Transcript мир многогранников
Slide 1
ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум
Компьютерная презентация к уроку
по математике
«МИР МНОГОГРАННИКОВ»
Разработала:
преподаватель 1 категории
Симина Татьяна Аркадьевна
Slide 2
В математике есть своя красота, как в живописи
и поэзии.
Н.Е. Жуковский
Slide 3
Правильные
многогранники
(Тела Платона)
Правильные многогранники
с древних времен привлекали
к себе внимание ученых,
строителей, архитекторов,
поражая своей красотой,
совершенством и гармонией.
Подробно описал свойства
этих многогранников
древнегреческий ученый
Платон.
Именно поэтому правильные
многогранники называются
также ТЕЛАМИ ПЛАТОНА.
Slide 4
Т Е Л А ПЛАТОНА
Существует только 5
типов правильных
многогранников.
Правильный
тетраэдр
Это треугольная
пирамида, все грани
которой – правильные
треугольники.
Гексаэдр (куб)
Поверхность гексаэдра
состоит из 6 квадратов.
Slide 5
ТЕЛА ПЛАТОНА
Октаэдр
Поверхность
октаэдра
состоит из 8
правильных
треугольников.
Slide 6
ТЕЛА ПЛАТОНА
Додекаэдр
Поверхность додекаэдра
состоит из 12 правильных
пятиугольников.
Икосаэдр
Поверхность икосаэдра это 20 правильных
треугольников.
Slide 7
ТЕЛА АРХИМЕДА
Самые простые из них получаются из правильных
многогранников отсечением плоскостями углов.
Усеченный
тетраэдр
Имеет 8 граней. Из них 4 –
правильные 6-угольники и 4 –
правильные 3-угольники.
Усеченный октаэдр
Получается срезанием вершин
октаэдра.
Slide 8
ТЕЛА АРХИМЕДА
Убедившись, что нельзя построить шестой правильный
многогранник, великий Архимед построил 13 полуправильных. До нас дошла работа самого ученого
«О многогранниках», в которой подробно описаны и даны
рисунки всех 13 МНОГОГРАННИКОВ, названных в честь
ученого ТЕЛАМИ АРХИМЕДА.
Рассмотрим только 6 из них.
Slide 9
ТЕЛА АРХИМЕДА
Усеченный додекаэдр
Может быть получен из
додекаэдра отсечением углов
плоскостями.
Усеченный икосаэдр
В форме поверхности такого
многогранника
изготавливают поверхность
ФУТБОЛЬНОГО МЯЧА.
Slide 10
ТЕЛА АРХИМЕДА
Кубооктаэдр
Может быть получен, если в кубе
провести отсекающие плоскости через
середины ребер, выходящих из одной
вершины.
Его гранями являются 6 квадратов, как у
куба и 8 правильных треугольников, как у октаэдра.
Икосододекаэдр
Получается аналогично.
20 граней его – правильные треугольники,
12 граней – правильные пятиугольники.
Slide 11
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Имеют самые красивые
формы.
Первые два были открыты
И.Кеплером, а два других
почти 200 лет спустя
построил Л.Пуансо (17771859).
Именно поэтому
ПРАВИЛЬНЫЕ
ЗВЕЗДЧАТЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
называются телами
Кеплера – Пуансо.
Они получаются из
правильных
многогранников
продолжением их граней
и ребер.
ТЕЛА КЕПЛЕРА - ПУАНСО
Slide 12
4 типа правильных
звездчатых многогранников.
Существует только
Малый
звездчатый
додекаэдр
Большой
звездчатый
додекаэдр
Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые
многогранники.
Slide 13
Большой
додекаэдр
С древности люди
пытались
описать все
возможные
типы снежинок,
составляли
специальные
атласы.
Сейчас известно
несколько
тысяч
различных
типов снежинок.
Большой
икосаэдр
Slide 14
Звездчатый
октаэдр
Открыт Леонардо да Винчи.
Спустя 100 лет переоткрыт
И.Кеплером и назван им «Stella
Octangula» - звезда
восьмиугольная.
Вершины его являются
вершинами куба. Получается продолжением граней
октаэдра.
