Transcript GIS – SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH, ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW GIS.

GIS – SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ
UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH, ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE
WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW GIS
PLAN PREZENTACJI
1. Współrzędne geograficzne, elipsoidalne, powszechnie stosowane
elipsoidy,układy odniesienia
2. Odwzorowania kartograficzne – definicja podział, odwzorowania
wiernokątne, wiernopolowe, wiernoodległościowe
3. Algorytmy upraszczania danych, algorytm Douglas-Peucker,
algorytm redukcji liczby wierzchołków
4. Pojęcie przestrzeni wektorowej, odległości, normy wektora,
iloczynu skalarnego, przykłady przestrzeni wektorowych,
podprzestrzeni wektorowych
5. Reprezentacje prostych, krzywych, odległość punktu od prostej
6. Wielomiany Newtona, Lagrange’a, Hermite’a, Bernsteina
7. Algorytm wygładzania linii z wykorzystaniem Active Contours
(Snakes)
MAPY – DEFINICJA
Mapa (z łac. mappa = 'obrus') - uogólniony obraz powierzchni Ziemi lub jej części
(także nieba lub planety czy innego ciała niebieskiego), wykonywany na
płaszczyźnie, w skali, według zasad odwzorowania kartograficznego, przy użyciu
znaków graficznych. Mapa stanowi podstawowe narzędzie badań i prezentacji
wyników m.in. w historii, geografii i geodezji.
Mapa jest to obraz fizycznej powierzchni ziemi na płaszczyźnie w przyjętym
odwzorowaniu kartograficznym i założonej skali z symbolicznym
przedstawieniem obiektów i ukształtowania.
Treść map - znaki umowne, punkty wysokościowe (pikiety), warstwice,
siatka współrzędnych, opisy.
Skala mapy – zależność pomiędzy długością odcinka łączącego 2 punkty
na mapie i odległością odpowiadających im punktów na powierzchni
odniesienia 1 : M.
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH GEOGRAFICZNYCH
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH ELIPSOIDALNYCH
ODWZOROWANIE KARTOGRAFICZNE
ODWZOROWANIE POWIERZCHNI W POWIERZCHNIĘ
Odwzorowaniem jednej powierzchni w drugą nazywamy każdą wzajemnie
jednoznaczną odpowiedniość punktową między powierzchnią nazywaną
oryginałem a powierzchnią nazywaną obrazem.
Odwzorowanie kartograficzne jest umownym, określonym matematycznie
sposobem przyporządkowania punktom powierzchni elipsoidy (lub kuli)
punktów na płaszczyźnie.
W zastosowaniach GIS (tym kartografii) powierzchnia oryginału i
powierzchnia obrazu są powierzchniami regularnymi. W odwzorowaniach
regularnych:
• obrazem punktu jest punkt
• obrazem krzywej jest krzywa
• obrazem kąta jest kąt
• obrazem powierzchni jest powierzchnia
PŁASZCZYZNA ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNEGO
PODSTAWOWE ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE
Wybór odwzorowania dla map uwzględnia przede wszystkim
kryterium występujących na mapie zniekształceń odwzorowawczych.
Według tego kryterium można wyróżnić odwzorowania:
• wiernokątne, mB=mL
• wiernopolowe, mB*mL=1
• wiernoodległościowe, mB=1, lub mL=1
• „dowolne”
GEOIDA
Geoidę definiuje się jako tę powierzchnię ekwipotencjalną potencjału siły ciężkości,
która pokrywa się ze średnim poziomem mórz i oceanów. Odzwierciedla ona własności
fizycznej budowy Ziemi, nieciągłości jej krzywizny odpowiadają nieciągłościom gęstości
w rozkładzie mas we wnętrzu Ziemi
PRZYŚPIESZENIE ZIEMSKIE
ELIPSOIDY ODNIESIENIA
POWIERZCHNIE ODNIESIENIA
płaszczyzna
POWIERZCHNIE ODNIESIENIA I WSPÓŁRZĘDNE
Szerokość geodezyjna B
punktu na elipsoidzie i jej
związek z szerokością
geograficzną na kuli.
UKŁAD ODNIESIENIA - DATUM
Układ odniesienia (DATUM) oprócz nazwy elipsoidy określa jej położenie względem środka
ciężkości Ziemi lub innych punktów. Rozróżniamy układy odniesienia lokalne i globalne.
ODWZOROWANIE MERCATORA
UTM – UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR
ODWZOROWANIA WIERNOKĄTNE
Odwzorowanie kartograficzne oddające wszystkie właściwości oryginalnej sfery powinien
być dokładnie – perfekcyjnie równoodległe, to znaczy odległości między dowolnymi dwoma
punktami powinny zachowywać ten sam stosunek zarówno na mapie i na sferze. W ten
sposób, także wszystkie kształty zostają zachowane. Mapa na płaszczyźnie nie może
spełnić tej właściwości (np. punkty na krawędzi mapy).
W wielu zastosowaniach kartograficznych oraz pewnych rodzajach nawigacji słabszy
warunek – poprawność kształtu jest najbardziej podstawowym wymaganiem. Kąt między
dowolnymi dwoma liniami na sferze musi być taki sam jak kąt między tymi liniami w
odwzorowaniu kartograficznym na mapie. W szczególności, wszystkie południki muszą
