Dimensi Tiga (Proyeksi & Sudut) Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga.
Download ReportTranscript Dimensi Tiga (Proyeksi & Sudut) Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga.
Dimensi Tiga (Proyeksi & Sudut) 1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga 2 Proyeksi Pada Bangun Ruang: proyeksi titik pada garis proyeksi titik pada bidang proyeksi garis pada bidang 3 Proyeksi titik pada garis P m Dari titik P ditarik garis m garis k garis m memotong k di Q, titik Q adalah k hasil proyeksi Q titik P pada k 4 Contoh H G E F D A T C B Diketahui kubus ABCD.EFGH Tentukan proyeksi titik A pada garis a. BC b.BD c. ET (T perpotongan AC dan BD). 5 Pembahasan H G E F A’ D A Proyeksi titik A pada a. BC adalah titik B (AB BC) C b. T B BD adalah titik T (AC BD) c. ET adalah titik A’ (AC ET) 6 Proyeksi Titik pada Bidang P g P’ Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P’. Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H 7 Contoh H E G F D A B Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi titik E C pada bidang ABCD adalah…. b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah…. 8 Pembahasan G a. H E F P (EA ABCD) D A Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah A C b. B Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah P CE BDG 9 Proyeksi garis pada bidang Proyeksi sebuah garis A B A’ g g’ ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang. B’ Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’ 10 Fakta-fakta 1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis 2. Jika garis h maka proyeksi garis h pada bidang berupa titik. 3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g 11 Contoh 1 H G Diketahui kubus E F ABCD.EFGH a. Proyeksi garis EF D C pada bidang ABCD adalah…. A B b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah…. 12 Pembahasan H Ga. Proyeksi garis EF E F pada bidang ABCD berarti menentukan D C proyeksi titik E dan F A pada bidang ABCD, B yaitu titik A dan B Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB 13 Pembahasan b. Proyeksi garis CG H G pada bidang BDG E F berarti menentukan P proyeksi titik C D C dan titik G pada bidang BDG, A B 6 cm yaitu titik P dan G Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya? 14 H G •Panjang proyeksi CG E pada BDG adalah panjang garis PG. F D P •PG = ⅔.GR A B 6 cm = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6 •Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm R C 15 Contoh 2 Diketahui limas T beraturanT.ABCD dengan panjang AB = 16 cm, TA = 18 cm D C Panjang proyeksi TA pada bidang ABCD A 16 cm B adalah…. 16 Pembahasan Proyeksi TA T pada bidang ABCD adalah AT’. Panjang AT’= ½AC D C = ½.16√2 T’ A 16 cm B = 8√2 Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8√2 cm 17 Sudut Pada Bangun Ruang: Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang Sudut antara bidang dan bidang 18 Sudut antara Dua Garis m Yang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis adalah k besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut 19 Contoh H E G F D A C B Diketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG b. AH dengan AF c. BE dengan DF 20 Pembahasan H E F D A B Besar sudut antara garis-garis: G a. AB dengan BG = 900 b. AH dengan AF C = 600 (∆ AFH smss) c. BE dengan DF = 900 (BE DF) 21 P Sudut antara Garis dan Bidang Sudut antara garis a dan bidang dilambangkan (a,) adalah sudut antara garis a dan P’ proyeksinya pada . Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’ Q 22 Contoh 1 H G Diketahui E F kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. D C Gambarlah sudut A 6 cm B antara garis BG dengan ACGE, Kemudian hitunglah besar sudutnya! 23 Pembahasan H G E F D A K 6 cm C B Proyeksi garis BG pada bidang ACGE adalah garis KG (K = titik potong AC dan BD) Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG) = BGK 24 Pembahasan H E F D A BG = 6√2 cm BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm C ∆BKG siku-siku di K G K 6 cm B BK 3 2 1 sinBGK = BG 6 2 2 Jadi, besar BGK = 300 25 Contoh 2 H G E F D A Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 8 cm. C 8 cm B Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah…. 26 Pembahasan H P E G F D A 8 cm Q C B tan(CG,AFH) = tan (PQ,AP) = tan APQ = 1 AC AQ 2 GC PQ 1 2 .8 2 4 2 8 8 = Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2 27 T D A a cm Contoh 3 Pada limas a cm segiempat beraturan C T.ABCD yang semua B rusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. 28 Pembahasan • TA = TB = a cm • AC = a√2 (diagonal T a cm persegi) D A C a cm B • ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC yang besarnya 450 29 Sudut antara Bidang dan Bidang (,) h g Sudut antara bidang dan bidang adalah sudut antara garis g dan h, dimana g (,) dan h (,). (,) garis potong bidang dan 30 Contoh 1 H E G F D A B Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Gambarlah sudut antara bidang BDG C dengan ABCD b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD! 31 Pembahasan a. (BDG,ABCD) H G • garis potong BDG E F dan ABCD BD • garis pada ABCD yang BD AC D C • garis pada BDG A P B yang BD GP Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC) =GPC 32 Pembahasan H E F 1 2 D A b. sin(BDG,ABCD) G = sin GPC GC = GP a 6 6 x = .6 a 6 6 C = ⅓√6 P B 1 2 Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6 33 Contoh 2 T A B Limas beraturan T.ABC, panjang rusuk alas 6 cm dan C panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah…. 34 Pembahasan T A P B •sin(TAB,ABC) = sin(TP,PC) = sinTPC C •TC = 9 cm, BP = 3 cm •PC = 6 2 3 2 = 27 3 3 cm •PT = 9 2 3 2 = 72 6 3 cm 35 T • Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3 Aturan cosinus TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC A P B 36√6.cosTPC = 99 – 81 C 2 1 36√6.cosTPC = 18 6 1 x cosTPC = 2 6 6 = 6 12 36 • Lihat ∆ TPC cosP = 144 - 6 138 12 √6 6 12 Maka diperoleh Sin P = 138 12 P Jadi sinus (TAB,ABC) = 138 12 37 Contoh 3 Diketahui kubus H G ABCD.EFGH, panE F jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut D C Q di tengah-tengah A B P AB dan AD. Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah . Nilai cos =… 4 cm 38 Pembahasan 4 cm H K E F QD A L M B P • (FHQP,AFH) G = (KL,KA) = AKL = • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC C = ¼a√2 = √2 • KL = KM 2 ML2 = 4 2 2 18 =3√2 39 Pembahasan K A • AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2 Aturan Cosinus: AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos 24√3.cos = 42 – 2 24√3.cos = 40 M 5 L cos = 3 Jadi nilai cos = 5 3 9 9 40 SELAMAT BELAJAR 41