Звезда Кеплера не является
правильным звездчатым
многогранником, т. к. звездчатый
октаэдр является объединением
двух правильных тетраэдров, а из
тетраэдра, куба и октаэдра
звездчатые многогранники не
получаются.
Slide 15
К р и с т а л л ы – природные
многогранники
Многие формы многогранников придумал не сам человек, а
создала природа в виде кристаллов.
Молекулы метана СН4 имеют форму тетраэдра
Кристаллы поваренной соли имеют форму куба;
кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают
отточенный с двух сторон карандаш.
Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба
и даже кубооктаэдра.
Исландский шпат имеет форму косого параллелепипеда.
Пирит имеет форму куба или октаэдра.
Гранат - кроваво-красный пироп, один из основных
породообразующих минералов. Его кристалл имеет форму
ромбододекаэдра – двенадцатигранника, гранями которого
являются двенадцать равных ромбов.
Slide 16
Вопросы
1.Что называется правильным
многогранником?
Многогранник, у которого все
грани правильные
многоугольники и в каждой
вершине сходится одинаковое
число граней.
2. Почему существует только 5 видов
правильных многогранников?
В вершинах многогранника не
могут сходиться правильные
многоугольники с числом
сторон больше 5.
Slide 17
Дан правильный октаэдр с ребром а. Найти:
расстояние между двумя противоположными вершинами,
площадь полной поверхности и объем октаэдра.
Задача № 287, с.77
.
S
а
H
R
A
О
B
S1
D
C
Slide 18
Дан правильный октаэдр с ребром а. Найти:
расстояние между двумя противоположными вершинами,
площадь полной поверхности и объем октаэдра.
Задача № 287, с.77
Вся поверхность правильного октаэдра
состоит из 8 одинаковых
равносторонних треугольников или двух
правильных 4 -угольных пирамид с
общим основанием – квадратом ABCD
со стороной а.
.
S
1).Расстояние между двумя
противоположными вершинами SS1 –
ось октаэдра: SS1 = 2Н, где H высота правильной 4-угольной
пирамиды SABCD.
Из -ка SOA:
а
H
R
A
О
а 2
2
H= а – R
, где R =
R – радиус описанной окружности
2).S полн.= Sбок.= 8 SBSC , где
2
2
D
C
SBSC =
а2 3
4
- площадь
равностороннего треугольника
B
V = V1 + V2, где
Sосн. H
3). Объем октаэдра
V пир. =
S1
1
3
Slide 19
Ответы к задаче
SS1 = а
2
S полн. = 2a 2 3
V =
a
3
3
2
Slide 20
Эталон
1 Вариант
1. Призма называется прямой, если
ее
боковое ребро перпендикулярно основанию
2. Пирамида называется правильной,
если в ее основании лежит правильный
многоугольник и вершина проецируется в центр этого
многоугольника
3. Четырехугольная призма, в основании
которой лежит параллелограмм,
называется параллелепипедом
4. Площадь полной поверхности призмы:
Sп о л н . = S бок. + 2 S осн.
5. Объём пирамиды: V=1\3 S осн. . H
6. Площадь боковой поверхности
пирамиды: S бок. = 1\2 Р осн. h
7. Площадь полной поверхности и объем
прямоугольного параллелепипеда с
линейными размерами а, b, с
вычисляются соответственно по
формулам:
S полн.= 2 (ab + bc +ac)
V = abc
8. Диагональ куба с ребром a:
d=a 3
2 Вариант
1. Призма называется правильной,
если она прямая, и в основании её лежит
правильный многоугольник
2. Апофема – это
высота боковой грани
пирамиды
3. Если в основании прямого
параллелепипеда лежит
прямоугольник, то такой
параллелепипед называется
прямоугольным
4. Объём призмы: V = S осн. H
5. Площадь полной поверхности
пирамиды: S полн. = S бок. + S осн.
6. Площадь боковой поверхности
призмы: S бок. = Р осн. Н
7. Площадь полной поверхности и
объём куба с ребром а
вычисляются соответственно по
формулам
S полн. = 6a*2
V = a*3
8. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда с линейными
размерами а, b, с:
d= a*2 +b*2 + c*2
Slide 21
Если Вы хотите, чтобы жизнь
улыбалась Вам, подарите ей сначала
своё хорошее настроение».
