจึงมีการแก้ไขโดยการเอียงพื้นถนน เพื่ออาศัย
แรงปฏิกิริยาที่พ้นื กระทาต่อรถเป็ นแรงสู่ศูนย์กลาง โดยไม่อาศัย
แรงเสี ยดทาน
พิจารณาแรงกระทาต่อวัตถุพบว่าแรง
มีทิศทางพุง่ ผ่านจุดศูนย์กลางของความโค้ง
ดังนั้น
การเลีย้ วโค้ งถนนราบ
m v2
N 
r
เลีย้ วโค้ งแล้วเอียงรถ หรือ เลีย้ วโค้ งบนพืน้ เอียงลืน่ มุมที่เกิดจากการเอียง
ของทั้งสองกรณีคอื มุมเดียวกัน ใช้ สูตรเดียวกัน
v2
tan 
rg
ตัวอย่ าง รถยนต์ มวล 1,000 กิโลกรัม แล่ นด้ วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตร
ต่ อชั่วโมง เลีย้ วโค้ งบนถนนทีม่ ีผวิ อยู่ในแนวระดับและมีทางโค้ ง 2 โค้ ง
ซึ่งมีรัศมีความโค้ ง 100 เมตร และ 500 เมตร ตามลาดับ
ก. แรงสู่ ศูนย์ กลางทีก่ ระทาต่ อรถยนต์ ในแต่ ละกรณีมีค่าเท่ าใด
ข. ถ้ าแรงเสี ยดทานที่พนื้ ถนนกระทากับยางรถในทิศเข้ าสู่
ศูนย์ กลางมีค่าสู งสุ ดเท่ ากับ 1,000 นิวตัน จะมีผลอย่ างไรต่ อการเลีย้ ว
โค้ งของรถยนต์ ท้งั สองกรณี
ก. วิธีทา กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ ง 100 เมตร
จาก
v2
Fc  m
r
 60 10

m/ s
1, 000kg  
3600


Fc 
100m
3
2
FC = 2,778 N
ตอบ แรงสู่ ศูนย์ กลางทีก่ ระทาต่ อรถยนต์ กรณีทถี่ นนระดับมีรัศมี
ความโค้ ง 100 เมตร เท่ ากับ 2,778 นิวตัน
กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ ง 500 เมตร
จาก
v2
Fc  m
r
 60 10

m/ s
1, 000kg  
3600


Fc 
500m
3
2
Fc = 555.6 N
ตอบ แรงสู่ ศูนย์ กลางทีก่ ระทาต่ อรถยนต์ กรณีทถี่ นนระดับมีรัศมี
ความโค้ ง 500 เมตร เท่ ากับ 555.6 นิวตัน
ข. แรงสู่ ศูนย์ กลางทีก่ ระทาต่ อรถยนต์ มีค่าสู งสุ ด 1,000 นิวตัน รถยนต์
จะต้ องเลีย้ วโค้ งด้ วยแรงสู่ ศูนย์ กลางทีน่ ้ อยกว่ าหรือเท่ ากับแรงสู่
ศูนย์ กลางสู งสุ ดจึงจะเลีย้ วโค้ งได้ อย่ างปลอดภัย
ตอบ กรณีที่รัศมีของทางโค้ ง 100 เมตร ต้ องใช้ แรงสู่ ศูนย์ กลาง
ถึง 2,778 นิวตัน ดังนั้นรถยนต์ จงึ ไม่ สามารถเลีย้ วโค้ งได้ เป็ นเหตุให้
รถไถลออกนอกถนน แต่ กรณีที่รัศมีของทางโค้ ง 500 เมตรจะใช้ แรงสู่
ศูนย์ กลางเพียง555.6 นิวตัน ดังนั้นรถยนต์ จงึ สามารถเลีย้ วโค้ งได้
อย่ างปลอดภัย
ตัวอย่ าง รถยนต์ คนั หนึ่งแล่ นด้ วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่ อชั่วโมง
บนถนนโค้ งทีม่ ีรัศมีความโค้ ง 150 เมตร ถ้ าไม่ คดิ แรงเสียดทาน
พืน้ ถนนควรเอียงทามุมเท่ าไร กับแนวระดับรถจึงจะเลีย้ วได้ อย่ าง
ปลอดภัย
วิธีทา การหามุมทีพ่ นื้ ถนนทากับแนวระดับ หาได้ จากสมการ
จาก
v2
t an 
rg
2
 60 10

m
/
s


3600

tan   
150m  10m / s 2 
3
tan  = 0.189
θ = 10.5°
คาตอบ พืน้ ถนนจะต้ องเอียงทามุม 10.5 องศากับแนวระดับรถจึงจะ
เลีย้ วได้ อย่ างปลอดภัย
ตัวอย่ าง รถยนต์ มวล 1,550 กิโลกรัม แล่ นเลีย้ วบนถนนระดับ ซึ่งมี
รัศมีความโค้ ง 50 เมตร ด้ วยอัตราเร็ว 36 กิโลเมตรต่ อชั่วโมง จงหา
แรงเสี ยดทานระหว่ างพืน้ ถนนกับยางรถทีม่ ีค่าน้ อยทีส่ ุ ดที่ทาให้
รถยนต์ สามารถเลีย้ ว ได้ อย่ างปลอดภัย
วิธีทา แรงเสี ยดทานระหว่ างพืน้ ถนนกับยางรถที่มีค่าน้ อยทีส่ ุ ดทีท่ า
ให้ รถยนต์ สามารถเลีย้ วโค้ งได้ คือแรงสู่ ศูนย์ กลาง
จาก
2
v
Fc  m
r
 36 10

m/ s
1,550kg  
3600


Fc 
50m
3
2
FC = 3,100 N
คาตอบ แรงเสี ยดทานระหว่ างพืน้ ถนนกับยางที่มีค่าน้ อยที่สุดทีท่ าให้
รถยนต์ สามารถเลีย้ วได้ อย่ างปลอดภัยเท่ ากับ 3,100 N
แบบฝึ กหัด
1. รถจักรยานยนต์คนั หนึ่งวิ่งด้วยอัตราเร็ ว 108 กิโลเมตร/ชัว่ โมง ตาม
ทางโค้งราบที่มีรัศมีความโค้ง 100 เมตร รถจะเอียงทามุมกับแนวดิ่ง
เท่าใดจึงจะไม่ลม้
2. รถยนต์มวล 1,200 กิโลกรัม ถ้าวิง่ เลี้ยวโค้งบนทางที่มีรัศมีความโค้ง
100 เมตร ด้วยอัตราเร็ ว 72 กิโลเมตร/ชัว่ โมง จงหาแรงสู่ศูนย์กลาง