przecinać równoleżniki pod kątem prostym. Ponadto skala w dowolnym punkcie musi być
taka sama we wszystkich kierunkach. Wiernokątność jest ściśle lokalną właściwością: kąty
(a zatem i kształt) nie mogą być zachowane w dalszej odległości od punktu przecięcia. W
rzeczywistości linie proste na sferze zostają odwzorowane jako linie zakrzywione na
płaszczyźnie i odwrotnie.
Odwzorowania równokątne znajdują zastosowanie w odwzorowaniach wielkoskalowych,
natomiast są rzadko stosowane w mapach całych kontynentów lub świata. Ponieważ
odwzorowanie równokątne nie może być jednocześnie wiernopolowym, odwzorowania
wiernokątne nie są stosowane w zastosowaniach statystycznych, gdzie porównanie
rozmiaru jest powszechnie wykonywaną operacją.
ODWZOROWANIA WIERNOKĄTNE – STANDARDOWE
Podstawowe odwzorowania wiernokątne:
Stereograficzne płaszczyznowe, zachowujące kształt każdego okręgu na sferze
Odwzorowanie Merkatora, walcowe w normalnym aspekcie posiada proste, pionowe południki, umożliwiając
bezpośredni pomiary położenia – szerokości geograficznej
Odwzorowanie równokątne stożkowe, ogólny przypadek odwzorowania
Punkty osobliwe:
punkty odwzorowane w nieskończoności
punkty, gdzie nie jest zachowana równokątność
W szczególności (w aspekcie normalnym), odwzorowanie stereograficzne płaszczyznowe nie odwzorowuje punktu
przeciwległego środkowi odwzorowania. Odwzorowanie Mercatora nie obejmuje dwu biegunów, a odwzorowanie
stożkowe równokątne z pojedynczym biegunem, nie zachowującym równokątności (ponieważ suma kątów
wszystkich południków jest mniejsza od 360 stopni).
ODWZOROWANIE LAGRANGE’A
W roku 1772, Joann Lambert przedstawił odwzorowanie wiernokątne o następujących właściwościach:
na sferze, odległości południków zmniejszano o czynnik n
na sferze zmienia się odległości między równoleżnikami w celu uzyskania równokątności
zastosowanie odwzorowania płaszczyznowego stereograficznego w aspekcie równikowym
Lambert przedstawił ogólny przypadek dla dowolnego n i centralnego równoleżnika, najczęściej wykorzystywany
przypadek dla równika z n = 0.5 znany jest pod nazwą odwzorowania Lagrange’a. Joseph Lagrange’a uogólnił
odwzorowanie na przypadek elipsoidy.
Odwzorowanie Lagrange’a przedstawia cały świat na powierzchni okręgu. Z powodu zastosowania odwzorowania
stereograficznego, wszystkie południki i równoleżniki są łukami okręgów ( środkowy południk i równoleżnik jest linią
prostą). Skala zostaje silnie zniekształcona przy biegunach. Odwzorowanie rzadko stosowane praktycznie,
jednakże stanowi podstawę szeregu pochodnych odwzorowań równokątnych, gdyż odwzorowanie sfery na koło
jest fundamentalnym krokiem w tworzeniu odwzorowania wiernokątnego.
ODWZOROWANIE LAGRANGE’A
ODWZOROWANIA STOŻKOWE
Odwzorowania stożkowe w aspekcie biegunowym posiadają cechy:
• południki są prostymi liniami, równoodległymi, zbieżnymi w punkcie, który może być biegunem, ale
nie musi. W porównaniu do sfery, odległość kątowa między południkami jest zawsze zredukowana o
stały czynnik, zwany czynnikiem stożkowym
• równoleżniki są łukami okręgów, koncentrycznych w punkcie zbieżności południków. W wyniku tego,
równoleżniki przecinają wszystkie południki pod kątem prostym. Zniekształcenie jest stałe wzdłuż
każdego równoleżnika.
W celach zilustrowania, wynikowa płaszczyzna może zostać nawinięta na stożek z wierzchołkiem
odwzorowywanej sfery, jednakże niewiele odwzorowań jest opartych na prawdziwej geometrycznej
perspektywie (innymi słowy, stożek otrzymujemy zawsze w wyniku odwzorowania, jednakże rzadko
bezpośrednio podczas tworzenia odwzorowania). Najczęściej stożek przecina sferę w jednym lub dwu
wybranych równoleżnikach, zwanych standardowymi liniami.
Prosta konstrukcja i wzorzec zniekształcenia, powoduje, że jego stosowanie w regionalnych i
państwowych mapach stref umiarkowanych (podczas gdy mapy płaszczyznowe i walcowe są
odpowiedniejsze dla stref biegunowych i tropikalnych), w szczególności dla obszarów ograniczonych
dwoma położonymi niedaleko południkami, takimi jak Rosja lub USA. Z drugiej strony odwzorowania
stożkowe rzadko nadają się dla map całego świata.
Istnieje tylko jeden rodzaj odwzorowania stożkowego wiernopowierzchniowego, i tylko jedno jest
wiernokątne.
Ograniczenia są osłabione w odwzorowaniach pseudostożkowych (z zakrzywionymi południkami) oraz
polistożkowych (z niekoncentrycznymi równoleżnikami).
ODWZOROWANIA STOŻKOWE
ODWZOROWANIE LAMBERTA WIERNOKĄTNE STOŻKOWE
Standardowy równoleżnik 50°N and 10°S, obciete przy 50°S.
ODWZOROWANIE LAMBERTA WIERNOKĄTNE STOŻKOWE
WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW GIS
GRUPA
Grupą nazywamy parę (G,*), gdzie G jest dowolnym zbiorem niepustym, a * działaniem
dwuargumentowym (* : G x G → G) spełniającym następujące warunki:
1. dla dowolnych a, b, c należących do G zachodzi równość:
(a * b) * c = a * (b * c) (łączność działania)
2. istnieje w G taki element e, że dla każdego a należącego do G zachodzi równość:
e * a = a * e = a (gdzie e nazywamy elementem neutralnym grupy)
3. dla każdego a należącego do G istnieje w G element a-1 taki, że:
a * a-1 = a-1 * a = e (gdzie a-1 nazywamy elementem odwrotnym do a)
GRUPA ABELOWA
Jeżeli oprócz powyższych aksjomatów grupy, działanie w grupie G spełnia dodatkowo warunek
przemienności:
4. dla dowolnych a, b w G zachodzi równość:
a * b = b * a,
to grupę G nazywamy grupą przemienną lub grupą abelową.
PIERŚCIEŃ
Pierścień (ang. ring) to struktura algebraiczna P z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i
mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty:
zbiór P z dodawaniem jest grupą abelową
mnożenie jest łączne
mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania:
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(b + c)·a = (b·a) + (c·a)
CIAŁO
Ciało (ang. field) to struktura algebraiczna K z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i
mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty:
zbiór K jest co najmniej dwuelementowy
zbiór K z dodawaniem jest grupą abelową
zbiór K - {0} z mnożeniem, gdzie Zero jest elementem neutralnym dodawania, jest grupą
abelową
mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania:
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(b + c)·a = (b·a) + (c·a)
POJĘCIE PRZESTRZENI WEKTOROWEJ (LINIOWEJ)
DEFINICJA PODRZESTRZENI WEKTOROWEJ
Niepusty podzbiór S przestrzeni wektorowej V nazywamy podprzestrzenia wektorowa przestrzeni V , jezeli S z
działaniami indukowanymi z V jest przestrzenia wektorowa.
Podprzestrzenią liniową przestrzeni V nad ciałem K nazywamy taki jej podzbiór U, który sam jest przestrzenią liniową
nad ciałem K ze względu na działania określone w V.
PRZYKŁADY PODPRZESTRZENI WEKTOROWYCH
Funkcje wielomianowe na R tworza podprzestrzen wektorowa przestrzeni
wszystkich funkcji na R. Równiez przestrzen Wn wielomianów stopnia nie wkększego od n
jest przestrzenia wektorowa, podprzestrzenia przestrzeni wszystkich wielomianów
(funkcji wielomianowych).
Inne podprzestrzenie przestrzeni Map(R,R): wielomianów parzystych, funkcji
ciagłych, funkcji rózniczkowalnych, etc.
Przykładami podprzestrzeni są: zbiór złożony z wektora zeroweg i cała przestrzeń. Nietrywialnym przykładem jest
podzbiór przestrzeni euklidesowej R2 złożony z wszystkich wektorów postaci (x, 0).
BAZA I WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA
Baza przestrzeni liniowej to taki zbiór wektorów, że każdy wektor przestrzeni można zapisać
jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy.
Dla danej bazy i danego wektora współczynniki tej kombinacji liniowej, która przedstawia wektor'
nazywamy współrzędnymi wektora w bazie. Po wybraniu bazy każdy wektor jest
jednoznacznie wyznaczony przez ciąg swych współrzędnych w tej bazie.
Na przykład, w przestrzeni euklidesowej R2 bazę tworzy zbiór {(1, 1), (0, 1)}. Wektor (–3, 1) daje
się zapisać jako (–3, 1) = –3·(1, 1) + 4·(0, 1). Liczby –3 i 4 są współrzędnymi wektora (–3, 1) w
wybranej bazie. W innej bazie te same liczby będą współrzędnymi innego wektora.
Każda przestrzeń liniowa ma bazę (fakt ten jest równoważny aksjomatowi wyboru); wszystkie
bazy przestrzeni liniowej są równoliczne.
WYMIAR PRZESTRZENI
Moc dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni liniowej i oznaczamy
symbolem dim(V).
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym
wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.
DEFINICJA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ
Przestrzenią euklidesową n-wymiarową (n ≥ 1) nazywamy zbiór Rn wszystkich
uporządkowanych układów (x1, x2, ..., xn) n liczb rzeczywistych, wraz z odległością dwóch
układów określoną wzorem:
d(x,y)=sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+dots+(x_n-y_n)^2}
gdzie x = (x1, x2, ..., xn) i y = (y1, y2, ..., yn).
Formalnie, Rn jest n krotnym iloczynem kartezjańskim zbioru liczb rzeczywistych przez siebie.
Elementy x zbioru Rn nazywamy punktami, a liczby x1, x2, ..., xn, współrzędnymi punktu x.
Wzór na odległość dwóch punktów jest uogólnieniem twierdzania Pitagorasa zapisanego we
współrzędnych kartezjańskich dla n = 2. Określoną tym wzorem odległość nazywamy
odległością euklidesową.