Б.Спиноза
Спасибо за внимание
2014
T.Simina
ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум
Компьютерная презентация к уроку
по математике
«МИР МНОГОГРАННИКОВ»
Разработала:
преподаватель 1 категории
Симина Татьяна Аркадьевна
Slide 2
В математике есть своя красота, как в живописи
и поэзии.
Н.Е. Жуковский
Slide 3
Правильные
многогранники
(Тела Платона)
Правильные многогранники
с древних времен привлекали
к себе внимание ученых,
строителей, архитекторов,
поражая своей красотой,
совершенством и гармонией.
Подробно описал свойства
этих многогранников
древнегреческий ученый
Платон.
Именно поэтому правильные
многогранники называются
также ТЕЛАМИ ПЛАТОНА.
Slide 4
Т Е Л А ПЛАТОНА
Существует только 5
типов правильных
многогранников.
Правильный
тетраэдр
Это треугольная
пирамида, все грани
которой – правильные
треугольники.
Гексаэдр (куб)
Поверхность гексаэдра
состоит из 6 квадратов.
Slide 5
ТЕЛА ПЛАТОНА
Октаэдр
Поверхность
октаэдра
состоит из 8
правильных
треугольников.
Slide 6
ТЕЛА ПЛАТОНА
Додекаэдр
Поверхность додекаэдра
состоит из 12 правильных
пятиугольников.
Икосаэдр
Поверхность икосаэдра это 20 правильных
треугольников.
Slide 7
ТЕЛА АРХИМЕДА
Самые простые из них получаются из правильных
многогранников отсечением плоскостями углов.
Усеченный
тетраэдр
Имеет 8 граней. Из них 4 –
правильные 6-угольники и 4 –
правильные 3-угольники.
Усеченный октаэдр
Получается срезанием вершин
октаэдра.
Slide 8
ТЕЛА АРХИМЕДА
Убедившись, что нельзя построить шестой правильный
многогранник, великий Архимед построил 13 полуправильных. До нас дошла работа самого ученого
«О многогранниках», в которой подробно описаны и даны
рисунки всех 13 МНОГОГРАННИКОВ, названных в честь
ученого ТЕЛАМИ АРХИМЕДА.
Рассмотрим только 6 из них.
Slide 9
ТЕЛА АРХИМЕДА
Усеченный додекаэдр
Может быть получен из
додекаэдра отсечением углов
плоскостями.
Усеченный икосаэдр
В форме поверхности такого
многогранника
изготавливают поверхность
ФУТБОЛЬНОГО МЯЧА.
Slide 10
ТЕЛА АРХИМЕДА
Кубооктаэдр
Может быть получен, если в кубе
провести отсекающие плоскости через
середины ребер, выходящих из одной
вершины.
Его гранями являются 6 квадратов, как у
куба и 8 правильных треугольников, как у октаэдра.
Икосододекаэдр
Получается аналогично.
20 граней его – правильные треугольники,
12 граней – правильные пятиугольники.
Slide 11
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Имеют самые красивые
формы.
Первые два были открыты
И.Кеплером, а два других
почти 200 лет спустя
построил Л.Пуансо (17771859).
Именно поэтому
ПРАВИЛЬНЫЕ
ЗВЕЗДЧАТЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
называются телами
Кеплера – Пуансо.
Они получаются из
правильных
многогранников
продолжением их граней
и ребер.
ТЕЛА КЕПЛЕРА - ПУАНСО
Slide 12
4 типа правильных
звездчатых многогранников.
Существует только
Малый
звездчатый
додекаэдр
Большой
звездчатый
додекаэдр
Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые
многогранники.
Slide 13
Большой
додекаэдр
С древности люди
пытались
описать все
возможные
типы снежинок,
составляли
специальные
атласы.
Сейчас известно
несколько
тысяч
различных
типов снежинок.
Большой
икосаэдр
Slide 14
Звездчатый
октаэдр
Открыт Леонардо да Винчи.
Спустя 100 лет переоткрыт
И.Кеплером и назван им «Stella
Octangula» - звезда
восьмиугольная.
Вершины его являются
вершинами куба. Получается продолжением граней
октаэдра.
Звезда Кеплера не является
правильным звездчатым
многогранником, т. к. звездчатый
октаэдр является объединением
двух правильных тетраэдров, а из
тетраэдра, куба и октаэдра
звездчатые многогранники не
получаются.
