Transcript 第3章正弦交流电路

第3章 正弦交流电路
3.1
正弦量的基本概念
3.2
正弦量的相量表示法
3.3
电容元件和电感元件
3.4
三种元件伏安特性的相量形式
3.5 基尔霍夫定律的相量形式
3.6
RLC串联的交流电路
3.7
RLC并联电路
3.8 用相量法分析正弦交流电路
3.9
正弦交流电路中的功率
3.10 正弦交流电路中的最大功率
3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素
按正弦规律变化的交流电动势、交流电压、交流电流等物理量统称为
正弦量，如图3-1-1所示。
以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的
一般解析函数式为
i(t )  I m sin(t   )
1.
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。
用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
2. 周期和频率
正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T”
表示，单位为秒(s)。正弦量每秒钟变化的周数称为频
率，用“f ” 表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成
1
f 
T
3.相位、角频率和初相
ωt+φ－－－相位角
在不同的瞬间，正弦量有着不同的相位，因而
有着不同的状态。相位的单位一般为弧度(rad)。
角频率－－－相位角变化的速度。
单位：rad/s或1/s。
相位变化2πrad，经历一个周期T，那么
2
π
 2πf

T
与f成正比
当φ=0时，正弦波的零点就是计时起点
当φ>0，正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于φ=0的
左移φ角，
当φ<0，正弦波零点在计时起点之右，其波形相对于φ=0的
波形右移|φ|角，
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i
i
i1£½Imsint
t
0
(a)

2
i

i2£½Imsin( t£« 2)
t
0

i3£½Imsin( t£« 6 )
t
0

6
(b)
i

i4£½Imsin( t£- 6)
t
0

6
(c)
几种不同计时起点的正弦电流波形
(d)
例 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为
u=200sin
(1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个
正弦量的三要素。
解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。
(2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)
=5sin(314t-150°)A
所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。
例 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示,
试写出正弦量的解析式。

u

200
sin(

t

)V
解 1
3

u2  250sin(t  )V
6
u/V
u2
250
u1
200
0

3


6
2
t
 例 3-1 图3-1-4给出正弦电压uab和正弦电流iab的波形。(1)
写出uab和iab的解析式并求出它们在t=100ms时的值。(2)写
出iab的解析式并求出t=100ms时的值。
 由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和5mA，频
率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初相分别为π/6和π/3，
它们的解析式分别为:
(1)T =100ms时，
π
π
u ab (t )  300 sin( 2000 πt  )mV, iab (t )  5 sin( 2000 πt  )mV
6
3
π
π
u ab (0.1)  300sin(2000π  0.1  )  300sin  150mV
6
6
π
π
iab (0.1)  5 sin(2000π  0.1  )  5 sin  4.33m
3
3
(2)当t＝100ms时
π
2π
iba (t )  iab  5 sin( 2000 πt   π)  5 sin( 2000 πt  )mA
3
3
2π
iba (0.1)  5 sin( )  4.33mA
3
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ”
表示。
u1  U m1 sin(t  1 )
u2  U m 2 sin(t   2 )
相位差 :
12  (t  1 )  (t   2 )  1   2
当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间
的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。
下面分别加以讨论：
(1)φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度
(2) φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相
(5) φ12=θ1-θ2=π/2, 称这两个正弦量正交
同频率正弦量的几种相位关系
例题 :已知 : u  220 2 sin(t  235)V ,
i  10 2 sin(t  45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解 : u  220 2 sin(t  235)V
 220 2 sin(t  125)V
所以电压u的初相角为 125,电流i的初相角为45
ui  u  i  125  45  170  0
表明电压u滞后电流170。
例 分别写出下图中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2
i
i
i1
i1
i2

2

3
2
i2
2
t
0

2
0

3
2
2
£½
(a)
(b)
i
i
i1

i1
i2

2

3 2
2
t


2
i2
3
2

3
4
(c)
(d)
2
t
t
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后
于i2 90°。
(b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。
(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0,  2   3 ,12  1   2  3 , 表明i1越
4
4
前于 i 3
2
4
3.1.3
有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应
确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量
和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相
等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写
字母表示, 如I、 U等。
Q  I 2 RT
T
Q   i R dt
2
0
T
I RT   i R dt
2
2
0
1
I
T
1
U
T

T
0

i dt
T
0
2
2
u dt
正弦量的有效值
1
I
T

T
0
I sin tdt 
2
m
2
I m2
T

T
0
1  cos2t
dt
2
T
I m2 T
I m2

(  dt   cos2tdt) 
(T  0)
0
0
2T
2T
Im
I
 0.707I m
2
Um
U
 0.707U m
2
U m  220 2  311V
 例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时
电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为


it   I m sin wt  60 A
代入已知量有：
 wT

5  I m sin
 60  A
 4

  
5  I m sin   A
2 3
5
5
则有：I m＝

 10 A
sin 5 / 6  1
2
Im
I
 7.07 A
2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数
在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i   1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 £«j
3
O
A
4
£«1
复数在复平面上的表示
£«j
b
P
r

O
a
£«1
复数的矢量表示
r  A  a 2  b2
b
  arctan (  2 )
a
a  r cos 

b  r sin  
2.
(1) 复数的代数形式
A  a  jb
(2) 复数的三角形式
A  r cos  jr sin 
(3) 复数的指数形式
A  re
j
(4) 复数的极坐标形式
Ar 
例
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。
解
A1的模 r1  4 2  ( 3) 2  5
辐角   arctan  3  36.9
1
4
则A1的极坐标形式为A1=5 -36.9°
A2的模
（在第四象限）
r2  ( 3) 2  42  5
辐角  2  arctan
4
 126 .9
3
则A2的极坐标形式为 A2  5 / 126.9
(在第二象限)
例 写出复数A=100/30°的三角形式和代数形式。
解 三角形式A=100（cos30°+jsin30°
代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
3. 复数的四则运算
(1) 复数的加减法
A1  a1  jb1  r1 1
A2  a2  jb2  r2  2
则
A1  A2  (a1  a2 )  j (b1  b2 )（4.16）
£«j
A1£«A2
A2
A1£-A2
A1
O
(2) 复数的乘除法
£«1
复数相加减矢量图
A  B  r1 1  r2  2  r1  r2 1   2
A r1 1 r1

 1   2
B r2  2 r2
例 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积A·B
解 A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2
A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°·10/-53.1°=100/-16.2°
=96-j28=4(24-j7)=100/-16.2 °
1.正弦量的相量表示
 设某正弦电流为：
i(t )  2 I sin(t   )
i
而
2 Ie j(ωt )  2 I cos(ωt  i)  j 2 I sin(ωt  i)
上式的虚部恰好是正弦电流i，用Im［ ］是取复数虚部的
运算符号，则：
i  I [ 2e
m
j(t   )
 j t
i  j t
]  2 I [ Ie e
]  2I [I e
]
m
m
其中

I  Ie j wt i   Ii
它是一个与时间无关的复常数，它的模即正弦量有效值，
它的辐角即正弦量的初相－－－－正弦量的相量

正弦电压的相量为 U  U u
相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符号字母上加
上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或
代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的
关系，只能用“←→”符号表示相对应的关系


i (t )  I ......i (t )  2 I m [ I t ]


u (t )  U ......u (t )  2U m [U t ]
相量也可以用振幅值来定义。即

.
U m  U mu
2.相量图及参考相量
在复平面上可用一个矢量表示相
量，该矢量称正弦量的相量图(也
简称相量)，其符号与相量相同，
如图3-2-1(a)所示。画几个同频
率正弦量的相量图时，可选择某
一相量作为参考相量先画出，再根据其它正弦量与参考
正弦量的相位差画出其它相量。参考相量的位置可根据
需要任意选择。
3.旋转因子及旋转相量
 相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚
轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。
Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
 其中
e
jt
 t
就是旋转因子。
«1
£« j
i
.
2I
t
1