PŁASZCZYZNA
Wektorami są tu klasycznie pojmowane wektory na płaszczyźnie, a skalarami - liczby rzeczywiste.
Bazę płaszczyzny tworzy dowolny zbiór złożony z dwu nierównoległych wektorów. Podobnie
można pojmować każdą przestrzeń euklidesową (uwaga: mówienie, że płaszczyzna jest
przestrzenią wektorową to nadużycie - staje się ona nią dopiero po wyposażeniu w strukturę
dodawania wektorów i mnożenia ich przez skalary). Warto pamiętać, że wszystkie wektory
płaszczyzny rozumianej jako przestrzeń wektorowa są zaczepione w początku układu
współrzędnych. Aby dodawać wektory zaczepione w różnych punktach konieczne jest rozszerzenie
przestrzeni wektorowej do przestrzeni afinicznej, w której wprowadzamy dodatkową operację
przesunięcia równoległego.
CIAŁO JAKO PRZESTRZEŃ LINIOWA
Każde ciało można rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad jego dowolnym podciałem. Na
przykład, ciało liczb zespolonych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Wymiar
tej przestrzeni wynosi 2 – jest ona izomorficzna z płaszczyzną euklidesową.
Podobnie, ciało liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych. Jest to
przestrzeń nieskończenie wymiarowa (wymiaru continuum). Dowolną bazę tej przestrzeni
nazywamy bazą Hamela.
.
PRZESTRZEŃ Kn
Dla dowolnej liczby naturalnej n, rozważmy zbiór wszystkich uporządkowanych
układów n skalarów z ciała K: Kn = {(k1, k2, ..., kn): ki należy do K dla i = 1, 2, ..., n}.
Jeżeli określić dodawanie takich układów wzorem:
(k1, k2, ..., kn) + (l1, l2, ..., ln) = (k1 + l1, k2 + l2, ..., kn + ln)
oraz mnożenie przez skalar α wzorem:
α·(k1, k2, ..., kn) = (α·k1, α·k2, ..., α·kn),
to otrzymamy n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem K. Jeżeli przyjąć tu K = R,
otrzymujemy n-wymiarową przestrzeń euklidesową
PRZESTRZENIE FUNKCYJNE
Wektorami są tu funkcje rzeczywiste (lub zespolone) określone na pewnym zbiorze X, zaś
skalarami liczby rzeczywiste (zespolone w przypadku zespolonym). Dodawanie funkcji
(wektorów) jest określone wzorem:
(f+g)(x) = f(x) + g(x),
a mnożenie funkcji (wektora) przez liczbę wzorem:
(α·f)(x) = α·f(x)
Na przykład, dodając funkcje f(x) = 2x i g(x) = x2 – x otrzymamy funkcję y = x2 + x; mnożąc f
przez – 2 otrzymamy funkcję y = – 4x.
Jeżeli zbiór X jest nieskończony, to tak otrzymana przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa.
Określając w zbiorze X dodatkowe struktury (np. przestrzeni topologicznej) otrzymujemy p.
liniowe o specyficznych własnościach, które są przedmiotami badań odrębnych działów
matematyki – topologii, analizy matematycznej lub analizy funkcjonalnej.
Przestrzeń funkcji ograniczonych
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór B(X) wszystkich funkcji ograniczonych na X jest przestrzenią
liniową.
Przestrzeń funkcji ciągłych
Niech X będzie przedziałem domkniętym. Zbiór C(X) wszystkich funkcji ciągłych na X jest p. liniową.
Przestrzeń funkcji różniczkowalnych
Niech X będzie przedziałem otwartym. Zbiór C′(X) wszystkich funkcji różniczkowalncyh na X jest
przestrzenią liniową.
Przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych
Niech X = N – rozważmy zbiór l1 wszystkich ciągów x=(x1, x2, x3, ...) dla których szereg liczbowy ∑|xi|
jest zbieżny. Z nierówności trójkąta wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma tę
własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.
Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem
Niech X = N – rozważmy zbiór l2 wszystkich ciągów x=(x1, x2, x3, ...) dla których szereg liczbowy ∑|xi|2
jest zbieżny. Z nierówności Schwarza wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma
opisaną własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.
Przestrzeń macierzy nad ciałem
Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n×m nad danym ciałem tworzy przestrzeń liniową nad tym ciałem. Jej
wymiar jest równy n·m.
Wielomiany
Pierścień K[1] wielomianów o współczynnikach w ciele K jest przestrzenią liniową nad K. Jest to
przestrzeń nieskończenie wymiarowa, jej bazą jest np. zbiór wielomianów {1, X, X2, X3,...}.
DEFINICJA ILOCZYNU SKALARNEGO
Iloczyn skalarny wektorów to operacja (oznaczana symbolem "·" lub "<·,·>"), która każdej parze (x,y) wektorów z
przestrzeni liniowej nad danym ciałem skalarów (najczęściej liczb rzeczywistych R lub zespolonych C) przypisuje
skalar w taki sposób, że spełnione są poniższe warunki:
PODSTAWOWE OKREŚLENIA
W geometrii płaskiej klasyczna definicja iloczynu skalarnego związana jest z kątem między wektorami w
przestrzeni:
x·y = |x|·|y| cos(x,y),