Slide 15
К р и с т а л л ы – природные
многогранники
Многие формы многогранников придумал не сам человек, а
создала природа в виде кристаллов.
Молекулы метана СН4 имеют форму тетраэдра
Кристаллы поваренной соли имеют форму куба;
кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают
отточенный с двух сторон карандаш.
Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба
и даже кубооктаэдра.
Исландский шпат имеет форму косого параллелепипеда.
Пирит имеет форму куба или октаэдра.
Гранат - кроваво-красный пироп, один из основных
породообразующих минералов. Его кристалл имеет форму
ромбододекаэдра – двенадцатигранника, гранями которого
являются двенадцать равных ромбов.
Slide 16
Вопросы
1.Что называется правильным
многогранником?
Многогранник, у которого все
грани правильные
многоугольники и в каждой
вершине сходится одинаковое
число граней.
2. Почему существует только 5 видов
правильных многогранников?
В вершинах многогранника не
могут сходиться правильные
многоугольники с числом
сторон больше 5.
Slide 17
Дан правильный октаэдр с ребром а. Найти:
расстояние между двумя противоположными вершинами,
площадь полной поверхности и объем октаэдра.
Задача № 287, с.77
.
S
а
H
R
A
О
B
S1
D
C
Slide 18
Дан правильный октаэдр с ребром а. Найти:
расстояние между двумя противоположными вершинами,
площадь полной поверхности и объем октаэдра.
Задача № 287, с.77
Вся поверхность правильного октаэдра
состоит из 8 одинаковых
равносторонних треугольников или двух
правильных 4 -угольных пирамид с
общим основанием – квадратом ABCD
со стороной а.
.
S
1).Расстояние между двумя
противоположными вершинами SS1 –
ось октаэдра: SS1 = 2Н, где H высота правильной 4-угольной
пирамиды SABCD.
Из -ка SOA:
а
H
R
A
О
а 2
2
H= а – R
, где R =
R – радиус описанной окружности
2).S полн.= Sбок.= 8 SBSC , где
2
2
D
C
SBSC =
а2 3
4
- площадь
равностороннего треугольника
B
V = V1 + V2, где
Sосн. H
3). Объем октаэдра
V пир. =
S1
1
3
Slide 19
Ответы к задаче
SS1 = а
2
S полн. = 2a 2 3
V =
a
3
3
2
Slide 20
Эталон
1 Вариант
1. Призма называется прямой, если
ее
боковое ребро перпендикулярно основанию
2. Пирамида называется правильной,
если в ее основании лежит правильный
многоугольник и вершина проецируется в центр этого
многоугольника
3. Четырехугольная призма, в основании
которой лежит параллелограмм,
называется параллелепипедом
4. Площадь полной поверхности призмы:
Sп о л н . = S бок. + 2 S осн.
5. Объём пирамиды: V=1\3 S осн. . H
6. Площадь боковой поверхности
пирамиды: S бок. = 1\2 Р осн. h
7. Площадь полной поверхности и объем
прямоугольного параллелепипеда с
линейными размерами а, b, с
вычисляются соответственно по
формулам:
S полн.= 2 (ab + bc +ac)
V = abc
8. Диагональ куба с ребром a:
d=a 3
2 Вариант
1. Призма называется правильной,
если она прямая, и в основании её лежит
правильный многоугольник
2. Апофема – это
высота боковой грани
пирамиды
3. Если в основании прямого
параллелепипеда лежит
прямоугольник, то такой
параллелепипед называется
прямоугольным
4. Объём призмы: V = S осн. H
5. Площадь полной поверхности
пирамиды: S полн. = S бок. + S осн.
6. Площадь боковой поверхности
призмы: S бок. = Р осн. Н
7. Площадь полной поверхности и
объём куба с ребром а
вычисляются соответственно по
формулам
S полн. = 6a*2
V = a*3
8. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда с линейными
размерами а, b, с:
d= a*2 +b*2 + c*2
Slide 21
Если Вы хотите, чтобы жизнь
улыбалась Вам, подарите ей сначала
своё хорошее настроение».
Б.Спиноза
Спасибо за внимание
2014
T.Simina