Slide 1

正弦量与其相量的关系
以角频率按逆时针方向旋转的有向线段在虚
轴的投影就是正弦量，即最大值相量乘以e j t
后在虚轴的投影
j
Im t   )
u

U
sin(
e
正弦量：
m
相量 旋转相量
正弦量
有效值相量的指数形式 U   e j
j t
j
j t
u  Im  2U e   Im U m e e 


j (   t )
  U m Im  e j (    t ) 
 Im U m e




 U m sin( t   )


Slide 2

基尔霍夫定律的相量式
• 正弦交流电路中，所有电压和电流都是同频
率的正弦时间函数，因此可以用相量来表示
• 克希荷夫电流定律和电压定律

  i  0

  u  0

• 克希荷夫电流定律和电压定律
的相量式

  I  0

  U  0



i



j t
Im  2 Ie 





 Im  


j t
 Im  2   I  e   0 





I

2 Ie
0

j t

 


Slide 3

欧姆定律的相量式
•
•
•
•
•

电阻元件的交流电路
电感元件的交流电路
电容元件的交流电路
R、L、C串联交流电路
R、L、C并联交流电路


Slide 4

线性电阻的电压电流关系式

u  Ri

i

2 I sin  t

2 I sin  t 

u  iR  R
U  RI

i I  I

u  U U

0



 IR

0



0



 IR

2U sin  t


Slide 5

电感元件的电压电流关系式

uL  L

di

2 I sin  t

i

dt
 
 


di
d
  t 2U L sin   t  
uu LL 
 L 2 LI Lsin   t 2 I 2sin
2


dt
dt
U Lm
UL
感抗
U L   LI

  L  2 fL  X L



Im



I


Slide 6

电感元件的电压电流关系式

U L   LI

i I  I

0



uL  U L  U L


2



  LI

旋转因子

2


 

  L I  cos  j sin   j L I
2
2



Slide 7

电容元件的电压电流关系式

iC

du C

uC 

2U C sin  t





dt
 
 


du
d
C
  2t I sin   t  
ii  C 2U C CCsin   t 2U C sin
容抗
2
2




dt
dt
I  U C C 

UC

U Cm

1 C

Im



UC
I



1

C



1
2 fC

 XC


Slide 8

电容元件的电压电流关系式

I  U C C 

i I  I

UC

2

uC  U C  U C

1 C

  CU C

0




2


 

  C U C  cos  j sin   j C U C
2
2



Slide 9

电容元件的电压电流关系式
• 电容元件欧姆定律相量式
旋转因子

UC 

I
j C

j

1

C

I   jX C I


Slide 10

旋转因子
e
e

j 90 

 cos 90   j sin 90   j

 j 90 

 cos   90    j sin   90     j

A  Ae
jA  e

j

j 90

 jA  e

 Ae

 j 90

j

 Ae

 Ae
j

j   9 0  

 Ae

j   9 0  

jA

+j

A
+1

 jA


Slide 11

基本电路元件的电压电流关系回顾
电路元件

瞬时值形式

线性电阻

u  iR

电感元件
电容元件

u  L

di
dt

iC

du
dt

相量形式
U  IZ

,Z  R

U  IZ , Z  j L  jX L
U  IZ , Z   j

1

C

  jX C


Slide 12

R、L、C串联交流电路
由KVL知：

u  u R  u L  uC

用相量表示： U
由前可知：

 UR UL UC

U R  IR

U L  jX L I

U C   jX C I

因此：

U UR UL UC
 IR  jX L I  jX C I
 I  R  j  X L  X C  
 I  R  j X   IZ

电抗

复数阻抗


Slide 13

R、L、C串联交流电路
• R、L、C串联电路电压电流相量关系式满足欧姆定律
I 

U

U

或 Z 

Z

I

• 电压电流的相位关系和有效值的大小关系
  arctan

L

UL UC

 arctan

I(X L  XC )