i
2
t

0
  t2
£« 1
0
 i
(b)
  t1
 t
 例 3-5
已知正弦电压u1(t)=141 sin(ωt+π/3)V，u2(t)=70.5
sin(ωt-π/6)V，写出u1和u2的相量，并画出相量图。
141 π
π
u1  U 1 
 100
V
3
2 3
.
7 0.5 - π
-π
u 2  U 2 
 50
V
6
6
2
.
相量图如右所示:
 例 3-6 已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们
的相量分别为Ù1=380/π/6 V,
Ù2=220/-π/3 V，试求这两个电压的解析式。
解
ω=2πf =2π×50=314 rad/s
Ù1=sin(ωt+θ1)=380sin(314t+π/6)V
Ù2=sin(ωt+θ2)=220sin(314t-π/3)V
3.2.2 两个同频率正弦量之和
 1.两个同频率正弦量的相量之和
u1 (t )  U 1m sin(t  1 )  2U 1 sin(t  1 )
u 2 (t )  U 2 m sin(t  1 )  2U 2 sin(t   2 )
利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即
u(t )  u1 (t )  u 2 (t )  2U sin(t   )
其中
U  (U 1 cos1  U 2 cos 2 ) 2  (U 1 sin 1  U 2 sin  2 ) 2
U 1 sin   U 2 sin  2
  arctan
U 1 cos1  U 2 cos 2
 要求出同频率正弦量之和，关键是求出它的有效
值和初相。
2.求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量，并表示为代数形式。
(2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。
(3) 作相量图， 按照矢量的运算法则求相量和。
相量加减的多边形法则
 例3-7
uA(t)=220sinωtV，
uB(t)=220sin(ωt-120°)V，求uA+uB和uA-uB 。
解:

uA  U A  2200  220 j 0V

uB  U B  220  120  220[cos(120 )  j sin(120 )]V
 110 j110 3V


u A  u B  U A  U B  110 j110 3  220  60 V
 220 2 sin(t  60 )


u A  u B  U A  U B  110 j110 3  38030 V
 380 2 sin(t  30 )
 作相量图求解。见下图，根据等边三角形和顶角为120°
的等腰三角形的性质也可得出与上述同样的结果.
§3.3 电容元件和电感元件
3.3.1 电容元件
1.电容元件
电容元件是各种实际电容器的理想化模型，其符号如图33-1(a)所示。
图 3-3-1理想电容的符号和特性
电荷量与端电压的比值C=Q/U——电容元件的电容，
理想电容器的电容为一常数
电容的单位为法拉，简称法，符号为F。
常用单位有，微法(μF)，皮法(pF)
2.电容元件的伏安特性
 对于图3-3-1(a)，当u、i取关联参考方向时
du
ic
dt
电容的伏安特性说明：任一瞬间，电容电流的大小与该
瞬间电压变化率成正比，而与这一瞬间电压大小无关
任选初始时刻t以后，t 时刻的电压为
1 t
1 t0
1 t
u (t )   i ( )d    i ( )d    i ( )d 
C
C
C t0
1 t
 u (t0 )   i ( )d 
c t0
3．电容元件的电场能
 在关联参考方向下，电容吸收的功率
du
P  iu  Cu
dt
电容元件从u(0)=0(电场能为零)增大到u(t)时，总共吸收的
能量，即t时刻电容的电场能量。
1 2
u
t
W (t )  0 Pdt  0 Cudu  Cu (t )
c
2
当电容电压由u减小到零时，释放的电场能量也按上式计算
动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互
转换，本身不消耗能量。
 例 3-8 (1) 2μF电容两端的电压由t =1μs时的6V线性增长
至t=5μs时的50Ｖ，试求在该时间范围内的电流值及增加
的电场能。(2) 原来不带电荷的100μF的电容器，今予以
充电，充电电流为1mA，持续时间为2s，求电容器充电
后的电压。假定电压、电流都为关联参考方向。
du
50  6
6
 2  10 
 22
解(1) i  C
6
dt
(5  1)  10
增加的电场能量
1 2 1 2
wC  Cu 2  Cu1
2
2
1
  2  10 6 (2500 36)  2.464 10 3 J
2
(2) 2s末的电压
u (2)  u (0) 
1
C
 i(t )dt 
2
0
1
100 106
 2  103  20V
4 电容的连接
1、电容器的串联
把几个电容器的极首尾相接，连成一个无分支电路
的连接方式叫做电容器的串联。如图是三个电容器的串
联，接上电压为U的电源后，两极板分别带电为+q和-q ，
由于静电感应，中间各极所带的电荷量也等于+q 或-q ，
所以串联时每个电容器带的电荷量都是q。如果各个电
容器的电容分别为C1、C2、C3，电压分别为U1、U2、U3，
那么
U1=q/C1
U2=q/C2
U3=q/C3
规律：①各电容器的带电量相等：
q1=q2=q3=q 或U1C1 = U2C2 = U3C3
②总电压U等于各个电容器上的电压之和：
U=U1+U2+U3=q（1/ C1+1/C2+1/C3）
③总电容的倒数等于各电容的倒数之和
1/C=1/C1+1/C2+1/C3
④各电容上的电压与电容成反比
U1/U2/U3=C3/C2/C1
串联电容器相当于增大了电容器两板间的距离，所以
串联后的等效电容会小于任何一个分电容。
2、电容器的并联：把几个电容器的正极连在一起，
负极也连在一起，这就是电容器的并联，如图是三
个电容器的并联，接上电压为U的电源 后，每个电
容器的电压都是U。如果各个电容器的电容分别
是C１、C２、C３，
则所带的电荷量分别是q１、q２、q３，
那么： q1=C1U
q2=C2U
q3=C3U
规律：①各电容器上的电压均为U
②电容器组贮存的总电荷量q等于各个电容器所带电
荷量之和，
即：q=q1+q2+q3=（C１＋C２＋C３）U
③设并联电容器的总电容为Ｃ，因为q＝CU，
所以C＝C１＋C２＋C３
即并联电容器的总电容等于各个电容器的电容之和。
电容器并 联之后，相当于增大了两极板的面积，因此总电
容大于每个电容器的电容。 电容器并联的目的是：为了得
到容量更大的等效电容。
④并联电容器上的带电量q与其电容C成正比：
q1/q2/q3=C1/C2/C3
串并联电容与串并联电阻的区别:
电容 :
电阻 :
1

串联电容的总电容: C串  n 1



i 1 Ci

n

并联电容的总电容: C并   Ci

i 1

n

串联电阻的总电阻: R串   Ri
i 1


1

并联电阻的总电阻: R并  1 1



i 1 Ri

例、如图所示，三个相同的电容器接成（a）、（b）所
示的电容器组，设每个电容器的电容为C、耐压为U，分
别求出每个电容器组的总电容及总耐压。
1
解 : (a )C总  C  C  1.5C
2
2C  C 2
(b)C总 
 C
3C
3
U总  U
U 总  1.5U
 例3-9 电容都为0.3μF，耐压值同为250V的三个电容器C1、
C2、C3的连接如下图所示。试求等效电容，问端口电压值
不能超过多少?
解
C2、C3并联等效电容
C23  C2  C3  0.6 uF
总的等效电容
0.3  0.3
C1 C 23

 0.2uF
C 
C1  C 23 0.3  0.6
C1小于C23，则u1＞u23，应保证u1不超过其耐压值250V。当
u1=250V时，
u 23 
0.3
C1
u1 
 250  125V
0.6
C 23
所以端口电压不能超过
u  u1  u23  250  125  375 V
再例:在图电路中，US=24伏，R0=10欧，R1=30欧，R2=40
欧，C1=50微法，C2=200微法。电路达到稳定后，C1和C2
上的电压及带电量各为多少？A、B两点之间的电压UAB为
多少？
US
24
3
解: I 

 A
R 0  R1  R2 10  30  40 10
3
U1  IR1   30  9V ;
10
3
U 2  IR2   40  12V
10
U AB  U1  U 2  21V
Q1  C1U1  50106  9  4.5 10 4 (C )
Q2  C2U 2  200106 12  204103 (C )
§3.3.2 电感元件
 1．电感元件
 电感元件是实际电感线圈的理想化模型。其符号
为下图中的（b）
i
a
b


i
£«
£«
u
u
£-
£-
(a)
L
(b)
O
(c)
t
上图 (a)中，
磁链与产生它的电流的比值－－－→电感元件的电感或自感。
电感元件的电感为一常数
磁链Ψ总是与产生它的电流i成线性关系，即
  Li
该式表示了电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系
称为线性电感的韦安特性，是过坐标原点的一条直线。
如图 (c)所示。
电感的单位为亨(利)，符号为H。
2．电感元件的伏安特性
 根据电磁感应定律，感应电压等于磁链的变化率。当电压
的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时，可得
d
u
dt
当电感元件中的电流和电压取
关联参考方向时，结合上式有
d dLi
di
u