gdzie |x| oznacza długość wektora x. Widać stąd, że jeżeli wektory x i y są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest
równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli dwa niezerowe wektory mają zerowy iloczynskalarny to są
prostopadłe.
W ogólnym przypadku, jeśli x·y=0, to mówimy że wektory x i y są ortogonalne.
NORMA GENEROWANA PRZEZ ILOCZYN SKALARNY
Iloczyn skalarny pozwala określić (generować) normę wektora, czyli jego długość:||x||=(x·x)½.Ważną własnością tak
otrzymanej normy jest tożsamość równoległoboku:
2||x||2 + 2||y||2 = ||x + y||2 + ||x - y||2.
DEFNICJA PROSTYCH, REPREZENTACJA PROSTYCH
Wyznaczanie odległości punktu od linii stanowi podstawową operację w grafice
komputerowej, geometrii obliczeniowej oraz wszystkich dziedzinach
wykorzystujących reprezentacje graficzne obiektów, tym w dziedzinie GIS.
Powszechnie stosowane są podstawowe wzory na obliczanie odległości między
punktami a innymi obiektami, w tym między liniami,. Jednakże bardzo często,
konkretne rozwiązania wymagają stosowania tych a nie innych wzorów, co
uzależnione jest rodzaju posiadanych danych i definicji problemu.
W dalszych rozważaniach, konieczne będzie określenie metryki, czyli zdefiniowanie
odległości między dwoma dowolnymi punktami badanej przestrzeni, w naszym
przypadku przestrzeni Euklidesowej. Najczęściej do tego celu wykorzystywana jest
standardowa Euklidesowa norma L2. W ten sposób, dla n-wymiarowego wektora
v=(v1,v2,...,vn), jego długość definiowana jest jako |v|:
W przypadku dwu punktów P=(p1,p2,...,pn) i Q=(q1,q2,...,qn), odległość między tymi punktami wynosi:
REPREZENTACJE PROSTYCH
Punktowa. Podstawowym sposobem zdefiniowania konkretnej linii L jest podanie dwu różnych
punktów P0 i P1 leżących na tej linii. Linię L można również zdefiniować jako punkt z określonym
kierunkiem. Niech L będzie punktem na linii a vL będzie niezerowym wektorem podającym kierunek
linii.
RÓWNANIE PROSTEJ
Proste definiowane mogą być ponadto z wykorzystaniem współrzędnych punktów na linii jako
niewiadomymi. Najczęściej spotykanymi reprezentacjami tego typu są podane w poniżej tabeli.
Rodzaj
Równanie
Zastosowanie
Jawna 2D
y = f(x) = mx + b
Linie nie prostopadłe do osi
Niejawna
2D
f(x,y) = ax + by + c =
0
Dowolna linia 2D
Parametryc
zna
P(t) = P0 + t vL
Dowolna linia w n- wymiarowej przestrzeni.
POSTAĆ PARAMETRYCZNA PROSTEJ
W celu obliczenia odległości d(P,L) (w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni) od dowolnego zdefiniowanego punktu P do prostej
L przedstawionej równaniem parametrycznym wykonywane zostają następujące operacje. Niech P(b) będzie punktem
przecięcia prostopadłej z punktu P poprowadzonej do prostej L. Parametryczne równanie prostej dane jest w postaci: P(t)=P0 +
t (P1-P0). W takim przypadku, wektor P0P(b) przedstawia rzut wektora P0P na odcinek P0P1, sytuacja przedstawiona na
poniższym rysunku:
Przy vL=(P1-P0) i w=(P-P0), otrzymujemy:
w ten sposób:
przy uL będącym kierunkowym wektorem jednostkowym wektora L.
Zaletą metod jest możliwość zastosowania dla przestrzeni dowolnego wymiaru n.
OPERACJE UPRASZCZANIA – GENERALIZACJI DANYCH
Transformacja atrybutów - klasyfikacja
Selekcja tematyczna – wybranie podzbioru atrybutów (klas) , które są istotne dla danego zastosowania
(problemu)
Agregacja tematyczna – zmiana rozdzielczości tematycznej – łączenie hierarchii klas
Transformacja przestrzenna
a) Poszczególne obiekty
I) Upraszczanie – symplifikacja:
A1) przesiewanie – linia zostaje reprezentowana poprzez podzbiór punktów linii
wejściowej
A2) swobodne upraszczanie – reprezentacja linii poprzez dowolne punkty, a
nawet poprzez ich większą liczbę
II) zapadanie – zmiana wymiarowości danych
III) wzmocnienie
Geometryczne ograniczenia
A1) Powiększenie rozmiaru – stałe skalowanie we wszystkich kierunkach
A2) Nieproporcjonalne powiększenie – odnosi się tylko do pewnych fragmentów
– prowadzi do zmiany kształtu
Ograniczenia znaczeniowe
A3) Wygładzanie – lepszy wizualnie efekt
A4) Fraktalizacja
A5) Rektyfikacja – nadanie kształtu prostokątów / kwadratów
OPERACJE UPRASZCZANIA – GENERALIZACJI DANYCH
b) poszczególne obiekty lub zbiór obiektów
IV) selekcja / eliminacja
A6) selekcja – wybór najbardziej ważnych obiektów
reprezentujących cechy – właściwości obiektów poddawanych operacji upraszczania
A7) eliminacja – usuwanie obiektów, które nie są ważne
V) przemieszczenie obiektów, które znajdują się zbyt blisko siebie
VI) agregacja
A1) dodanie atrybutów do jednego obiektu
a1) amalgamacja – fuzja (agregacja dwu sąsiadujących
obiektów tego samego typu), scalanie (dwa obiekty nie sąsiadujące z sobą)