电压三角形的三条直角边：
UR
IR

 arctan

电压三角形

U 

 I

XU 、 U R 、 ( ULL  1UC )C
 arctan
R
R
U R  (U L  U C )
2

2

( IR )  ( IX L  IX C )
2

R  X
2

2

 I Z

2

阻抗模


Slide 14

R、L、C并联交流电路
由KCL知：

i  i R  i L  iC

用相量表示： I
由前可知： I R  U

 I R  I L  IC

R

IC   U

因此：I

 I R  I L  IC

1
1
1
   j
 j
XL
XC
R

IL  U

jX L

jX C


U


1
 1
1 
1
 1
   j

C
U    j 
X C 
L
R
 XL
R


U


  G  j  B L  B C   U   G  jB  U  U Y

复导纳

感纳

容纳

电纳


Slide 15

复阻抗与复导纳的等效变换
Y  G  jB

Z  R  jX
Y 

1



Z
G 

Z 

1



1
R  jX



R
R  X
2

1



( R  jX )( R  jX )


R
z

2

B 

G  jB



R
R  X
2

X
R  X
2



2



2

z

2

X
R X
2

z 

2

G
2

 j

X

( G  jB )( G  jB ) G  B
G
B
B
R 2

X  2
 2
2
2
2
G B
y
G B
y

Y

G  jB
G

2

R  jX

 j

Z

2



B
G B
2

y 

同一个无源电路（或负载），既可以表示成电阻
与电抗的串联，也可以表示成电导和电纳的并联

2

Y




Slide 16

复阻抗相关名称与符号
复阻抗
复阻抗的模

Z

z或|Z|



复阻抗的幅角
电抗
复电抗

X
jX

感抗
复感抗
容抗

XL
jXL
XC

复容抗

-jXC

Z  R  jX
z  Z 

R  X
2

2

  arctan X R

XL L
jX L  j L
XC  1

 jX C

C
 1
j C


Slide 17

复导纳相关名称与符号
复导纳
复导纳的模

Y
y

复导纳的幅角
电纳
电导

’
B
G

感纳
复感纳
容纳

BL
-jBL
BC

复容纳

jBC

Y  G  jB
y

G B
2

2

 '   arctan B G

G  1
BL  1

XL
 jB L  1

BC  1

XC

R
 1

L

j L
 C

jBC  j C


Slide 18

3－3 正弦交流电路的分析和计算
• 复阻抗串联电路
• 复阻抗并联电路
• 正弦交流电路计算举例


Slide 19

复阻抗串联电路
Z i  R i  jX i

i  1, 2, 3,

根据相量形式的欧姆定律：

U i  IZ i
根据相量形式的KVL定律：
 n

U   U i  I   Zi 
i 1
 i 1

n

 I   R1  R 2 
 I  R  jX



 Rn   j  X 1  X 2 
IZ

 X n  


Slide 20

复阻抗串联电路

n

Z  R  jX 

R
i 1

n

i

 j X i 
i 1

n

Z

i

i 1

复阻抗串联电路的等效复阻抗为各串联复阻
串联电路中各复阻抗元件上的电压分别为：
抗之和：其电阻是各串联复阻抗中的电阻之
U
和，其电抗是各串联复阻抗中的电抗之和。
U i  IZ i 
Zi
Z


Slide 21

复阻抗并联电路
Z i  R i  jX i

i  1, 2, 3,

根据相量形式的欧姆定律：

Ii  U

Zi

根据相量形式的KCL定律：
n

I 

I
i 1

n

i





i 1

 n 1 
 n

U 
  U   Yi 
Zi
 i 1 
 i 1 Z i 

U

 U   G 1  G 2 
 U  G  jB   U Y

 G n   j  B1  B 2 

 B n  


Slide 22

复阻抗并联电路

n

Y  G  jB 

G
i 1

n

i

 j  Bi 
i 1

n

Y

i

i 1

并联电路中流过各复阻抗元件的电流分别为：
复阻抗并联电路的等效复导纳为各并联元件的复
导纳之和：其电导是各并联元件复导纳中的电导
Yi
U
I
Ii 
 U Yi  Yi 
I
之和，其电纳是各并联元件复导纳中的电纳之和。
Zi

Y

Y


Slide 23

复阻抗串联和并联实例
计算复阻抗并判断电路性质
Z1 R1=2

Z1

R2=1

Z2

R1

R2
Z2

R3

Z3

XL

XC

XL=1
n

Y   Yi 
R3=1

Z3

i 1

XC=4
1


nR1

n

Z 

Z
i 1



i

n

n

G i  j  Bi 



i 1

i 1

R2
R  Xn
2
2

2
L



R3
R  X
2
3

2
C

n



i 1

 j(

Ri
2

zi

n

 j

i 1

XL
R  X
2
2

2
L

Xi
2

zi


XC
R  X
2
3


1 R1i  1j  X1i  44  j (1  4)  4  j 3


i 1

2





2

 j(

17

i 1



2

)