L
dt
dt
dt
电感元件的伏安特性
任一瞬间，电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变
化率成正比，而与该瞬间的电流无关。
电感元件也称为动态元件，它所在的电路称为动态电
路。电感对直流起短路作用。
某一时刻电感的电流值。任选初始时刻后，t时刻的电
流为
1
1
1 t
t
t
0
i(t ) 
  u ( )d 
  u ( )d 
t u ( )d
L
L
L 0
 i (t 0) 
1
t u ( )d
t
L 0
3. 电感元件的磁场能
 在关联参考方向下，电感吸收的功率
di
p  ui  Li
dt
电感电流从i(0)=0增大到i(t)时，总共吸收的能量，即t时刻
电感的磁场能量
1 2
i
t
WL (t )  0 p dt  0 Li dt  Li (t )
2
当电感的电流从某一值减小到零时，释放的磁场能量也可
按上式计算。
在动态电路中，电感元件和外电路进行着磁场能与其它能
相互转换，本身不消耗能量。
 例 3-10
电感元件的电感L=100mH，u和i的参考方向一致，
i的波形如图所示，试求各段时间元件两端的电压uL，并
作出uL的波形，计算电感吸收的最大能量。
uL与i所给的参考方向一致，各段感应电压为
3
di
i
10

10
(1) 0～1ms间， u L  L
L
 100 103 
 1V
3
1  10
dt
t
(2) 1～4ms间,电流不变化，得 uL＝0
(3) 4～5ms间，
uL  L
di
dt
L
i
t
 100  103 
3

0  10 10
1  10
3
 1 V
uL的波形如右所示。
吸收的最大能量
W L max 
1
2
Li 
2
m
1
2
 100  103  (10  103) 2  5  106 J
§3.4 三种元件伏安特性的相量形式
 3.4.1 电阻元件
iR
uR
R
1．伏安特性
设电流为
i(t )  2I sin(t  i )
则
u(t )  Ri  2RI sin(t  i )  2U sin(t  u )
上式表明：电阻两端电压u和电流i为同频率同相位的正弦
量，它们之间关系如下
U  RI
i  u
电阻上电压相量和电流相量的关系为

U  u

R

I i
I
U


U  RI
相量图为：
2. 功率
 (1)瞬间功率
p  2 U sin t  2 I sin t  2UI sin 2 t
 UI (1  cos 2t )  0
 （2）平均功率（又称为有功功率）
－－－－为瞬时功率p在一个周期
T内的平均值，用大写字母P表示。
1
1 T
1 T
T
P 
0 pdt 
0 uidt 
0 UI (1  cos 2t )  dt
T
T
T
2
U
 UI  I 2 R 
R
 例 3-11 一电阻R=100Ω，通过的电流
i(t)=1.41sin(ωt-30°)A。试求：(1)R两端电压U和u，
(2)R消耗的功率P。
解:
I m 1.41
(1)电流I 

 1A
2
2
电压
U  RI  1001  100V
u (t )  Ri  1001.41sin(t  30 )  141sin(t  30 )V
若利用相量关系求解

1.41
I
  30 A
2


U  R I  100  30 V
对应的正弦量
u(t )  100 2 sin(t  30o )  141sin(t  30o )V
有效值 U  100 V
(2) R消耗的功率
P  UI  1100  100W
3.4.2 电感元件
iL
uL
di
uL  L
dt
L
1．伏安特性
 在图中，设通过电感元件的电流为
i(t )  2I sin(t  i )
则有
di
u (t )  L  2LI cos(t   )
i
dt
 2LI sin(t   i 

)  2U sin(t   u )
2
上式表明电感两端电压u和电流i是同频率
的正弦量，电压超前电流90°。用表示ωL
后，电压和电流有效值关系为
即
U  XLI
 u   i  90 o
U  X L I (U m  X L I m )
电感电流相量和电压相量的关系为

Uu

 jX L

I


i
I
U


即 : U  jX L I
.
UL
£«j
i
O
电感元件的相量模型
相量图
.
IL
£«1
感抗
U Um
X L  L  2fL  
I
Im
感抗的倒数
称为感纳，单位为西门子(S)。
1
1
B

X L L
2. 功率
 （1）瞬时功率
电感吸收的瞬时功率为

p  ui  2U sin(t  )  2 I sin t
2
 2UIcomt  sin t  UI sin 2t  I 2 X L sin 2t
最大值为UI或XLI2
电感储存磁场能量
1 2 1 2
WL  Li  LI m sin 2 t
2
2
1 2
 LI m (1  cos 2t )
2
uL £¬iL £¬pL
p
uL
iL
£«
£«
0
£-
£-
T
4
T
4
T
4
t
T
4
电感元件的功率曲线
磁场能量在最大值
1 2
LI m ( LI 2 ) 和零之间周期性地变化,总是大于零。
2
（2）平均功率
1
P
T
，

T
0
1
pdt 
T

T
0
1
uidt 
T

T
0
UI sin 2tdt 0
为了衡量电感与外部交换能量的规模，引入无
功功率QL
2
U
QL  UI  I X L 
XL
2
例3  12流过0.1H电感的电流i(t )  15sin(200t  10 ) A
试求关联参考方向下电感两端的电压u及无功功率，
磁场能量的最大值。
解： 用相量关系求解

I  1510 A


U  jX L I  j 200 0.11510  30090  10  300100 V
对应的正弦电压: u (t )  300 2 sin(200t  100 )
无功功率：Q
L
 UI  30015  4500W
1 2
磁场能量的最大值：WL max  LI m 
2
1
  0.1 (15 2 ) 2  22.5 J
2
3.4.3
iC
uC
C
duC
iC  C
dt
1
设加在电容两端电压为：
u (t )  2U sin(t  u )V
du
则：i (t )  C
 2CU cos(t  u )
dt
C

 2CU sin(t  u  )  2 I sin(t  i ) A
2
上式表明电容电流表和端电压是同频率的正弦量，

电流超前电压
2
1
用X C 表示
后， 电流和电压的关系为：
C
U
U
I  CU 

1
XC
C

U  XCI
i  u  90
容抗：X
C
1
1
U Um


 
C 2fC I
Im
容抗的倒数称为容纳， 单位是西门子（S）
1
BC 
 C
XC
相位关系
i  u 
u
i

2
uC
iC

2
0
电容元件上电流和电压的波形图
t
电容元件上电压与电流的相量关系
uC  U Cm sin(t   u )

U C  U C  u

iC  I Cm sin(t   u  )
2

UC



I C  I C ( u  ) 
( u  )  CU C ( u  )
2
XC
2
2




UC
U C   jX C I C 或 I C 
 jX C
2 电容元件的功率
(1)瞬时功率：

p(t )  ui  2U sin t  2 I sin(t  )
2
 2UI sin t cost  UI sin 2t
 I X C sin 2t
2
p
uC £ ¬iC
p
uC
iC
£«
£«
0
£-
T
4
T
4
£-
T
4
电容元件功率曲线
功率的最大值为UI或 I 2 X C
T
4
t
(2)平均功率：
1 T
1 T
1 T
P   pdt   uidt   UI sin 2tdt 0
T 0
T 0
T 0
(3)无功功率：
2
U
Q  UI  I X C 
XC
2
 例3-13流过0.5F电容的电流i(t)=sin(100t－
30°)A，试求关联参考方向下，电容的电压u，
无功功率和电场能量的最大值。
解： 用相量关系求解

I  1  30 A


1 
1
U   jXC I   j
I j
   30
c
100 0.5
 2 10 2   90    30 V  2 10 2   120 V
u (t )  0.02 2 sin(100t  120 )V
QC  UI  0.021  0.02W
1
1
2
2
2
W C max CU m   0.5( 2 )  (0.02)  0.0002J
2
2
各元件上电压与电流的比较
电路
u
i
u
i
u
相位关系
U  IR
U
I
R
i
R
电压和电流
的大小关系
U  IL  IX L
L I U  U
L X L
1
UI
 IX C
C
U
C
I  U C 
XC
.
I
阻抗
功率
相量关系
P  UI
.
U
电阻R

 I 2R


UIR
2
U
R
P0
.
U
感抗
.
I
X L  L
QL  I 2 X L
2
U

XL


U  j XL I
P0
容抗
1
XC 
C


QC   I X C U   jX I
C
U2

XC
2
3.5 基尔霍夫定律的相量形式
3.5.1基尔霍夫节点电流定律的相量形式
i  0

I  0
正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的
相量代数和为零
3.5.2 回路电压定律的相量形式
u  0

U  0
任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零
正弦电路的电流、电压的瞬时值关系，相量关系都
满足KCL和KVL，而有效值的关系一般不满足，要由相
量的关系决定。
因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去
考虑。
例3  14正弦电路中, 与某一个节点相连的三个支路



电流 I 1、I 2 、I 3 ， 已知i1 (t )  10 2 cos(t  60 ) A
i2 (t )  5 2 sin t , 求i3



解 : 先写出I1 和 I 2 的相量(注意 I1 的初相为60  90  150 )

i3的相量 I 3 由KCL得 :


