Transcript ppsx
Slide 1
Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное
и их практическое применение
Автор работы: Никонова Мария Алексеевна,
ученица 6б класса
Консультант: Светлова Татьяна Михайловна,
учитель математики
I квалификационной категории
Slide 2
Цель работы:
Задачи:
создать целостное
представление о понятиях НОД
и НОК.
Систематизировать ранее
полученные знания о НОД и
НОК.
Расширить спектр задач по теме.
Исследовать практическое
применение НОД и НОК и их
историю.
Slide 3
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
Наибольшее натуральное число, на которое делится
каждое из данных целых чисел, называется
наибольшим общим делителем этих чисел.
Для чисел а1,а2 , …, аn он обозначается (а1,а2 , …, аn).
Например:
(28, 21) = 7
(60, 27, 42) = 3
Slide 4
КАК НАЙТИ НОД?
Разложение на простые
множители
Чтобы найти НОД(m,n), числа m и
n разлагают на простые
множители и подчеркивают
общие множители двух
разложений.
Затем все подчеркнутые
множители одного из чисел
выписывают отдельно и
перемножают. Получающееся
произведение и будет
наибольшим общим делителем
данных чисел.
Например, 72=22233, 96=222223,
значит, НОД(72,96) = 2223 = 24.
Алгоритм Евклида
Чтобы найти наибольший
общий делитель двух целых
положительных чисел, нужно
сначала большее число
разделить на меньшее, затем
второе число разделить на
остаток от первого деления,
потом первый остаток - на
второй и т.д.
Последний ненулевой
положительный остаток в этом
процессе и будет наибольшим
общим делителем данных чисел.
Slide 5
Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более
2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулирован в
«Началах» Евклида
Обозначив исходные числа через а и b, положительные остатки,
получающиеся в результате делений, через r1, r2, …, rn, а неполные
частные через q1, q2, ..., qn+1, можно записать алгоритм Евклида в
виде цепочки равенств:
a = bq1+r1,
b = r1q2+r2,
.......
rn-2 = rn-1qn + rn,
rn-1 = rnqn+1.
Пусть а = 777, b = 629. Тогда 777 = 6291 + 148, 629 = 1484 + 37, 148 =
374. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий
делитель чисел 777 и 629.
Slide 6
Равенства, определяющие
его, дают возможность
представить наибольший
общий делитель d чисел a и
b в виде d = ах + by (x; у целые числа), что позволяет
находить решения
диофантовых уравнений
Алгоритм
Евклида
имеет много
применений
Алгоритм является средством
для представления
рационального числа в виде
цепной дроби, что хорошо
представлено в системах
календаря
Slide 7
Нахождение
наибольшего • после
сокращения на
общего
наибольший
делителя
общий делитель
числителя и
двух чисел
знаменателя
оказывается
полученная
полезным
дробь будет уже
при
несократимой
сокращении
дробей:
Slide 8
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Наименьшее натуральное число, делящееся на
каждое из данных целых чисел, называется
наименьшим общим кратным этих чисел.
Для чисел а1,а2 , …, аn он обозначается [а1,а2 , …, аn].
Например:
[4, 6] = 12
[21, 42, 63] = 126
Slide 9
• Наименьшее общее кратное можно найти
при помощи разложения чисел на простые
множители.
• Разложим данные числа на простые
множители и подчеркнем общие множители
двух разложений.
• Произведение всех неподчеркнутых
множителей первого (второго) числа
называется дополнительным множителем
второго (первого) числа.
• Если теперь любое из данных чисел
умножить на его дополнительный
множитель, то получится наименьшее общее
кратное данный чисел.
• Например, 40 = 2225, 150 = 2355. Видно, что
дополнительный множитель для 150 равен
22. т.е. 4, а дополнительный множитель для
40 равен 35, т.е. 15. Тогда НОК(40,150) =
1504=600.
НОК(40,150) =4015=600
Slide 10
Применение
НОД и НОК на практике
Slide 11
Я и моя подруга Юля
решили купить одинаковые
наборы. Каждый набор
состоит из открытки с
конвертом. Я заплатила за
наборы 65 руб., а Юля - на
26 руб. больше. Сколько
стоит один набор?
Сколько наборов
купила Я?
А Юля?
