Transcript 第3章正弦交流电路
第3章 正弦交流电路
3.1
正弦量的基本概念
3.2
正弦量的相量表示法
3.3
电容元件和电感元件
3.4
三种元件伏安特性的相量形式
3.5 基尔霍夫定律的相量形式
3.6
RLC串联的交流电路
3.7
RLC并联电路
3.8 用相量法分析正弦交流电路
3.9
正弦交流电路中的功率
3.10 正弦交流电路中的最大功率
3.1 正弦量的基本概念
3.1.1 正弦交流电的三要素
按正弦规律变化的交流电动势、交流电压、交流电流等物理量统称为
正弦量,如图3-1-1所示。
以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的
一般解析函数式为
i(t ) I m sin(t )
1.
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。
用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
2. 周期和频率
正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T”
表示,单位为秒(s)。正弦量每秒钟变化的周数称为频
率,用“f ” 表示,单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成
1
f
T
3.相位、角频率和初相
ωt+φ---相位角
在不同的瞬间,正弦量有着不同的相位,因而
有着不同的状态。相位的单位一般为弧度(rad)。
角频率---相位角变化的速度。
单位:rad/s或1/s。
相位变化2πrad,经历一个周期T,那么
2
π
2πf
T
与f成正比
当φ=0时,正弦波的零点就是计时起点
当φ>0,正弦波零点在计时起点之左,其波形相对于φ=0的
左移φ角,
当φ<0,正弦波零点在计时起点之右,其波形相对于φ=0的
波形右移|φ|角,
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i
i
i1£½Imsint
t
0
(a)
2
i
i2£½Imsin( t£« 2)
t
0
i3£½Imsin( t£« 6 )
t
0
6
(b)
i
i4£½Imsin( t£- 6)
t
0
6
(c)
几种不同计时起点的正弦电流波形
(d)
例 在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解析式为
u=200sin
(1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个
正弦量的三要素。
解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率ω=1000rad/s, 初相θu=160°。
(2) i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)
=5sin(314t-150°)A
所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相θi=-150°。
例 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示,
试写出正弦量的解析式。
u
200
sin(
t
)V
解 1
3
u2 250sin(t )V
6
u/V
u2
250
u1
200
0
3
6
2
t
例 3-1 图3-1-4给出正弦电压uab和正弦电流iab的波形。(1)
写出uab和iab的解析式并求出它们在t=100ms时的值。(2)写
出iab的解析式并求出t=100ms时的值。
由波形可知电压和电流的最大值分别为300mV和5mA,频
率都为1kHz,角频率为2000πrad/s,初相分别为π/6和π/3,
它们的解析式分别为:
(1)T =100ms时,
π
π
u ab (t ) 300 sin( 2000 πt )mV, iab (t ) 5 sin( 2000 πt )mV
6
3
π
π
u ab (0.1) 300sin(2000π 0.1 ) 300sin 150mV
6
6
π
π
iab (0.1) 5 sin(2000π 0.1 ) 5 sin 4.33m
3
3
(2)当t=100ms时
π
2π
iba (t ) iab 5 sin( 2000 πt π) 5 sin( 2000 πt )mA
3
3
2π
iba (0.1) 5 sin( ) 4.33mA
3
3.1.2 相位差
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“φ”
表示。
u1 U m1 sin(t 1 )
u2 U m 2 sin(t 2 )
相位差 :
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们之间
的初相也随之改变,但二者的相位差却保持不变。
下面分别加以讨论:
(1)φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度
(2) φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相
(5) φ12=θ1-θ2=π/2, 称这两个正弦量正交
同频率正弦量的几种相位关系
例题 :已知 : u 220 2 sin(t 235)V ,
i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解 : u 220 2 sin(t 235)V
220 2 sin(t 125)V
所以电压u的初相角为 125,电流i的初相角为45
ui u i 125 45 170 0
表明电压u滞后电流170。
例 分别写出下图中各电流i1、 i2的相位差, 并说明i1 与i2
i
i
i1
i1
i2
2
3
2
i2
2
t
0
2
0
3
2
2
£½
(a)
(b)
i
i
i1
i1
i2
2
3 2
2
t
2
i2
3
2
3
4
(c)
(d)
2
t
t
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明i1滞后
于i2 90°。
(b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。
(c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
(d) 由图知θ1=0, 2 3 ,12 1 2 3 , 表明i1越
4
4
前于 i 3
2
4
3.1.3
有效值的定义
交流电的有效值。 交流电的有效值是根据它的热效应
确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量
和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相
等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写
字母表示, 如I、 U等。
Q I 2 RT
T
Q i R dt
2
0
T
I RT i R dt
2
2
0
1
I
T
1
U
T
T
0
i dt
T
0
2
2
u dt
正弦量的有效值
1
I
T
T
0
I sin tdt
2
m
2
I m2
T
T
0
1 cos2t
dt
2
T
I m2 T
I m2
( dt cos2tdt)
(T 0)
0
0
2T
2T
Im
I
0.707I m
2
Um
U
0.707U m
2
U m 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时
电流的值为5A,试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有:
wT
5 I m sin
60 A
4
5 I m sin A
2 3
5
5
则有:I m=
10 A
sin 5 / 6 1
2
Im
I
7.07 A
2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数
在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 £«j
3
O
A
4
£«1
复数在复平面上的表示
£«j
b
P
r
O
a
£«1
复数的矢量表示
r A a 2 b2
b
arctan ( 2 )
a
a r cos
b r sin
2.