I 1  10(cos150  j sin 150 )  5 3  5 j  8.66  5 j； I 2  5





I1  I 2  I 3  0



I 3  I1  I 2  8.66  j5  5  3.66  j5  6.2126.2 A
i3 (t )  6.2 2 sin(t  126.2 ) A

3.6 RLC 串联的交流电路
3.6.1电压与电流的关系
1.电压三角形
 电流的相量为参考相量作出相量图，如图所示，
图中设UL> UC


I  I


UR  I R


U L  I jX L




U C   I jX C




U  U R  U L  U C  I R  I jX L  I jX C



 I ( R  jX L  jX C )  I ( R  X )  I Z
RLC串联电路的相量图
2. 阻抗三角形
Z  R  j( X L  X C )  R  jX  Z 
Z的实部为R, 称为“电阻”, Z的虚部为X, 称为“电抗”,它
们之间
符合阻抗三角形。
Z  R X
2
|Z|
2

X
  arctan — 阻抗角
R
R  Z cos
R
阻抗三角形
X  Z sin 
X

U u 
U
 Z  Z  


Ii 
I


  u  i

Z称为该电路的阻抗
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗, |Z|是阻抗的模, φ为
阻抗角。复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似。复阻
抗的单位为Ω。
3.6.2电路的三种性质
根据RLC串联电路的电抗
1
X  X L  X C  L 
C
1
1、 L 
 电感性电路
C
X
此时X  0，UL  UC， 阻抗角  arct an  0
R
1
2.  L 
C
→电容性电路
此时，X  0，U L  UC，  0
1
3.  L 
C
→电阻性电路
此时，X  0，U L  UC，  0
这是一种特殊状态，称为谐振
 例 3-15图 3-6-3(a)所示为RC串联移相电路,u为输入正弦电
压,以UC为输出电压。已知C=0.01μF，u的频率为6000Hz，有
效值为1V。欲使输出电压比输入电压滞后60°，试问应选配
多大的电阻R? 在此情况下，输出电压多大?
方法一:用相量法解 作出相量图，如图3-4-6(b)所示。容性电
路的阻抗角为负值，根据已知有
 XC
1
  30  arct an
 arct an
 30
R
R C
XC
1
R


t an30 C t an30
1

 4600  4.6 K
1
6
2  6000 0.0110 
3

输出电压：U C  U sin 30  1 0.5  0.5V


方法二: 用代数法解: U  10 V ,



U
IR  IC 
2fC

2fCR  j
j
R
2fC


j
2fC
j
U C  I R


2fC 2fCR  j 2fC
j
 j (2fCR  j ) (2fCRj  1)





U


60
C
2fCR  j
(2fCR ) 2  1
(2fCR ) 2  1
 2fCR
3
即 : tan(60 )   3 
R
 4.6 K
1
2fC
1
Uc 
(2fCR ) 2  1


1
(2  3.14 6000 0.01106  4.6 103 ) 2  1

1
 0.5V
2
3.7
RLC并联电路
3.7.1电压和电流的关系
由于是并联电路，电压相同，所以以电压相量为参考相
量作出相量图。设IC>IL。
I  I  (IC  I L )
2
G
2
导纳三角形






I  I G  I B  [G  j ( BC  BL )]U  (G  jB) U  U Y
B  BC  BL 称为电纳，Y 为导纳的模， 为导纳角
Y  G2  B2

其关系为：
B
  arctan
G



设端口电流、 电压相量分别为I  Ii、U  Uu
Im
I

Ii
I
I
I
Y  U  U
'
Y  
 (i  u )   所以：
m
U
 '    
U Uu U
i
u


1
其中：G  为电阻支路的“电导”
R
1
BL 
为电感支路的“感纳”
L
BC  C为电容支路的“容纳”
Im
I

Y  U  U
m

 '    
i
u

3.7.2 RLC并联电路的三种性质
RLC并联电路的电纳
1
B  BC  BL  C 
L
(1)当ωC>1/ωL时，电路呈容性 。
B>0,φ>0 ,IC>IL,端口电流超前电压90°
(1)
(2) 当ωC<1/ωL时，电路呈感性。B<0,φ<0，
IC<IL，端口电流滞后电压90°
(3) 当ωC=1/ωL时，电路呈阻性。
B=0，φ=0，IC=IL。
IB=0，Y=G，I=IG，端口电流与电压同相。
这是一种特殊情况，称为谐振。
导纳法分析并联电路
i
iR
u
R
iL
L
RLC并联电路
iC
C
1
Y1   G
R
1
j
Y2 

  jB L
jX L X L
1
j
Y3 

 jBC
 jX C X C







I R  Y1 U  U G

I L  Y2 U   jBL U

I C  Y3 U  j BC U






I  I R  I L  I C  U (G  jBL  jBC )  U (G  jB)
3.7.3 复阻抗和复导纳的等效互换
 对于串联电路，有
Z  R  jX
1
1
R  jX
R
X
Y 

 2
j 2
2
2
Z R  jX  R  jX  R  jX  R  X
R X
 G  jB
R
X
其中G  2
，B   2
2
R X
R  X2
 对于并联电路，有
Y  G  jB
1
1
G
B
Z 
 2
j 2
2
2
Y G  jB G  B
G B
 R  jX
G
B
其中R  2
，X=－ 2
2
2
G B
G B
3.8 用相量法分析正弦交流电路
相量法一般步骤为：
 (1) 作出相量模型图
 (2) 运用直流线性电路中所用的定律、定理、分析
方法进行计算。直接计算的结果就是正弦量的相
量值。
 (3) 根据需要，写出正弦量的解析式或计算出其他
量。
3.8.1
例3.7电路如图3  8  1(a)所示，U S (t )  40sin 3000tV


求i、I C 、I L
解 写出已知正弦电压的相量

U S  400  V
作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。其中，
电感元件和电容元件的复阻抗分别为

1
Z L  jL  j 3000  j1K
3

j
1
ZC 
j
  j 2 K
1
j C
3000 106
3
j (1  2 j )
2 j
Z  1.5  Z ab  1.5 
 1.5 
j 1 2 j
1 j
(2  j )(1  j )
1 3 j
 1.5 
 1. 5 
 2  1.5 j
(1  j )(1  j )
2
 2.537 K

400 V

I  

16

(

37
)m A

2.537 K
Z

2 j
 
I

K 

I Z ab
2 j
1 j
IC 

 I
(1  2 j ) K (1  2 j ) K
(1  j )(1  2 j )

Us
 1  j
2 j
2
 I
 I
 16(37 )m A
135  11.398 m A
1  3 j
2
2

2 j
 
I

K 

I Z ab
2 j 3 j 
10
1 j
IL 

 I

I
(18.44 ) 16(37 )m A
jK
jK
j 1
2
2

 25.3(55.4 )m A
各相量对应的正弦量为
i (t )  16 2 sin(3000t  37 )m A
ic (t )  11.3 2 sin(3000t  98 )m A
iL (t )  25.3 2 sin(3000t  55.4 )m A
例 3-18 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端
口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压U2与端口
电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。
C
R
Z1
.
£« £« U £1
£«
£«
u1
u
£R
£«
u2
£-
C
.
U
Z2
££-
£-
(a)
£«
.
U2
(b)
解
RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用Z1和Z2表示，
且
1
1  jRC
Z1  R 

jC
jC
1
R
R
jC
Z2 

1
1  jRC
R
jC
原电路的相量模型为Z1﹑Z2的串联，如图3-8-2(b)， 由
分压关系得
.
.
1
Z
2
U2 
U
U
Z1  Z 2
1  Z1 / Z 2
.


Z1
由题意得U 2 与U 同相, 则 必须是纯电阻
Z2
1  jRC
1  jRC 1  jRC ( j  RC)(1  jRC)
j C
即



R
j C
R
RC
1  jRC
2RC  j[(RC) 2  1]
1
2

 (RC)  1  0  C 
RC
2fR
.
Z1 20 RC
U2
1
1
那么:

 2  . 