17

2
C

)


Slide 24

交流电路（相量形式）

直流电路
欧姆定律
克希荷
夫定律

U  IR

U  IZ

I

0



U

0

U

等效电阻 R  R1  R 2
串联电路

分压

R1

U 1  R  R U

1
2

R2
U 
U
2

R1  R 2


等效电阻 R 
并联电路
分流

R1 R 2
R1  R 2

R2

I

I
 1
R1  R 2


R1
I 
I
2

R1  R 2


I  0

0

等效复阻抗 Z  Z 1  Z 2
分压

Z1

U

U
 1
Z1  Z 2


Z2
U 
U
2

Z1  Z 2


等效复阻抗

分流

Z 

Z1Z 2
Z1  Z 2

Z2

I

 1 Z Z I

1
2

Z1
I 
I
2

Z1  Z 2


Slide 25

课堂练习
已知电阻R＝100，输入电压u1频率
为500Hz，要求输出电压u2的相位比
输入电压u1的相位前移30，电容值
应为多少？
解：按题意画出电路相量图
30
°

UC

即

即
U1

C 

3

R



3
2 fR



 tan 30 

U2

I

U2

UC

故

IX C



XC

IR

 CR 

3
2  500  100



R

1

 CR

 tan 30  

3

 5.52  10

6

F  5.52  F

1
3


Slide 26

课堂练习
I

10

j10

在RLC串联电路中，已知当
电源电压 u  2 2 0 2 sin 3 1 4 t
伏时，电路中各元件参数如
图所示，若电源电压改为

+
U

-j10

_

伏时，
问此时电路电流为多少？
u  2 2 0  2 2 0 2 sin 6 2 8 t

解：先根据题意求出电感和电容参数
X L   L  314 L  10  L 

1
31.4

H

XC 

1

C



1

 10  C 

314 C

10

6

F

3140

电源电压可看成是直流与正弦交流的叠加，直流作用下
电感视作短路，电容视作开路所以 I  0A
U
1
正弦交流作用下 Z  R  j ( L  )  10  j15    I  I  Z
1

2

C

2


Slide 27

3－4 正弦交流电路的功率
•
•
•
•
•

瞬时功率
平均功率
有功功率
无功功率
视在功率


Slide 28

瞬时功率
• 瞬时功率：交流电路中任一时刻的功率，用小写的p表
示，其大小为这一时刻的电压瞬时值与此时电路中流
过的电流瞬时值的乘积。
p  ui

• 正弦交流电路中，基本元件的瞬时功率
u  U m sin( t   )

i  I m sin  t

p  ui  U m sin( t   )  I m sin  t
 U m I m (sin  t cos   cos  t sin  ) sin  t
 U I cos  (1  cos 2 t )  U I sin  sin 2  t
p IU
(1I
Ucos
I2
sin
2t )t  0

sin
2t
pp
U
电阻元件：＝－
电感元件：
＝0
＝90°
电容元件：
90°


Slide 29

平均功率（有功功率）
• 平均功率：周期性交流电路中的瞬时功率在一个周期
内的平均值，又称有功功率，用P表示，单位是瓦（W）
P 

1
T



T
0

pdt 

1
T



T

uidt
0

• 正弦交流电路中，在一个周期内电路所吸收的有功功
率
u  U m sin( t   )
i  I m sin  t
1 T
P 
U I co s  (1  co s 2 t )  U I sin  sin 2 t  d t

0
T
 U I co s   U I

cos  ——功率因数，大小取决于电路元件
正弦交流电路中，有功功率决定于电压与
参数、电路频率及电路结构，cos   1

电流的有效值，以及它们之间的相位差
 ——功率因数角


Slide 30

平均功率（有功功率）
• 正弦交流电路中，一些常用电路在一个周期内所吸收
的有功功率
R、L、C串联电路， 



, cos   0,

2

P  0

纯电阻电路，  0, cos   1, P  U I  0

纯电感或纯电容电路，  


2

, cos   0,

P  0

电路中只有电阻消耗有功功率，将得自电源
的电能全部转换成热能；电容和电感不消耗
有功功率，但分别与电源之间存在能量互换
• 电路分析中，有功功率遵循有功功率守恒的关系