(1) 复数的代数形式
A a jb
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re
j
(4) 复数的极坐标形式
Ar
例
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。
解
A1的模 r1 4 2 ( 3) 2 5
辐角 arctan 3 36.9
1
4
则A1的极坐标形式为A1=5 -36.9°
A2的模
(在第四象限)
r2 ( 3) 2 42 5
辐角 2 arctan
4
126 .9
3
则A2的极坐标形式为 A2 5 / 126.9
(在第二象限)
例 写出复数A=100/30°的三角形式和代数形式。
解 三角形式A=100(cos30°+jsin30°
代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
3. 复数的四则运算
(1) 复数的加减法
A1 a1 jb1 r1 1
A2 a2 jb2 r2 2
则
A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )(4.16)
£«j
A1£«A2
A2
A1£-A2
A1
O
(2) 复数的乘除法
£«1
复数相加减矢量图
A B r1 1 r2 2 r1 r2 1 2
A r1 1 r1
1 2
B r2 2 r2
例 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积A·B
解 A+B=(8+j6)+(6-j8)=14-j2
A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°·10/-53.1°=100/-16.2°
=96-j28=4(24-j7)=100/-16.2 °
1.正弦量的相量表示
设某正弦电流为:
i(t ) 2 I sin(t )
i
而
2 Ie j(ωt ) 2 I cos(ωt i) j 2 I sin(ωt i)
上式的虚部恰好是正弦电流i,用Im[ ]是取复数虚部的
运算符号,则:
i I [ 2e
m
j(t )
j t
i j t
] 2 I [ Ie e
] 2I [I e
]
m
m
其中
I Ie j wt i Ii
它是一个与时间无关的复常数,它的模即正弦量有效值,
它的辐角即正弦量的初相----正弦量的相量
正弦电压的相量为 U U u
相量是一个复数,它表示一个正弦量,所以在符号字母上加
上一点,以与一般复数相区别。特别注意,相量只能表征或
代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的
关系,只能用“←→”符号表示相对应的关系
i (t ) I ......i (t ) 2 I m [ I t ]
u (t ) U ......u (t ) 2U m [U t ]
相量也可以用振幅值来定义。即
.
U m U mu
2.相量图及参考相量
在复平面上可用一个矢量表示相
量,该矢量称正弦量的相量图(也
简称相量),其符号与相量相同,
如图3-2-1(a)所示。画几个同频
率正弦量的相量图时,可选择某
一相量作为参考相量先画出,再根据其它正弦量与参考
正弦量的相位差画出其它相量。参考相量的位置可根据
需要任意选择。
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数,它随时
间的推移而旋转,且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量,旋转相量在虚
轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。
Imsinφi为i(t)的初始值,如图3-2-1(b)所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
其中
e
jt
t
就是旋转因子。
«1
£« j
i
.
2I
t
1
i
2
t
0
t2
£« 1
0
i
(b)
t1
t
例 3-5
已知正弦电压u1(t)=141 sin(ωt+π/3)V,u2(t)=70.5
sin(ωt-π/6)V,写出u1和u2的相量,并画出相量图。
141 π
π
u1 U 1
100
V
3
2 3
.
7 0.5 - π
-π
u 2 U 2
50
V
6
6
2
.