Z 2 0 RC
U 1  Z1 / Z 2 3
1 .
U2  U;
3
.
1
则U 2  U为最大值
3
3.8.2
 例3-19 下图所示电路中，求各支路的电流


U S1  1000 V ,U S 2  100(90 )V ,
R  5, X C  2, X L  5
解：方法一：
用支路电流法解


U S1  1000 V ,U S 2  100(90 )V ,
R  5, X C  2, X L  5



100 j 2 I 1  5 I 3  0





 
100 j 2( I 3  I 2 )  5 I 3  0
5 I 3  j 5 I 2  (100 j )  0   


 I 3  j I 2  20 j  0


I 1  I 3  I 2





100 j 2(20 j  j I 2  I 2 )  5(20 j  j I 2 )  0




100 40  2 I 2  2 j I 2  100 j  5 j I 2  0

140 100 j (140 100 j )(2  3 j ) 580 220 j
I 2 



23j
13
13

 I 2  580 220 j

13
 

580 j  220
220 320 j
 20 j 
 I 3  j I 2  20 j 
10
13



580 220 j 220 320 j 800 100 j



I 1  I 2  I 3 
13
13
13

方法二：用网孔法解：

U S1  1000 V  100V ,

U S 2  100(90 )V  100 jV ,
R  5, X C  2, X L  5
Z R  5, Z C  2 j , Z L  5 j




 I a (5  2 j )  5 I b  100
 I a (5  2 j )  5 I b  100





 I b (5  5 j )  5 I a  (100 j )  I a  I b (1  j )  20 j


 [ I b (1  j )  20 j ](5  2 j )  5 I b  100


[ I b (1  j )  20 j ](5  2 j )  5 I b  100
140 100 j 580 220 j
I2  Ib 

23j
13



800 100 j
I 1  I a  I b (1  j )  20 j 
13



220 320 j
I3  Ia Ib 
13


方法三：用节点电位法解

U S1  1000 V  100V ,

U S 2  100(90 )V  100 jV ,
R  5, X C  2, X L  5
Z R  5, Z C  2 j , Z L  5 j
100  100 j

50 j  20 500 j  200
2j
5j
Ua 


1
1 1
j 1 j
3
j

2
 
 
2j 5 5j 2 5 5
500 j  200 100(11 16 j )
一支路：100 (2 j ) I 1  U a 

3j2
13

50(11 16 j )
550 800 j  650 800 j  100
j I1 
 50 

;
13
13
13

800 100 j
故 I1 
13

100(11 16 j )
三支路：5 I 3  U a 
13

220 320 j
故： I 3 
13

100(11 16 j )
二支路：  100 j  5 j I 2  U a 
13

580 220 j
故： I 2 
13

3.8.3用戴维南定理分析正弦电路
例 3-20 用戴维南定理计算例3-19中R支路
的电流。
解 先将例3-19中所示的电路改画为下图 (a)所示
的电路
由R两端向左看进去，是一个有源二端网络。先求
其开路电压

U S1  1000 V  100V ,

R  5, X C  2, X L  5,

U S 2  10090 V  100 jV ,
Z R  5, Z C  2 j, Z L  5 j
j
j
100  j100 ( )
.
U S1 Y1  U S 2 Y2
2
5
U OC 

j j
Y1  Y2

2 5
20  j50 53.968.20
0


 179.1/  21.8 V
0
j 0.3
0.390
.
.
再求输入复阻抗
j5( j2) 10
Z i  j5 //( j2) 
   j33.3
j5  j2
j3
计算电流的等效电路如图3-8-4(b)所示， 则：
.
U OC
179 / 21.80 179.7  / 21.80
0
I3 



29
.
9
/
11
.
8

0
Zi  R
5  j3.33
6  / 33.6
.
20  j50

U OC
20  j50
3j
j 0.3
I3 



10
Z ab  R
j 0.3
10  15 j
5
j3
20  50 j 40  100 j 380 80 j



1  1.5 j
23j
13
I 3  29.9 A

80
20

tan 
；   arctan  0.207弧度  11.86
380
95

故 I 3  22.911.86
3.8.4
作相量图时，先确定参考相量。
对并联的电路，可以电压为参考相量；
对串联电路，可以电流为参考相量。
例 3-21
下图所示电路的相量模型中，
I L  I  10A，U1  U 2  200V，求X C
解
先画出相量图
3.9 正弦交流电路中的功率
1 瞬时功率p
.
I
.
U
Z
图4.53 功率
i  2 I sin t
u  2U sin(t   )
p  ui  2U sin(t   )  2 I sin t
` 2UI sin(t   )  sin t
1
 2UI  [cos(t  t   )  cos(t  t   )]
2
 UI[cos  cos(2t   )]
2 有功功率P
我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功
率”, 或称为“有功功率”， 用字母“P”表示, 即
p, u, i
p£½
ui
+
+
i
£-

0
P£½UI cos 

£u
瞬时功率波形图
£-
2
t
1 T
1 T
P   pdt   UI [cos  cos(2t   )]dt
T 0
T 0
1 T
1 T
  (UI cos )dt   [UI cos(2t   )]dt  UI cos  0
T 0
T 0
P  UI cos  UI
P  UI cos  PR  U R I
P  UR I  I 2R
3 无功功率Q
无功功率定义式: Q  UI sin 
Q  QL  QC
4 视在功率S
视在功率的定义式为
S  UI
1kVA  1000VA
4 视在功率S
S  UI
单位为伏安(VA)
1kVA  1000VA
5 功率三角形
S  P Q
2
2
2
S  P2  Q2
Q
t an 
P
P
  cos 
S
功率三角形
例 已知一阻抗Z上的电压、 电流分别为


U  220 30V , I  5  30 A (电压和电流的参考方向一
致), 求Z、cosφ、P、Q、S。
U 220 30
Z  
 44 60
I 5  30
1
cos  cos 60 
2
1
P  UI cos  220 5   550W
2
3
Q  UI sin   220 5 
 550 3VA
2
S  P 2  Q 2  1100VA
例 已知 40W的日光灯电路如图4.56所示, 在=220V的电
压之下, 电流值为I=0.36A, 求该日光灯的功率因数cosφ及所
需的无功功率Q。
解 因为 P
 UI cos 
所以
P
40
cos  

 0.5
UI 220  0.36
.
I
.
U
jXL
由于是电感性电路, 所以φ=60°电
路中的无功功率为
R
图4.56 例 4.33 图
Q  UI sin   220 0.36 sin 60  69VA
6 功率因数的提高
1 功率因素的定义
有功功率大小的参数cosφ称功率因数, 用λ表示, 其定义
为功率因数的大小取决于电压与电流的相位差，故把φ角也
称为功率因数角。
2 提高功率因数的意义
(1)提高电源设备的利用率
(2) 减小线路压降及功率损耗
3 提高功率因数的方法
对于感性负载，通常是在其两端并联电容器。
感性负载并联电容器后， 它们之间相互补偿， 进行
一部分能量交换， 减少了电源和负载间的能量交换。
.
IC
£«
.
U
.
I .
I1
R
.
IC
1
£-j
C
jL


.
I
£-
(a)
功率因数的提高
.
U
(b)
.
I1
.
IC
并联电容前有
P
P  UI1 cos1 , I 2 
U cos1
并联电容后有
P
P  UI1 cos 2 , I 
U cos
由图（b）可以看出
I C  I1 sin 1  I sin  2 
又知
P sin 1 P sin  2

U cos1 U cos 2
P
 (tan1  tan 2 )
U
U
IC 
 CU
XC
P
代入上式可得 CU  (tan1  tan 2 )
U
即
因为
P
C
(tan1  tan 2 )
2
U
2
U
QC  I 2 X C 
 CU 2
XC
QC
C
所以
U 2
代入式 (**)可得QC  P (tan1  tan 2 )
(**)
3.10 正弦交流电路中的最大功率
负载
Z L  R  jX L
电路中电流相量为
.
.
US
US
I

Z S  Z L ( RS  RL )  j( X S  X L )
.
电流的有效值为
I
US
( RS  RL ) 2  j( X S  X L ) 2
负载吸收的功率
2
U
2
S RL
PL  I RL 
( RS  RL ) 2  j( X S  X L ) 2
1. 负载的电阻和电抗均可调节
 使PL获得最大值的条件是
dPL
0
dRL

ZL  ZS
此时最大功率为
Pmax
2
S
U

4RS
2．负载为纯电阻
U S2
PL 
RL
2
2
( RS  RL )  X S
dPL
 0 时，最大功率为
当
dRL
PR max
U S2
U S2


2 Z S (1  RS / Z S ) 2 Z S (1  cosS )
 例 3-24 在图 3-10-2 所示的正弦电路中，R和L为
损耗电阻和电感。实为电源内阻参数。
 已知u s (t )  10 2 sin 105 tV R=5Ω，L=50μH。RL=5 Ω，
试求其获得的功率。 当RL为多大时， 能获得最大
功率? 最大功率等于多少?
£-
US
£«
R
RL
L
电源内阻抗为Z S  R  jX S  5  j105  50106
5
o
已知u（
t
）

10
2
sin
10
t

5

j
5


5
2
/
45

s
.
设电压源的相量为U  10/ 0 V
o
.
US
10/ 0o
10
电路中的电流为I 


Z S  RL 5  j5  5 10  j5
.
o
10 / 0
o


0
.
89

/
26
.
6

o
11.8/ 26.6
负载获得的功率为PL  I RL  0.89  5  4W
2
2
当 RL  Z S 
大功率，即
R 2  X L2 时，模匹配， 能获得最
本章小结
 1
正弦交流量的基本概念