a2) połączenie
zbioru obiektów do jednego obiektu
o większym wymiarze
A2) dołączenie atrybutów kilku obiektów
Typowanie – transformacja zbioru obiektów na inny zbiór
obiektów
UPRASZCZANIE OBIEKTÓW LINIOWYCH
W szeregu zastosowaniach, podczas przetwarzania danych, w tym danych
geograficznych, poszczególne składowe obiektów, znajdują się w bezpośredniej
bliskości. Podczas operacji odrysowywania takich obiektów, składowe tych obiektów
redukują się do pojedynczych punktów. Względy wydajności i efektywności
przetwarzania danych wymagają doprowadzania do sytuacji, w której zdegenerowane
do punktu linie nie są odrysowywane. W tym celu konieczne jest zredukowanie liczby
wierzchołków i krawędzi obiektów linii do jedynie tych istotnych i zapewniających
odpowiednią rozdzielczość w ramach konkretnego zastosowania. Opracowano kilka
algorytmów mających na celu aproksymowanie obiektu linii o dużej rozdzielczości
(liczbie wierzchołków) mniejszą ich liczbą. Zastosowanie algorytmu redukcji liczby
wierzchołków wpływa ponadto także na szybkość działania pozostałych algorytmów,
takich jak na przykład wypełnianie powierzchni lub określanie przecięć, które mają
zostać wykorzystane do obiektów linii i poligonów
ALGORYTM REDUKCJI LICZBY WIERZCHOŁKÓW I ALGORYTM DOUGLAS-PEUCKER
Pierwszym algorytmem, najprostszym i zarazem najczęściej wykorzystywanym do
zmniejszania liczby punktów prostych jest szybki algorytm redukcji wierzołków o
złożoności O(n). Algorytm jest najszybszym oraz zarazem najmniej
skomplikowanym algorytmem z dostępnych algorytmów jednak z stosunkowo małą
dokładnością wyników. Z tego względu algorytm redukcji wierzchołków zostaje
połączony z bardziej dokładnymi algorytmami upraszczania, które za dane
wejściowe pobierają zredukowane w ten sposób obiekty i dalej przetwarzają te
dane w sposób wolniejszy, jednak zarazem bardziej dokładnie.
Najbardziej znanym algorytmem upraszczania obiektów liniowych jest klasyczny
algorytm Douglasa – Peuckera (DP) aproksymacji obiektów liniowych
wykorzystywany szeroko w grafice komputerowej oraz systemach GIS.
Istnieją dwa warianty algorytmu DP, oryginalna metoda O(n2) [Douglas & Peucker,
1973] oraz nowsza wersja O(n log n) one [Hershberger & Snoeyink, 1992]. Metoda
druga, pomimo oferowania zysku czasowego, wiąże się ze skomplikowaną
implementacją oraz ograniczeniem zastosowania jedynie do obiektów
dwuwymiarowych.
ALGORYTM REDUKCJI LICZBY WIERZCHOŁKÓW
Rysunek: Procedura redukcji wierzchołków
ALGORYTM DOUGLAS-PEUCKER
Rysunek: Pojedynczy krok algorytmu DP
LOKALNE ALGORYTMY UPRASZCZANIA LINII
POJĘCIE APROKSYMACJI
Aproksymacja jest to przybliżanie, zastępowanie jednych wielkości drugimi.
Aproksymacja może dotyczyć dowolnych wielkości matematycznych – liczb, funkcji,
krzywych, obszarów, wektorów, macierzy. Zastępowanie danej wielkości inną
obarczone jest pewnym błędem. Oszacowanie wielkości błędu pozwala na ocenę, czy
dane przybliżenie jest zadawalające, czy też nie.
Niech poszukiwana jest krzywa y  F (x ) dla zadanej liczby punktów:
jest opisana równaniem:
( xi , yi )
F ( x)  c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ... cn f n ( x)
Aproksymacja stosowana jest wówczas, gdy ilość zadanych punktów m jest mniejsza
od ilości nieznanych współczynników n krzywej F(x).
Zwykle nie można przeprowadzić krzywej przez wszystkie punkty.
Poszukiwana jest wówczas najbliższa krzywa w sensie minimum kwadratu błędu.
ZAGADNIENIE INTERPOLACYJNE
W przedziale [a,b] dane są węzły
x0=a; x1, x2,..., xn=b takie że
f(x0)=y0, f(x1)=y1, f(x2)=y2,..., f(xn)=yn
Należy znaleźć funkcję interpolującą F która w węzłach przyjmuje takie same wartości jak f.
y
f(x2)
f(xk)
f(xn)
f(x1)
f(x0)
Cel interpolacji
Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów
(węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej.
Rodzaje interpolacji:
Interpolacja wielomianami
Interpolacja funkcjami wymiernymi
Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Zastosowanie interpolacji:
Szacowanie określonych wielkości w punktach pośrednich.
Prowadzenie gładkich krzywych lub powierzchni przez punkty pomiarowe lub z
symulacji (funkcje sklejane).
Algorytmy numeryczne, np.:
Znajdowanie miejsc zerowych funkcji
Uzbieżnianie procesów iteracyjnych (np. SCF)
Różniczkowanie i całkowanie numeryczne.
WZÓR INTERPOLACJNY LAGRANGE’A
n
Wn x   a o  a1x  a 2 x  ...  a n x   a k x
2
n
k 0
a o  a1x o  a 2 x  ...  a n x  y o
2
o
n
o
a o  a1x1  a x  ...  a n x  y1
2
2 1
n
1
..................................................
a o  a1x n  a 2 x  ...  a n x  y n
2
n
n
n
k
WZÓR INTERPOLACJNY LAGRANGE’A
ak 
 1 xo