相量图如右所示:
例 3-6 已知两个频率均为50Hz的正弦电压,它们
的相量分别为Ù1=380/π/6 V,
Ù2=220/-π/3 V,试求这两个电压的解析式。
解
ω=2πf =2π×50=314 rad/s
Ù1=sin(ωt+θ1)=380sin(314t+π/6)V
Ù2=sin(ωt+θ2)=220sin(314t-π/3)V
3.2.2 两个同频率正弦量之和
1.两个同频率正弦量的相量之和
u1 (t ) U 1m sin(t 1 ) 2U 1 sin(t 1 )
u 2 (t ) U 2 m sin(t 1 ) 2U 2 sin(t 2 )
利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即
u(t ) u1 (t ) u 2 (t ) 2U sin(t )
其中
U (U 1 cos1 U 2 cos 2 ) 2 (U 1 sin 1 U 2 sin 2 ) 2
U 1 sin U 2 sin 2
arctan
U 1 cos1 U 2 cos 2
要求出同频率正弦量之和,关键是求出它的有效
值和初相。
2.求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式。
(2) 按复数运算法则进行相量相加,求出和的相量。
(3) 作相量图, 按照矢量的运算法则求相量和。
相量加减的多边形法则
例3-7
uA(t)=220sinωtV,
uB(t)=220sin(ωt-120°)V,求uA+uB和uA-uB 。
解:
uA U A 2200 220 j 0V
uB U B 220 120 220[cos(120 ) j sin(120 )]V
110 j110 3V
u A u B U A U B 110 j110 3 220 60 V
220 2 sin(t 60 )
u A u B U A U B 110 j110 3 38030 V
380 2 sin(t 30 )
作相量图求解。见下图,根据等边三角形和顶角为120°
的等腰三角形的性质也可得出与上述同样的结果.
§3.3 电容元件和电感元件
3.3.1 电容元件
1.电容元件
电容元件是各种实际电容器的理想化模型,其符号如图33-1(a)所示。
图 3-3-1理想电容的符号和特性
电荷量与端电压的比值C=Q/U——电容元件的电容,
理想电容器的电容为一常数
电容的单位为法拉,简称法,符号为F。
常用单位有,微法(μF),皮法(pF)
2.电容元件的伏安特性
对于图3-3-1(a),当u、i取关联参考方向时
du
ic
dt
电容的伏安特性说明:任一瞬间,电容电流的大小与该
瞬间电压变化率成正比,而与这一瞬间电压大小无关
任选初始时刻t以后,t 时刻的电压为
1 t
1 t0
1 t
u (t ) i ( )d i ( )d i ( )d
C
C
C t0
1 t
u (t0 ) i ( )d
c t0
3.电容元件的电场能
在关联参考方向下,电容吸收的功率
du
P iu Cu
dt
电容元件从u(0)=0(电场能为零)增大到u(t)时,总共吸收的
能量,即t时刻电容的电场能量。
1 2
u
t
W (t ) 0 Pdt 0 Cudu Cu (t )
c
2
当电容电压由u减小到零时,释放的电场能量也按上式计算
动态电路中,电容和外电路进行着电场能和其它能的相互
转换,本身不消耗能量。
例 3-8 (1) 2μF电容两端的电压由t =1μs时的6V线性增长
至t=5μs时的50V,试求在该时间范围内的电流值及增加
的电场能。(2) 原来不带电荷的100μF的电容器,今予以
充电,充电电流为1mA,持续时间为2s,求电容器充电
后的电压。假定电压、电流都为关联参考方向。
du
50 6
6
2 10
22
解(1) i C
6
dt
(5 1) 10
增加的电场能量
1 2 1 2
wC Cu 2 Cu1
2
2
1
2 10 6 (2500 36) 2.464 10 3 J
2
(2) 2s末的电压
u (2) u (0)
1
C
i(t )dt
2
0
1
100 106
2 103 20V
4 电容的连接
1、电容器的串联
把几个电容器的极首尾相接,连成一个无分支电路
的连接方式叫做电容器的串联。如图是三个电容器的串