Slide 31

无功功率
• 无功功率：为了度量电感器或电容器与电源之间的能
量交换，引入无功功率，用Q表示，单位为乏（Var）
Q  U I sin 

• 正弦交流电路中，无功功率的值可正可负
感性电路，   0, sin   0, 所以，Q  0
容性电路，   0,
纯电感电路， 



sin   0, 所以，Q  0

, sin   1, 所以，Q  UI  Q L

2

Q  U I   Q C
   , sin    1, 所以，
纯电容电路，
2

• 电路分析中，无功功率遵循无功功率守恒，即电路中
总的无功功率恒等于电路中各部分无功功率代数和


Slide 32

视在功率
• 视在功率：电路输入端的电压有效值和电流有效值的
乘积，用S表示，单位为伏安（VA）或千伏安（kVA）
S  UI

• 功率三角形
S



S  P Q
2

Q＝QL-QC

tan  

2

Q
P

P

2

Q  S sin 
P  S cos 
Q  P tan 

通常所说的发电机和变压器的容量，就是指它们
的视在功率，用来表示电源设备可能提供的最大
功率。交流电源设备的额定视在功率用SN表示
SN  U N IN


Slide 33

本章小结
• 交流电的表示方法
三
角
函
数
表
示
相
量
表
示

三角函
数式

能精确表达交流电的变化规律

波形图

用波形图配合三角函数式分析
问题，具有直观形象的特点

相量式
(复数)

能把正弦量的大小和相位兼容于同一
复数式中，使同频率正弦量之间繁琐
的三角运算转化为简单的四则运算
能清楚直观地表示出几个同频正弦量
的大小和相位关系，可辅助电路分析

相量图


Slide 34

本章小结
• 交流电路中电压、电流和功率的基本关系

请用表格形式列出R电路、L电路、C电路和RLC串
联电路的电压电流关系的瞬时值关系式、有效值关
系式、相位差、相量式（复数）、相量图；以及功
率关系的有功功率、无功功率、视在功率（示例）


Slide 35

关系式

电
压
与
电
流
关
系

R、L、C

R电路

L电路 C电路 RLC串联电路

瞬时值关系式

u  iR

有效值关系式

U  IR

相位差

 0

相量式（复数）

相量图

U  IR
I
U

功
率
关
系

有功功率

P  UI

无功功率

Q 0

视在功率

S  P


Slide 36

本章习题
P.146
3.7.9 ，3.7.11 ，3.8.10


Slide 37

感抗
• 具有与电阻相同的量纲，阻止交流通过电感
• 频率越高，感抗越大，f   , X L   开路
短路
f  0, X L  0


Slide 38

容抗
• 具有与电阻相同的量纲，阻止交流通过电容
• 频率越高，容抗越小， f   , X C  0 短路
f  0, X C   开路


Slide 39

电压三角形及其他
电压三角形：

U



UL UC

UR

有效值三角形：

U



U X ＝U L UC

UR

阻抗三角形：

功率三角形：

|Z|


R
S


P

X＝XL-XC

Q＝QL-QC


Slide 40

电抗与电路性质
• 电抗的大小可正可负，也可为零
X  XL  XC

 0

 0
 0


L

 XC

X

L

 XC

X

L

 XC

X

U



UL UC

U R (I )



• 电抗的大小决定了电路的性质
XL  XC

>0，电压超前电流，电路呈电感性

XL  XC

=0，电压与电流同相，电路呈电阻性（谐振）

XL  XC

<0，电压滞后电流，电路呈电容性


Slide 41

复数阻抗Z与阻抗|Z|
• 复数阻抗Z ，是复数，但不是相量，不用加点
的字母表示。Z是Z的模，是Z的幅角。
• 阻抗Z或z具有阻碍电流的作用，单位为
Z 

U
I



R  (X L  XC ) 
2

2

R  ( L 
2

• 阻抗三角形
Z

R

XL-XC

1

C

)

2


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复导纳
• 复导纳是复数不是相量，单位为西门子（S）
I

Y 

 G  jB  ye

j '

U
I

y



G B ,
2

2

导纳y是复导纳Y的模

U

 '   i   u   arctan

B

’是复导纳Y的幅角（导纳角）

,

G

• 复导纳与复阻抗的关系：阻抗与导纳互为倒
数，幅角大小相等，符号相反。
Z 

U
I



1
Y

z

U
I



1
y

   u   i   ( i   u )   '