 1 x1

 ... ...
 1 x k -1
det
 1 xk
 1 x k 1

 ... ...
1 x
n

x o2
... x ok -1
yo
...
x12
... x1k -1
y1
...
...
...
...
...
...
x 2k -1 ... x kk --11
x 2k ... x kk -1
y k -1 ...
y k ...
x 2k 1 ... x kk -11
y k 1 ...
...
...
...
...
...
x 2n
... x kn -1
yn
...
1

1
det
 ..
1

... x on 

n
x1 ... x1 

... ... ... 
x n ... x nn 
xo
x on 

n
x1 

... 
x nk -1 

x nk 
x nk 1 

... 
x nn 
WZÓR INTERPOLACJNY LAGRANGE’A
Wn x  yo Lo x  y1L1 x  ... yn Ln x
Lk(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n
Wn  xk   yo Lo  xk   y1 L1  xk   ...  yn Ln  xk   yk
0 gdy j  k
L j  xk   
1 gdy j  k
Zatem
L j x  
x
x - xo x - x1 ...x - x j -1 x - x j 1 ...x - xn 
j
- xo x j - x1 ...x j - x j -1 x j - x j 1 ...x j - xn 
WZÓR INTERPOLACYJNY NEWTONA
ILORAZY RÓŻNICOWE
f ( x1 ) - f ( x o )
f ( x o ; x1 ) 
x1 - x o
f ( x1 ; x 2 ) - f ( x o ; x1 )
f ( x o ; x1 ; x 2 ) 
x2 - xo
......................................................
f ( x1 ; x 2 ; x 3 ; x n ) - f ( x o ; x1 ; x 2 ;...;x n -1 )
f ( x o ; x1 ; x 2 ;...;x n ) 
xn - xo
SCHEMAT OBLICZANIA ILORAZÓW RÓŻNICOWYCH
xo
f ( xo )
f ( xo ; x1 )
x1
f ( x1 )
f ( xo ; x1 ; x2 )
f ( x1 ; x2 )
x2
f ( x2 )
f ( xo ; x1 ; x2 ; x3 )
f ( x1 ; x2 ; x3 )
f ( x2 ; x3 )
x3
f ( x3 )
f ( x2 ; x3 ; x4 )
f ( x4 )
x5
f ( x5 )
f ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 )
f ( x2 ; x3 ; x4 ; x5 )
f ( x3 ; x4 ; x5 )
f ( x4 ; x5 )
f ( xo ; x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 )
f ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
f ( x3 ; x4 )
x4
f ( xo ; x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
SCHEMAT OBLICZANIA ILORAZÓW RÓŻNICOWYCH
n
f (x j )
j 0
( x j - x o )(x j - x1 )...(x j - x j-1 )(x j - x j1 )  ( x j - x n )
f ( x o ; x1 ;...;x n )  
W n ( x )  f ( x o )  f ( x o ; x1 )o ( x )  f ( x o ; x1 ; x 2 )2 ( x ) 
 ...  f ( x o ; x1 ; x 2 ;...;x n )n -1 ( x )
k ( x )  ( x - x o )(x - x1 )...(x - x k )
INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
Podobnie jak w przypadku wielomianów Lagrange’a mamy n+1 różnych wartości x0. x1,...,xn
zmiennej niezależnej x oraz n+1wartości funkcji y0. y1,...,yn . Dodatkowo musimy znać wartości
pochodnych w punktach interpolacji do rzędu m. Na tych punktach interpolacji budujemy wielomian
Hermite’a, który jest wielomianem potęgowym stopnia (m+1)(n+1)-1 spełniającym warunki
dk
H i j ( xl )   ik  jl
k
dx
rząd pochodnej
i, k  0,1,, m
j , l  0,1, n
nr punktu przedziału dla
którego wielomian
przyjmuje wartość 1
INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
W przypadku m = 0 wielomian Hermite’a jest wielomianem Lagrange’a
Wprowadzamy następującą jednoindeksową numerację wielomianów Hermite’a.
Hi(m+1)+ j (x) = Hij(x)
p = i(m+1)+j
Hp(x) = Hij(x)
i= 0,1,...,m
j = 0,1,...,n
INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
Niech apq oznacza współczynniki rozwinięcia p-tego wielomianu Hermite’a,
to wielomian Hermite’a można zapisać w postaci
H p ( x) 
( m1)( n 1) -1
q
2
a
x