联,接上电压为U的电源后,两极板分别带电为+q和-q ,
由于静电感应,中间各极所带的电荷量也等于+q 或-q ,
所以串联时每个电容器带的电荷量都是q。如果各个电
容器的电容分别为C1、C2、C3,电压分别为U1、U2、U3,
那么
U1=q/C1
U2=q/C2
U3=q/C3
规律:①各电容器的带电量相等:
q1=q2=q3=q 或U1C1 = U2C2 = U3C3
②总电压U等于各个电容器上的电压之和:
U=U1+U2+U3=q(1/ C1+1/C2+1/C3)
③总电容的倒数等于各电容的倒数之和
1/C=1/C1+1/C2+1/C3
④各电容上的电压与电容成反比
U1/U2/U3=C3/C2/C1
串联电容器相当于增大了电容器两板间的距离,所以
串联后的等效电容会小于任何一个分电容。
2、电容器的并联:把几个电容器的正极连在一起,
负极也连在一起,这就是电容器的并联,如图是三
个电容器的并联,接上电压为U的电源 后,每个电
容器的电压都是U。如果各个电容器的电容分别
是C1、C2、C3,
则所带的电荷量分别是q1、q2、q3,
那么: q1=C1U
q2=C2U
q3=C3U
规律:①各电容器上的电压均为U
②电容器组贮存的总电荷量q等于各个电容器所带电
荷量之和,
即:q=q1+q2+q3=(C1+C2+C3)U
③设并联电容器的总电容为C,因为q=CU,
所以C=C1+C2+C3
即并联电容器的总电容等于各个电容器的电容之和。
电容器并 联之后,相当于增大了两极板的面积,因此总电
容大于每个电容器的电容。 电容器并联的目的是:为了得
到容量更大的等效电容。
④并联电容器上的带电量q与其电容C成正比:
q1/q2/q3=C1/C2/C3
串并联电容与串并联电阻的区别:
电容 :
电阻 :
1
串联电容的总电容: C串 n 1
i 1 Ci
n
并联电容的总电容: C并 Ci
i 1
n
串联电阻的总电阻: R串 Ri
i 1
1
并联电阻的总电阻: R并 1 1
i 1 Ri
例、如图所示,三个相同的电容器接成(a)、(b)所
示的电容器组,设每个电容器的电容为C、耐压为U,分
别求出每个电容器组的总电容及总耐压。
1
解 : (a )C总 C C 1.5C
2
2C C 2
(b)C总
C
3C
3
U总 U
U 总 1.5U
例3-9 电容都为0.3μF,耐压值同为250V的三个电容器C1、
C2、C3的连接如下图所示。试求等效电容,问端口电压值
不能超过多少?
解
C2、C3并联等效电容
C23 C2 C3 0.6 uF
总的等效电容
0.3 0.3
C1 C 23
0.2uF
C
C1 C 23 0.3 0.6
C1小于C23,则u1>u23,应保证u1不超过其耐压值250V。当
u1=250V时,
u 23
0.3
C1
u1
250 125V
0.6
C 23
所以端口电压不能超过
u u1 u23 250 125 375 V
再例:在图电路中,US=24伏,R0=10欧,R1=30欧,R2=40
欧,C1=50微法,C2=200微法。电路达到稳定后,C1和C2
上的电压及带电量各为多少?A、B两点之间的电压UAB为
多少?
US
24
3
解: I
A
R 0 R1 R2 10 30 40 10
3
U1 IR1 30 9V ;
10
3
U 2 IR2 40 12V
10
U AB U1 U 2 21V
Q1 C1U1 50106 9 4.5 10 4 (C )
Q2 C2U 2 200106 12 204103 (C )
§3.3.2 电感元件
1.电感元件
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。其符号
为下图中的(b)
i
a
b
i
£«
£«
u
u
£-
£-
(a)
L
(b)
O
(c)
t
上图 (a)中,
磁链与产生它的电流的比值---→电感元件的电感或自感。
电感元件的电感为一常数
磁链Ψ总是与产生它的电流i成线性关系,即
Li
该式表示了电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系
称为线性电感的韦安特性,是过坐标原点的一条直线。
如图 (c)所示。
电感的单位为亨(利),符号为H。
2.电感元件的伏安特性