（1）正弦交流量的三要素 i = I m sin(t   )

正弦交流量可由最大值 I m 、角频率
 和初相位 
来描述它的大小、变化快慢及t=0时初始时刻的大小和
变化进程。

（2）正弦交流量的有效值与最大值之间有I=
Ｉm
2
的关系。

（3）两个同频率正弦量的初相位角之差，称为相位差。
两同频率的正弦量有同相、反相、超前和滞后的关系。
2 正弦交流量的相量表示法
 正弦交流量除了可用解析式、波
形图表示，还可以用相量图（相
量复数式）的方法来表示。只有
同频率的正弦交流电才能在同一
相量图上加以分析。
解析式(三角式) : i(t )  I m sin(t   )  2 I sin(t   )

I m  j (t  ) I m
 相量指数式: I 
e

  I
2
2

 相量复数式: I  I (cos  j sin  )
３ 电容元件和电感元件
(1)电容元件:
du
q  cu，i  c ，
dt
并联电容总电容: C总  C1  C 2  C 3
1
1
1
1
串联电容总电容:
 
 ，
C总 C1 C 2 C 3

1
j
复阻抗(容抗) : X C 

jC 2fC
1 2
电容器的贮电能: WC (t )  Cu (t )
2
di
(2)电感元件: u  L
dt
无偶合串联电感的总电感：L
总
 L1  L2
L1 L2
无偶合并联电感的总电感：L 总 
L1  L2

复阻抗(感抗) : X L  jL  2fL
1 2
电感线圈的磁场能：W L (t )  Li (t )
2
4．三个元件伏安特性的相量形式：
R、L、C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值关系和
相位关系
元件名称 相量关系 有效值关系 相位关系


电容C
U  IR
U IR
电阻R
电感L


U L  jX L I


U C   jX C I
u  i
U L  IX L
u  i  90
UC  IXC
u  i  90
相量图
5.基尔霍夫定律的相量形式：

I  0

U  0
6.RLC串联的交流电路：


电压与电流相量关系：U  R  j( X L  X C ) I

复阻抗：Z 
U

 R  j( X L  X C )  Z 
I
阻抗模 ： Z  R 2  ( X L  X C ) 2
X L  XC
阻抗角 ：   arctan
R
7 RLC并联电路


电压与电流的关系： I  G  j(BC  B L)U
复导纳：Y  G  j(BC  BL)  G  jB
导纳模 ：Y  G 2  B 2
B
导纳角 ：   arctan
G
8 用相量法分析正弦交流电路

一般步骤为：

(1)作出相量模型图

(2)运用直流线性电路中所用的定律，定理，分析方
法进行计算，求出相量值。

(3)写出正弦量的解析式。
9
正弦交流电路中的功率
(1)有功功率：P  UI cos
(2)无功功率：Q  UI sin 
(3)视在功率 ：S  UI  P 2  Q 2
10
正弦交流电路中的最大功率
(1)负载的电阻和电抗可调节时负载获得最大功率的条件是：
X L  X S
ZL  ZS  
最大功率：p
 RL  RS
U S2

max
4RS
(2)负载为纯电阻时，负载获得最大功率的条件为
RL  Z S
U S2
最大功率： PR max 
2 RS (1  cos S )
11
功率因数的提高
提高电路的功率因数对提高设备利用率和节约电能
有着重要意义。
一般采用在感性负载两端并联电容器的方法来提高
电路的功率因数。
各元件上电压与电流的比较
电路
u
i
u
i
u
相位关系
U  IR
U
I
R
i
R
电压和电流
的大小关系
U  IL  IX L
L I U  U
L X L
1
UI
 IX C
C
U
C
I  U C 
XC
.
I
阻抗
功率
相量关系
P  UI
.
U
电阻R

 I 2R


UIR
2
U
R
P0
.
U
感抗
.
I
X L  L
QL  I 2 X L
2
U

XL


U  j XL I
P0
容抗
1
XC 
C


QC   I X C U   jX I
C
U2

XC
2
习题解答
3-1 已知一正弦电压的振幅为310V，频率为50Hz，初相
为-π/6，试写出其解析式，并绘出波形图。
解：u(t)=310sin(100πt-π/6)
3-2
图略
写出题图3-1所示电压曲线的解析式
解：u(t)=310sin(ωt+π/3)
3—3 一工频正弦电压的最大值为310V，初始值为-155V，
试求它的解析式。
解：工频:f=50Hz,u(0)=310sinφ=-155,所以φ=-π/6
故u(t)=310sin(100πt-π/6)V
3-4 已知u=220 2sin(314t+60°)V，当纵坐标向左移
π/6或右移π/6时，初相各为多少?
解：φ1=60°-30°= 30°； φ2=90°+30°=120°
3-5 题图3—2中给出了u1、u2的波形图，试确定u1和u2
的初相各为多少?相位差为多少?哪个超前，哪个滞后?
解：
φ1=π/3；
φ2=-π/3；
Δφ=2π/3
u1超前u2
3-6
三个正弦电流i1、i2和i3的最大值分别为1A、2A、3A，
已知i2的初相为30°i1较i2超前60°较i3滞后150°，试分别
写出三个电流的解析式.
3-7
已知两复数Z1=8+j6，
3-6解：i1=sin(ωt+90°)V
Z2=10∠-60°求Z1+Z2、
i2=2sin(ωt+30°)A
Zl-Z2、Z1÷Z2。
i3=3sin(ωt-120°)
3  7解 : Z 2  5  j 5 3
Z1  Z 2  13  j (6  5 3 )
Z1  Z 2  3  j (6  5 3)
8  j6
(8  j 6)(5  j 5 3 )
Z1  Z 2 

100
5  j5 3
40  30 j  j 40 3  30 3 (4  3 3 )  j (3  4 3 )


100
10
3-8
写出下列各正弦量对应的相量。
(1)u1  220 2 sin(t  120 )V
(2)i1  10 2 sin(t  60 ) A
(3)u2  311 2 sin(t  200 )V

(4)i2  7.07 2 sin(t ) A

解 : U 1  220120 V ;
I 1  1060 A



: U 2  311160 V
3-9
I 2  7.070 A

写出下列相量对应的正弦量(f=50Hz)。



(1) U 1  220 V , (2) I 1  10(50 ) A
6


(3) U   j110V , (4) I 1  6  j8 A

解 : (1)u1  220 2 sin(100t  )V
(2)i1  10 2 sin(100t  50 ) A
6

(3)u  110 2 sin(100t  )V
2
4
(3)i1  10 2 sin(100t  arct an ) A
3
3  10电路如图所示,已知i1  20sin(t ) A, i2  20sin(t  90 ) A



试求 : (1) I 1、I 2 、I ；(2)各电流表的读数；(3)绘出电流相量图

解 : (1) I 1  10 20 A  10 2  0 jA;

I 2  10 290 A  10 2 jA



I  I 1  I 2  10 2  10 2 j  2045 A
(2) I  20A; I1  10 2 A; I 2  10 2 A
(3)相量如图
3  11已知u1  220sin(t  60 )V , u2  220 2 sin(t  30 )V
试作出u1和u2的相量图， 并求u1  u2 , u1  u2 .
3-12
两个同频率的正弦电压的有效值分别为30V和40V，
试问：(1)什么情况下,u1+u2的有效值为70V?(2)什么情况
下u1+u2的有效值为50V?(3)什么情况下，u1-u2的有效值为
10V?
解：(1)当u1与u2同相时u1+u2有效值为70V
(2)当u1与u2相差为π/2时, u1+u2的有效值为50V
(3)当u1与u2反相时, u1+u2的有效值为10V
3-13
电压u=100sin(314t-60°)V施加于电阻，若电阻
R=20Ω，试写出其上电流的解析式，并作电压和电流的相
量图。
解：i=5sin(314t-60°)A,电流与电压同相，相量图略
3-14
有一“220V、1000W”的电炉，接在220V的交流
电压上，试求通过电炉的电流和正常工作时的电阻。
Pe 1000
解 : Pe  U e I e , I e 

 4.55A
U e 220
Pe U e2 2202
R 2 

 48.4
Ie
Pe 1000
3-15
已知在10Ω的电阻上通过的电流为i=5sin(314t-
π/6)A，试求电阻上电压的有效值，并求电阻吸收的功率
为多少?
5
解 : I m  5 A, I 
,   2f  314;
2
5
U  IR 
10  25 2  35.4V
2
5
25
P  I 2 R  ( ) 2 R  10  125W
2
2
3-16
电压u=220sin(100t+30°)V施加于电感，若
电感L=0.2H，选定u、i参考方向一致，试求通过电感
的电流i，并绘出电流和电压的相量图。