a

1

a

x

a

x
 a p,( m1)( n1)-1  x ( m 1)( n 1) -1
 pq
p0
p1
p2
q 0
Czyli mając dane
x0 ,
wprowadzany oznaczenia
x1 ,  x n
x0 , x1 ,  xn
y 0 , y1 ,  y n
y00 , y01 ,  y0 n
y 0' , y1' ,  y n'
y10 , y11 ,  y1n




y 0( m ) , y1( m ) ,  y n( m )


ym 0 , ym1 ,  ymn
INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
m
n
y( x)   yij H ij ( x)
i 0 j 0
Wielomian Hermite’a
Najczęściej wielomiany Hermite’a stosujemy dla dwóch punktów
x0, x1 przy znanych wartościach y0, y1 oraz znanych pierwszych pochodnych
y’0, y’1 czyli n=1, m=1, (m+1)(n+1)-1=3
Wtedy wielomian Hermite’a przyjmie postać
3
H p ( x)  H ij ( x)   a pq x q
q 0
Wielomian Hermite’a dla punktu x1
3
H1 ( x1 )  H 01 ( x1 )   a1q x1q
q 0
 a10 1  a11  x1  a12  x12  a13  x13
 1  a10  x1  a11  x12  a12  x13  a13

 1 x1
x12
a10 
a 
x13  11 
a12 
 
 a13 

Wielomian Hermite’a dla pierwszej pochodnej w punkcie x0
3
H 2 ( x 0 )  H 10 ( x 0 )   a 2 q qx0q -1
q 0
 a 20  0  a 21  1  a 22  2 x 0  a 23  3 x 02
 0  a 20  1  a 21  2 x 0  a 22  3 x 02  a 23

 0 1 2 x0
a 20 
a 
3 x 02  21 
a 22 
 
 a 23 

Wielomian Hermite’a dla pierwszej pochodnej w punkcie x1
3
H 3 ( x1 )  H11 ( x1 )   a3q qx1q -1
q 0
 a30  0  a31 1  a32  2 x1  a33  3 x12
 0  a30  1  a31  2 x1  a32  3 x12  a33

 0 1 2 x1
a30 
a 
3 x12  31 
a32 
 
 a33 

Łącząc te macierze w jedną macierz otrzymujemy grupę układów równań
liniowych CA=I
1 x0

1 x1
0 1

0 1
x02
x12
2 x0
2 x1
x03  a 00

x13   a 01
3x02  a 02
2 
3x1   a 03
C
a10
a 20
a11
a12
a 21
a 22
a13
a 23
A
a30  1
a31  0

a32  0
 
a33  0
0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1
I
Rozwiązując powyższą grupę układów równań liniowych otrzymujemy
komplet współczynników w postaci macierzy
A = C-1 , gdzie C jest kwadratową macierzą o wymiarach (n+1)(m+1)
(n+1)(m+1) której wyrazy określone są zależnością
Ci ( m1) j ,q
dj q
 j xi
dx
REPREZENTACJA KRZYWYCH W PRZESTRZENI
SNAKES
POWSTANIE:
Snakes do wygładzania linii zaproponowana przez Burghardt (2002)
(podstawowy model snakes zaproponowany przez Kass et al. 1987)
STAN OBECNY:
Algorytm poprawny, poszukiwane modyfikacje..
- określenie parametrów kontrolnych
- zachowanie ograniczeń na mapie
- Dodatkowe podejście TAFUS (Borkowski et al. 1999)
- Mozliwość łączenia z modelami z przemieszczeniem
ZASADA DZIAŁANIA
Snakes – funkcja minimalizująca energię
• stosowana w grafice do rozpoznawania obrazów
• wygładza „sygnały“ (linie) jak krzywa sklajana
• specyficznie, wygładzanie kontrolowane jest lokalnie
• całka snakes zdefiniowana przez dwie wielkości
internal energy : energię wewnętrzną opisującą sam kształt linii
external energy : energia zewnętrzna opisująca zewnętrzne siły
łaczna energia ma być minimalizowana
rozwiazanie iteracyne
MODELE
Standardowy SNAKES
(oparty na reprezentacji o
współrzędne x,y)
Tangent Angle FUnction Snakes
(oparty na reprezentacji kata stycznej s,j)
WYGŁADZANIE LINII Z WYKORZYSTANIEM ALGRYTMU SNAKES
a,b : parametry kontrolne (1 pierwszy)
j : kąt stycznej
kropki : różniczka cząstkowa względem długości łuku s
ENERGIA WENĘTRZNA I ZEWNĘTRZNA DLA ALGORYTMU SNAKES
WZORY POCHODNYCH ENERGII SNAKES
PODSTAWOWE WZORY DO OBLICZEŃ ENERGII DLA ALGORYTMU SNAKES
LITERATURA
Snakes: a technique for line smoothing and displacement in map generalisation
Stefan Steiniger (Zürich) & Siegfried Meier (Dresden)
Definicje serwis: http://www.zgapa.pl/zgapedia/