根据电磁感应定律,感应电压等于磁链的变化率。当电压
的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时,可得
d
u
dt
当电感元件中的电流和电压取
关联参考方向时,结合上式有
d dLi
di
u
L
dt
dt
dt
电感元件的伏安特性
任一瞬间,电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变
化率成正比,而与该瞬间的电流无关。
电感元件也称为动态元件,它所在的电路称为动态电
路。电感对直流起短路作用。
某一时刻电感的电流值。任选初始时刻后,t时刻的电
流为
1
1
1 t
t
t
0
i(t )
u ( )d
u ( )d
t u ( )d
L
L
L 0
i (t 0)
1
t u ( )d
t
L 0
3. 电感元件的磁场能
在关联参考方向下,电感吸收的功率
di
p ui Li
dt
电感电流从i(0)=0增大到i(t)时,总共吸收的能量,即t时刻
电感的磁场能量
1 2
i
t
WL (t ) 0 p dt 0 Li dt Li (t )
2
当电感的电流从某一值减小到零时,释放的磁场能量也可
按上式计算。
在动态电路中,电感元件和外电路进行着磁场能与其它能
相互转换,本身不消耗能量。
例 3-10
电感元件的电感L=100mH,u和i的参考方向一致,
i的波形如图所示,试求各段时间元件两端的电压uL,并
作出uL的波形,计算电感吸收的最大能量。
uL与i所给的参考方向一致,各段感应电压为
3
di
i
10
10
(1) 0~1ms间, u L L
L
100 103
1V
3
1 10
dt
t
(2) 1~4ms间,电流不变化,得 uL=0
(3) 4~5ms间,
uL L
di
dt
L
i
t
100 103
3
0 10 10
1 10
3
1 V
uL的波形如右所示。
吸收的最大能量
W L max
1
2
Li
2
m
1
2
100 103 (10 103) 2 5 106 J
§3.4 三种元件伏安特性的相量形式
3.4.1 电阻元件
iR
uR
R
1.伏安特性
设电流为
i(t ) 2I sin(t i )
则
u(t ) Ri 2RI sin(t i ) 2U sin(t u )
上式表明:电阻两端电压u和电流i为同频率同相位的正弦
量,它们之间关系如下
U RI
i u
电阻上电压相量和电流相量的关系为
U u
R
I i
I
U
U RI
相量图为:
2. 功率
(1)瞬间功率
p 2 U sin t 2 I sin t 2UI sin 2 t
UI (1 cos 2t ) 0
(2)平均功率(又称为有功功率)
----为瞬时功率p在一个周期
T内的平均值,用大写字母P表示。
1
1 T
1 T
T
P
0 pdt
0 uidt
0 UI (1 cos 2t ) dt
T
T
T
2
U
UI I 2 R
R
例 3-11 一电阻R=100Ω,通过的电流
i(t)=1.41sin(ωt-30°)A。试求:(1)R两端电压U和u,
(2)R消耗的功率P。
解:
I m 1.41
(1)电流I
1A
2
2
电压
U RI 1001 100V
u (t ) Ri 1001.41sin(t 30 ) 141sin(t 30 )V
若利用相量关系求解
1.41
I
30 A
2
U R I 100 30 V
对应的正弦量
u(t ) 100 2 sin(t 30o ) 141sin(t 30o )V
有效值 U 100 V
(2) R消耗的功率
P UI 1100 100W
3.4.2 电感元件
iL
uL
di
uL L
dt
L
1.伏安特性
在图中,设通过电感元件的电流为
i(t ) 2I sin(t i )
则有
di
u (t ) L 2LI cos(t )
i
dt
2LI sin(t i
) 2U sin(t u )
2
上式表明电感两端电压u和电流i是同频率
的正弦量,电压超前电流90°。用表示ωL
后,电压和电流有效值关系为
即
U XLI
u i 90 o
U X L I (U m X L I m )
电感电流相量和电压相量的关系为
Uu
jX L
I
i
I
U
即 : U jX L I
.
UL
£«j
i
O
电感元件的相量模型
相量图
.