解 :   2f  100, Z L  jL  j100 0.2  j 20
220
220



30

30

U
11
2
2

I  



(

60
)A

j 20
2090
2
ZL

i  11sin(100t  60 ) A, 相量图如右下：
3-17
一个L=0.15H的电感，先后接在f=50Hz和f=1000Hz，
电压为220V的电压上，分别算出两种情况下的XL、IL和QL.
解 : 当f  50Hz时
U
220
X L  2fL  15  47.1; I L 

 4.67 A
X L 47.1
U 2 2202
QL 

 1027.6W
X L 47.1
当f  1000Hz时
U
220
X L  2fL  300  942; I L 

 0.234A
X L 942
U 2 2202
QL 

 51.4W
X L 942
3-18
在关联参考方向下，已知加于电感元件两端的
电压为uL=100sin(100t+30°)V，通过的电流为
iL=10sin(100t+φi)A，试求电感的参数L及电流的初
相φi
100

30
解 : jX L  X L 90  2
; X L  L  100L
10
i
2


 30  i  90 ; i  60 ;
100
XL 
 10  L  100L; L  0.1H
10
3-19
一个C=50μF,的电容接于u=220
2
sin(314t+60°)V的电源上，求ic、Qc，绘电流和电压的相
量图。

UC
22060
解: IC 

j
 jX C
C
220 314 50106 60



3
.
454

150
A

  90
故i C  I m sin(314t  150 )  3.454 2 sin(314t  150 )

 4.89sin(314t  150 ) A
QC  UI  220 3.454  759.9W
3-20
把一个C=100μF的电容，先后接于f=50Hz和
f=60Hz，电压为220V的电源上，试分别计算上述两种
情况下XC、IC、QC
解 : 当f  50Hz时 :
1
1
XC 

 31.85
6
2fC 2  5010010
220
IC 
 6.9 A; QC  U C I C  220 6.9  1519.76W
31.85
当f  60Hz时 :
1
1
XC 

 26.54
6
2fC 2  6010010
220
IC 
 8.3 A; QC  U C I C  220 8.3  1823.76W
26.54
3-21 电路如题图3-4所示，R1=6Ω，R2=8Ω，R3=8Ω，
C=0.4F，IS=2A，电路已经稳定。求电容元件的电压及
储能
解 :电路已经稳定，
R3两端电压为0，
U C  U R2
故U C  I S R2  16V
储存的电场能：
1
QC  CU C2  0.5  0.4  162  51.2 J
2
3-22 电压为250V、容量为0.5μF的三个电容器C1、
C2、C3连接如题图3—5所示。求等效电容，并问端口电
压不能超过多少?
C1  (C2  C3 ) 0.5 1
解 : Cab 

 0.33
C1  C2  C3
1.5
当C2与C3达到250V时C1早超250V
250 C1
故umax  250V 
 250 125  375V
C1  C2
3-23
电路如题图3-6所示R1=9Ω,R2=R3=8Ω，L1=0.3H，
L2=0.6H，Is=4A，电路已经稳定。求电感元件的电流及储能。
解 :电路稳定, R2与R3两端的电压为:
R2
 4  4  16V
2
流过R3的电流为I 3  16 / 8  2 A
U2  U3  IS 
L1和L2稳定之前它们内部电流iL1与iL 2之比
iL1 U / L1 L2 0.6



2
iL 2 U / L2 L1 0.3
I
L
最终稳定的时刻仍有 L1  2  2, 而I L1  I L 2  2 A
I L 2 L1
4
2
A, I L 2  A,
3
3


1
1
4 2
1
2
2
WL1  L1 I L1   0.3  ( )  0.2 6 J ;WL 2  L2 I L 2  0.13 J
2
2
3
2
1
两电感的总磁场能W   0.2  2 2  0.4 J  WL1  WL 2
2
故I L1 
3-24 题图3-7所示电路中，已知也流表
为20A，求电路中电流表 的读数。


、 的读数均

U
U
解(a)图 : I 

 20 j  20 j  0 A即A　的计数为0
jX L  jX C

解(b)图 : I 


U
U

 20  20 j  20 245 A
R  jX C
即A的计数为20 2  28.3 A
3-25
题图3-8所示电路中，已知电压表V1、V2的
读数为50V，求电路中电压表V的读数。


解(a)图 : U  I ( R  jX L )  50  50 j  50 245
即V的计数为50 2  70.71V


解(b)图 : U  I ( R  jX C )  50  50 j  50 2(45)
即V的计数为50 2  70.71V

3  26电路如图所示, R  3, X L  4, X C  8, I C  100 A,




求U 、I R 、I L 及总电流 I 0 。




解 :U  U R  U L  U C

 I C  ( jX C )  100  8(90)
 80(90) 

U 80(90)  80
IR  
 (90)  A
R
3
3


U
80(90) 80(90) 


IL



20

(

180
)
A


20

0
A

jX L
4j
490





80
I 0  I R  I L  I C  100 A  (90)  A  200 A
3
80
80
 10  20 
j  10 
j  28.5(110.6) 
3
3



3  27电路如图3  10所示， 已知电流I C  30 ， 求电压源U S




解 : U C  U R  I C  (4 j )  30  4(90 )  12(90 )




UC
I L  I C  I R  30 
 30  4(90 )  5(53 )
R






U S  U L  U C  I L  ( jX L )  U C
 (3  4 j )  4 j  12 j  16  0 j  160 V
3-28
电路如题图3-11所示，已知XC=50Ω，XL=100Ω，R=100
Ω ,I=2A，求IR和U。


jRX L
解 : U  I ( jX C 
)
R  jX L


I R R
I  IR IL  IR
 (1  j ) I R
jX L







I
1
2
2
IR 
 (1  j ) I ; 故I R 
I
 2  1.41A
1 j 2
2
2



jRX L
j100100
U  I ( jX C 
)  I (50 j 
)
R  jX L
100 100 j


 50 I ( j  j  1)  50 I
U  50I  100V
3-29 电阻R与一线圈串联电路如题图3-12所示，已知
R=28Ω，测得I=4.4A，U=220V，电路总功率P=580W，频率
f=50Hz，求线圈的参数r和L。
解 : P  I 2 ( R  r )
r 

P
580

R

 28  2
2
2
I
4.4


U  I ( R  r  jX L )  I (30  j 2fL)


U  U  220  I 302  (2fL) 2
U 2
故 : (2fL)  ( )  ( R  r ) 2
I
1
U
1
L
( )2  (R  r )2 
2f
I
100
2
(50) 2  (30) 2 
40
10

 0.13H
100 25
3-30
电阻电容串联电路，其中R=8Ω，C=167μF，电
源电压u=141.1sin(1000t+30 °)V，试求电流I并绘出
相量图。

解 : U  10030 V  50( 3  j )
j
j
Z  R  jX C  R 
 8
C
1000167106
 8  6 j  10(37 )


I

U 50( 3  j ) 50( 3  j )(8  6 j )



Z
86 j
100
8 3  6  j (8  6 3 )
 4 3  3  j (4  3 3 )
2
I  (4 3  3) 2  (4  3 3 ) 2  10A

U
10030

或: I  

10

67
A; 故I  10A

Z 10(37 )

相量图如右:
3  31电路如图3 13所示, Z  536.9 ,U1  U2 , 试求X C
解 : Z  536.9  5(0.8  0.6 j )





U1  I ( jX C  Z )  I [4  j (3  X C )]

U 2  I Z  I (4  3 j ),而U1  U 2


即 : I (4  3 j )  I [4  j (3  X C )]
0(无意义)
4  (3  X C )  5, X  6 X C  0; X C  
6 H
2
所以X C  6 H
2
2
C
3  32RLC串联电路中， 已知R  10，X
L
 5，X
C
 15
电压源电压u  200 2 sin(t  30 )V , 试求：
(1)电路的复阻抗Z , 并说明电路的性质;



(2)电路的 I 和U R 、U C ; (3)绘出电压、 电流相量图。
解 : Z  10  5 j  15 j  10  10 j  10 2(45 ), 为容性阻抗

U  20030 ,

U
20030

I 

10
2

75
A

Z 10 2(45 )







U R  I R  100 275 V
U L  I  jX L  10 275 1090  100 2165 V
U C  I  ( jX C )  10 275 15(90 )  150 2(15 )V
3  33 RLC串联电路中， 已知R  30，L  40m H, C  40F，

