Slide 1

seminar iz kolegija
NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE

VEZANI HARMONIČKI
OSCILATORI
Mislav Baloković
Fizički odsjek PMFa, Sveučilište u Zagrebu
10.6.2008.


Slide 2

Vezani harmonički oscilatori
Dva vezana harmonička oscilatora
Jednadžbe gibanja za dva vezanja njihala
Metoda rješavanja
Povezivanje C kôda s Mathematicom
Vizualizacija rezultata

Niz vezanih harmoničkih oscilatora
Model i modifikacija kôda
Pojava disperzivnih i nedisperzivnih valova

Primjena – model zgrade
Jednostavni model kao analogija nizu njihala
Odgovor zgrade na potres
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 3

Dva vezana njihala

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 4

Normalni modovi oscilacija
• posebno jednostavno kada su mase jednake
• gibanje je rastavljeno na dva dijela :

oscilacije centra mase :

relativne oscilacije :

• za numeriku nije bitno – jednak broj jednadžbi
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 5

Metoda rješavanja
dvije diferencijalne jednadžbe
drugog reda
četiri diferencijalne jednadžbe
prvog reda

Runge – Kutta integrator
četvrtog reda za N jednadžbi

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 6

Metoda rješavanja

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 7

Povezivanje s Mathematicom
• motivacija: brži unos parametara, vizualizacija
• općenito, brže izvođenje zahtjevnih kalkulacija
• potrebni paket – MathLink (C biblioteka)
• kompajlira se posebnim kompajlerom:

MathLink kompajler

C kôd koji sadrži
funkciju/potprogram i posebno
napisan glavni program

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

.tm (template) datoteka koja
sadrži interface

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 8

Povezivanje s Mathematicom
• sadržaj template datoteke :

• izgled C programa :
Ovdje ide “glavni” program!

• u Mathematici :
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 9

Ovisnost o početnim uvjetima

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 10

Ovisnost o početnim uvjetima

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 11

Gušene i prisilne oscilacije

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 12

Rezonancija

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 13

Njihala različitih karakteristika
jako
vezanje

slabo
vezanje

nejednake
mase

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 14

Njihala različitih karakteristika

• općenito gibanje
• multiperiodične sile
• tranzijenti
• nepoznati parametri
• otežano prepoznavanje
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

spektar

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 15

Niz vezanih njihala
• ista diferencijalna jednadžba za sva njihala :

• kontinuum modova kada N teži u beskonačno
• problem rubnog uvjeta na kraju niza
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 16

Limes beskonačnog niza njihala

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 17

Disperzijska relacija
• pretpostavka putujućeg vala duž niza:

• model bi trebao davati gušene i “negušene” valove
• ali gušenje mora postojati zbog konačnosti sustava
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 18

Disperzijska relacija

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 19

Disperzijska relacija

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 20

Disperzijska relacija

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 21

Disperzijska relacija

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 22

Disperzijska relacija

Dva puta povećane amplitude!

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 23

Disperzijska relacija

Dva puta povećane amplitude!

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 24

Primjena – model zgrade
• jednostavan model zgrade
• vertikalni niz oscilatora
• zanemaruje se gravitacija
• broj jednadžbi ovisi o broju katova

sila (potres)

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

• gušenje = trenje u zidovima
• potres = prisilne oscilacije
• problem : nepoznate vrijednosti
NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 25

Normalni modovi zgrade
slobodni
kraj
fundamentalni mod
prvi harmonik

oscilacije
podloge

• kvalitativno isto ponašanje kao kod niza njihala
• viši modovi imaju više frekvencije i manje amplitude
Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 26

Odgovor zgrade na potres

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 27

Odgovor zgrade na potres
važnost gušenja...

Mislav Baloković – VEZANI HARMONIČKI OSCILATORI

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE , 10.6.2008.


Slide 28

HVALA NA PAŽNJI!

[email protected]