Slide 12
У моей московской
подруги Оли родители
работают водителями
трамваев: мама на
маршруте «А», папа на
«Б». Один рейс маршрута
«А» длится 48 мин, а
маршрута «Б» 72 мин.
У этих маршрутов есть общая конечная станция, и вскоре после
начала работы вагоны подошли к ней одновременно.
Через какое время
Олины родители снова
встретятся на этой
станции?
Slide 13
Сколько физкультурников нужно
пригласить для участия в параде?
По плану парада физкультурники сначала должны маршировать
строем по 12 человек в шеренге. Потом они должны
перестроиться в колонну по 18 человек в шеренге.
Чтобы физкультурников можно было построить и в шеренги но
12 человек, и в шеренги но 18 человек, нужно, чтобы их число
было кратно и 12, и 18. Запишем ряды кратных этих чисел и
подчеркнем в них общие числа.
Ряд кратных
числа 12: 12, 24,
36, 48, 60, 72,
84, 96, 108, …
Ряд кратных
числа 18: 18, 36,
54, 72, 90, 108,
126, …
Видно, что
физкультурников для
участия в параде можно
пригласить или 36, или 72,
или 108, или ... .
Slide 14
Длина комнаты 575
см, а ширина 375 см.
Пол в комнате нужно
выложить
декоративными
плитками в форме
квадрата.
Каков наибольший
возможный размер
такого квадрата?
Сколько плиток такого
размера, понадобится?
Slide 15
В контрольно-измерительных
материалах по математике в задания
части С включены упражнения на более
глубокое знание исследуемой темы:
1.
Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное
которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
2.
Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а
наименьшее общее кратное равно 360.
3.
Натуральные числа a,b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) =
270 (НОК(x,y) - наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите
НОК(b,с).
4.
Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел
m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре
раза?
Slide 16
ОТВЕТЫ
1. 13 руб., 5 наборов, 7
наборов;
2. 3 ч. 24 мин.;
3. 36 или 72, или 108…
4. 25 см, 345 плиток.
Часть С
1. 78 и13 или 26 и 29;
2. 90 и 24;
3. 108 или 540;
4. 2 или 6.
Slide 17
«Портфолио-2012»
Slide 18
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !!!
Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное
и их практическое применение
Автор работы: Никонова Мария Алексеевна,
ученица 6б класса
Консультант: Светлова Татьяна Михайловна,
учитель математики
I квалификационной категории
Slide 2
Цель работы:
Задачи:
создать целостное
представление о понятиях НОД
и НОК.
Систематизировать ранее
полученные знания о НОД и
НОК.
Расширить спектр задач по теме.
Исследовать практическое
применение НОД и НОК и их
историю.
Slide 3
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
Наибольшее натуральное число, на которое делится
каждое из данных целых чисел, называется
наибольшим общим делителем этих чисел.
Для чисел а1,а2 , …, аn он обозначается (а1,а2 , …, аn).
Например:
(28, 21) = 7
(60, 27, 42) = 3
Slide 4
КАК НАЙТИ НОД?
Разложение на простые
множители
Чтобы найти НОД(m,n), числа m и
n разлагают на простые
множители и подчеркивают
общие множители двух
разложений.
Затем все подчеркнутые
множители одного из чисел
выписывают отдельно и
перемножают. Получающееся
произведение и будет
наибольшим общим делителем
данных чисел.
Например, 72=22233, 96=222223,
значит, НОД(72,96) = 2223 = 24.
Алгоритм Евклида
Чтобы найти наибольший
общий делитель двух целых
положительных чисел, нужно
сначала большее число
разделить на меньшее, затем
второе число разделить на
остаток от первого деления,
потом первый остаток - на
второй и т.д.
Последний ненулевой
положительный остаток в этом
процессе и будет наибольшим
общим делителем данных чисел.
Slide 5
Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более
2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулирован в
«Началах» Евклида
Обозначив исходные числа через а и b, положительные остатки,
получающиеся в результате делений, через r1, r2, …, rn, а неполные
частные через q1, q2, ..., qn+1, можно записать алгоритм Евклида в
виде цепочки равенств:
a = bq1+r1,
b = r1q2+r2,
.......
rn-2 = rn-1qn + rn,
rn-1 = rnqn+1.
Пусть а = 777, b = 629. Тогда 777 = 6291 + 148, 629 = 1484 + 37, 148 =
374. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий
делитель чисел 777 и 629.