  1000rad / s，U L  100 V， 试求：(1)电路的阻抗Z；



(2)电路的 I 和U R 及U C (3)绘出电压、 电流相量图。
解 : (1) X L  L  1000 40103  40
1
1
XC 

 2.5
6
C 1000 4010
Z  30  40 j  2.5 j  30  37.5 j  4851.34 ， 为感性阻抗

UL
100

(2) I  I L 


0
.
25

(

90
)A

jX L 4090






U R  I R  0.25(90 )  30  7.5(90 )V
U C  I  (2.5 j )  0.25(90 )  2.5(90 )  0.625180 V
3  34 RLC串联电路中， 已知R  10，X

L
 15，X
C
 5，

其中电流I  230 A， 试求 : (1)总电压U ; (2)功率因数cos

(3)该电路的功率P和Q及S
解 :电路总阻抗为: Z  10  15 j  5 j  10  10 j  10 245 


(1)总电压U  I Z  230 10 245  20 275
(2)电压与电流的相差  75  30  45
2
功率因数  cos 45 
 0.7071
2
(3) P  I 2 R  2 2 10  40W ; Q  I 2 ( X L  X C )  2 2 10  40W

S  UI  20 2  2  40 2  65.6VA
3-35 用三表法测线圈电路，已知电源频率f=50Hz，测得
数据分别是P=120W，U=100V，I=2A，试求：(1)该线圈的
参数及R、L；(2)线圈的无功功率Q、视在功率S及功率因
数cosφ
解 : P  I 2 R  120  2 2 R, R  30
P 120
而S  UI  100 2  200VA, cos  
 0.6
S 200
I 2R
R
30
即:


 0.6
2
2
2
2
2
2
2
I R  XL
R  XL
30  X L
302  X L2  50  X L2  502  302  X L  40
40
40
 2fL  40  L 

 0.127H
2f 100
Q  I 2 X L  2 2  40  160W
S  200W
3  36 已知某一无源网络的等效阻抗Z  1060 ， 外

加电压U  22015 ， 求该网络的功率P，Q，S及功率
因数 cos

U 22015

解: I  

22

(

45
)

Z 1060
视在功率 : S  UI  220 22  4840VA

电压与电流的相差:   15  (45 )  60
功率因数 : cos  cos 60  0.5
故有功功率: P  S cos  4840 0.5  2420W
3
无功功率 : Q  S sin   4840
 4191.6VA
2
3  37 电路如图所示,已知u  2 sin tV , i  sin(t  45 ) A
试求两端电路N的等效元件参数


2
1

解 : U  10  1  0 jV ; I 
45  (1  j ) A
2
2


U
1
故 :1  Z N   
 1 j
I 0.5(1  j )
故 : Z N   j
即 : N内可以等效成一个阻抗为1的电容元件

3  38 已知一复阻抗上的电流电压分别为I  1015 A,
u  220 2 sin(t  60 )V , 试求(1) Z , Y ; (2)阻抗角及导纳角 '


解 : U  220(60 )V ; I  1015 A


220(60 )


故: Z   

22

(

75
)

,
所以
:
Z

22

;



75

10

15
I
U

1015
1
1

'

而Y   


75
所以
:
Y

西门子
,


75

220

(

60
) 22
22
U
I
3  39 已知某阻抗Z1  10030 , 求与之等效的复导纳Y1

1
1

解 : Y1 


0
.
01

(

30
)S

Z1 10030
3  40 如图所示,已知R  X C  10, X L  5,U  2200 V




试求 : (1)复导纳Y , 并说明电路的性质; (2) I 、I R 、I L 、I C ；
(3)绘出相量图。
1
1
1
解 : (1)Y  

R jX L  jX C
 0.1  0.2 j  0.1 j  0.1  0.1 j
 0.1 2(45 )西门子


(2) I  Y U  0.1 2(45 )  2200  22 2(45 ) A






I R  G U  0.1 2200  220 A
I L  YL U  0.2 j  2200  44(90 )  0  44(90 ) A
I C  YC U  0.1 j  2200  2290 A
(3)图略

3  41 电路如图所示, U  100(30 )V ,


R  4, X C  X L  4, 求电路的(1) I 1、I 2

和 I 3 ；(2)绘出相量图。

U
100(30 ) 100(30 )
解: I1 


 jX C
4j
4(90 )

 2560 A

U
100(30 ) 100(30 )

I2 



12
.
5
2

(

75
)A

R  jX L
44 j
4 2(45 )




I 3  I 1  I 2  2560 A  12.5 2(75 ) A
或先求总Z 

 jX C  ( R  jX L )  4 j (4  4 j )

 1  j  2(45 )
 jX C  R  jX L
4
U 100(30 )

I3  

50
2

15
A

Z
2(45 )


3  42如图所示,已知U C  100 V ,
R  3, X C  X L  4, 求电路的功
率P、、Q、 及功率因数。
解 : Z 

jX L ( R  jX C ) 4 j (3  4 j )

jX L  R  jX C
3
4(4  3 j ) 20
16

37    4 j  R '  jX '
3
3
3

UC
100

故 IC 


2
.
5

(
90
),

 jX C 4  90



U  I C ( R  jX C )  2.590  5(53 )  12.537

U 12.537
I 
 1.8750
P  12.5 1.875 0.8  18.75W
20
Z
37
3
Q  S sin   12.5 1.875 0.6  14.06VA, S  UI  12.5 1.875  23.44VA
P 12 4
cos  
  0.8  cos37
S 15 5


3  43电路如图所示， 已知 I S  20 A,
Z1  1  j, Z 2  6  8 j,



Z 3  10  10 j, 求 I 1、I 2 和U

IS

解: I1 

IS

I2 
Z 2Z3
Z 2  Z3 
Z3
10  10 j 2(9  7 j )
 IS
 2

A
Z2
Z 2  Z3
16  2 j
13
Z 2 Z3
Z 2  Z3 
Z2
6  8 j 2(4  7 j )
 IS
 2

A
Z3
Z 2  Z3
16  2 j
13
Z 2Z3
(10  10 j )(6  8 j )
10(11 3 j )
总阻抗Z  Z1 
 1 j 
 1 j 
Z 2  Z3
16  2 j
13
123 17 j


13
123 17 j 246 34 j
故：U  I Z  (2  0 j ) 

V
13
13


3-44 电路如题图3-18所示，列
出结点a的结点电位方程。
10
 12 j

57 j 98 j 4 j
解 :U a 
1
1
1


57 j 86 j 98 j 4 j
10(5  7 j ) 12 j (9  4 j )

10(5  7 j )  97  50  12 j  74 50(9  4 j )
74
97


(5  7 j ) 4  3 j (9  4 j ) 4850(5  7 j )  7178(4  3 j )  3700((9  4 j )


74
50
97
420100 60100j (64900 60100j )(86262 2384j )



86262 2384j
7446816100
5612946200 739100j 56129462 7391j

 0.754 9.93 105 j
7446816100
74468161
 0.7540


3  45电路如图所示,已知U S1  U S 3

 100 V ,U S 2  j10V , 试求 : (1)列出

节点1、2的电位方程; (2)求节点电位
U1和U 2




U S 1 10
1
1
1
1
(  
)U 1 
U2 

4j
4j 4j
解: 4 j 3  4 j


U 2  U S 2  10 j

即 : (3 j  4  3 j ) U 1  30  30 j
 15


U
(
1

j
)

15

(

135
)V
1 
U1  15V


2
故:

U 2  10V


U 2  10 j  1090 V
3-46
电路如题图3—20所示，利用戴维宁定理求解电容支
路的电流I1。
解 : 将电路换成如图所示情形,

50
U ab 
 (3  4 j )
1 3  4 j
25(3  4 j ) 25(7  j )


V
2(1  j )
4
1 (3  4 j ) 7  j
Z ab 

44j
8


U ab
7 j
5 j
8
25(7  j ) / 4 50(7  j ) 50(1  28 j )



(7  39 j ) / 8
7  39 j
157
所以 : I 1 
此题也可用节点电位法来解 :

Ua 
50
1
1
1
1


1 5 j 3 4 j
50
50 25
1250



j 3  4 j 25  5 j  3  4 j 28  j
1 
5
25
1250


Ua
250
250(1  28 j ) 50(1  28 j )
28  j
I1 




A
5 j
5 j
1  28 j
785
157
用这种方法解较用戴维宁定理解要简单.
3-47 电路如题图3—21所示，
求二端网络a、b端的戴维宁等
效电路。

解 : U ab
100

 (3  8 j )
88 j
100
5 2(45 )

 (3  8 j ) 
 (3  8 j )

8
8 2(45 )
5 2 (1  j )  (3  8 j )
5 2 (11 5 j )

V
V
8
8
5(3  8 j )
5(3  8 j )(1  j )
Z ab  5 j 
5j
538 j
16
55(1  j )

16
αΦωβμΩσεφπ°∠Δ