Slide 6
Равенства, определяющие
его, дают возможность
представить наибольший
общий делитель d чисел a и
b в виде d = ах + by (x; у целые числа), что позволяет
находить решения
диофантовых уравнений
Алгоритм
Евклида
имеет много
применений
Алгоритм является средством
для представления
рационального числа в виде
цепной дроби, что хорошо
представлено в системах
календаря
Slide 7
Нахождение
наибольшего • после
сокращения на
общего
наибольший
делителя
общий делитель
числителя и
двух чисел
знаменателя
оказывается
полученная
полезным
дробь будет уже
при
несократимой
сокращении
дробей:
Slide 8
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Наименьшее натуральное число, делящееся на
каждое из данных целых чисел, называется
наименьшим общим кратным этих чисел.
Для чисел а1,а2 , …, аn он обозначается [а1,а2 , …, аn].
Например:
[4, 6] = 12
[21, 42, 63] = 126
Slide 9
• Наименьшее общее кратное можно найти
при помощи разложения чисел на простые
множители.
• Разложим данные числа на простые
множители и подчеркнем общие множители
двух разложений.
• Произведение всех неподчеркнутых
множителей первого (второго) числа
называется дополнительным множителем
второго (первого) числа.
• Если теперь любое из данных чисел
умножить на его дополнительный
множитель, то получится наименьшее общее
кратное данный чисел.
• Например, 40 = 2225, 150 = 2355. Видно, что
дополнительный множитель для 150 равен
22. т.е. 4, а дополнительный множитель для
40 равен 35, т.е. 15. Тогда НОК(40,150) =
1504=600.
НОК(40,150) =4015=600
Slide 10
Применение
НОД и НОК на практике
Slide 11
Я и моя подруга Юля
решили купить одинаковые
наборы. Каждый набор
состоит из открытки с
конвертом. Я заплатила за
наборы 65 руб., а Юля - на
26 руб. больше. Сколько
стоит один набор?
Сколько наборов
купила Я?
А Юля?
Slide 12
У моей московской
подруги Оли родители
работают водителями
трамваев: мама на
маршруте «А», папа на
«Б». Один рейс маршрута
«А» длится 48 мин, а
маршрута «Б» 72 мин.
У этих маршрутов есть общая конечная станция, и вскоре после
начала работы вагоны подошли к ней одновременно.
Через какое время
Олины родители снова
встретятся на этой
станции?
Slide 13
Сколько физкультурников нужно
пригласить для участия в параде?
По плану парада физкультурники сначала должны маршировать
строем по 12 человек в шеренге. Потом они должны
перестроиться в колонну по 18 человек в шеренге.
Чтобы физкультурников можно было построить и в шеренги но
12 человек, и в шеренги но 18 человек, нужно, чтобы их число
было кратно и 12, и 18. Запишем ряды кратных этих чисел и
подчеркнем в них общие числа.
Ряд кратных
числа 12: 12, 24,
36, 48, 60, 72,
84, 96, 108, …
Ряд кратных
числа 18: 18, 36,
54, 72, 90, 108,
126, …
Видно, что
физкультурников для
участия в параде можно
пригласить или 36, или 72,
или 108, или ... .
Slide 14
Длина комнаты 575
см, а ширина 375 см.
Пол в комнате нужно
выложить
декоративными
плитками в форме
квадрата.
Каков наибольший
возможный размер
такого квадрата?
Сколько плиток такого
размера, понадобится?
Slide 15
В контрольно-измерительных
материалах по математике в задания
части С включены упражнения на более
глубокое знание исследуемой темы:
1.
Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное
которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
2.
Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а
наименьшее общее кратное равно 360.
3.
Натуральные числа a,b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) =
270 (НОК(x,y) - наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите
НОК(b,с).
4.
Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел
m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре
раза?
Slide 16
ОТВЕТЫ
1. 13 руб., 5 наборов, 7
наборов;
2. 3 ч. 24 мин.;
3. 36 или 72, или 108…
4. 25 см, 345 плиток.
Часть С
1. 78 и13 или 26 и 29;
2. 90 и 24;
3. 108 или 540;
4. 2 или 6.
Slide 17
«Портфолио-2012»
Slide 18
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !!!