IL
£«1
感抗
U Um
X L L 2fL
I
Im
感抗的倒数
称为感纳,单位为西门子(S)。
1
1
B
X L L
2. 功率
(1)瞬时功率
电感吸收的瞬时功率为
p ui 2U sin(t ) 2 I sin t
2
2UIcomt sin t UI sin 2t I 2 X L sin 2t
最大值为UI或XLI2
电感储存磁场能量
1 2 1 2
WL Li LI m sin 2 t
2
2
1 2
LI m (1 cos 2t )
2
uL £¬iL £¬pL
p
uL
iL
£«
£«
0
£-
£-
T
4
T
4
T
4
t
T
4
电感元件的功率曲线
磁场能量在最大值
1 2
LI m ( LI 2 ) 和零之间周期性地变化,总是大于零。
2
(2)平均功率
1
P
T
,
T
0
1
pdt
T
T
0
1
uidt
T
T
0
UI sin 2tdt 0
为了衡量电感与外部交换能量的规模,引入无
功功率QL
2
U
QL UI I X L
XL
2
例3 12流过0.1H电感的电流i(t ) 15sin(200t 10 ) A
试求关联参考方向下电感两端的电压u及无功功率,
磁场能量的最大值。
解: 用相量关系求解
I 1510 A
U jX L I j 200 0.11510 30090 10 300100 V
对应的正弦电压: u (t ) 300 2 sin(200t 100 )
无功功率:Q
L
UI 30015 4500W
1 2
磁场能量的最大值:WL max LI m
2
1
0.1 (15 2 ) 2 22.5 J
2
3.4.3
iC
uC
C
duC
iC C
dt
1
设加在电容两端电压为:
u (t ) 2U sin(t u )V
du
则:i (t ) C
2CU cos(t u )
dt
C
2CU sin(t u ) 2 I sin(t i ) A
2
上式表明电容电流表和端电压是同频率的正弦量,
电流超前电压
2
1
用X C 表示
后, 电流和电压的关系为:
C
U
U
I CU
1
XC
C
U XCI
i u 90
容抗:X
C
1
1
U Um
C 2fC I
Im
容抗的倒数称为容纳, 单位是西门子(S)
1
BC
C
XC
相位关系
i u
u
i
2
uC
iC
2
0
电容元件上电流和电压的波形图
t
电容元件上电压与电流的相量关系
uC U Cm sin(t u )
U C U C u
iC I Cm sin(t u )
2
UC
I C I C ( u )
( u ) CU C ( u )
2
XC
2
2
UC
U C jX C I C 或 I C
jX C
2 电容元件的功率
(1)瞬时功率:
p(t ) ui 2U sin t 2 I sin(t )
2
2UI sin t cost UI sin 2t
I X C sin 2t
2
p
uC £ ¬iC
p
uC
iC
£«
£«
0
£-
T
4
T
4
£-
T
4
电容元件功率曲线
功率的最大值为UI或 I 2 X C
T
4
t
(2)平均功率:
1 T
1 T
1 T
P pdt uidt UI sin 2tdt 0
T 0
T 0
T 0
(3)无功功率:
2
U
Q UI I X C
XC
2
例3-13流过0.5F电容的电流i(t)=sin(100t-
30°)A,试求关联参考方向下,电容的电压u,
无功功率和电场能量的最大值。
解: 用相量关系求解
I 1 30 A
1
1
U jXC I j
I j
30
c
100 0.5
2 10 2 90 30 V 2 10 2 120 V
u (t ) 0.02 2 sin(100t 120 )V
QC UI 0.021 0.02W
1
1
2
2
2
W C max CU m 0.5( 2 ) (0.02) 0.0002J
2
2
各元件上电压与电流的比较
电路
u
i
u
i
u
相位关系
U IR
U
I
R
i
R
电压和电流
的大小关系
U IL IX L
L I U U
L X L
1
UI
IX C
C
U
C
I U C
XC
.
I
阻抗
功率
相量关系
P UI
.
U
电阻R
I 2R
UIR
2
U
R
P0
.
U
感抗
.
I
X L L
QL I 2 X L
2
U
XL
U j XL I
P0
容抗
1
XC
C
QC I X C U jX I
C
U2
XC
2
3.5 基尔霍夫定律的相量形式
3.5.1基尔霍夫节点电流定律的相量形式
i 0
I 0
正弦电路中任一节点,与它相连接的各支路电流的
相量代数和为零
3.5.2 回路电压定律的相量形式
u 0
U 0
任一闭合回路,各段电压的相量代数和为零
正弦电路的电流、电压的瞬时值关系,相量关系都
满足KCL和KVL,而有效值的关系一般不满足,要由相
量的关系决定。
因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去
考虑。
例3 14正弦电路中, 与某一个节点相连的三个支路
电流 I 1、I 2 、I 3 , 已知i1 (t ) 10 2 cos(t 60 ) A
i2 (t ) 5 2 sin t , 求i3
解 : 先写出I1 和 I 2 的相量(注意 I1 的初相为60 90 150 )
i3的相量 I 3 由KCL得 :
I 1 10(cos150 j sin 150 ) 5 3 5 j 8.66 5 j; I 2 5
I1 I 2 I 3 0
I 3 I1 I 2 8.66 j5 5 3.66 j5 6.2126.2 A
i3 (t ) 6.2 2 sin(t 126.2 ) A
3.6 RLC 串联的交流电路
3.6.1电压与电流的关系
1.电压三角形
电流的相量为参考相量作出相量图,如图所示,
图中设UL> UC
I I
UR I R
U L I jX L
U C I jX C
U U R U L U C I R I jX L I jX C
I ( R jX L jX C ) I ( R X ) I Z
RLC串联电路的相量图
2. 阻抗三角形
Z R j( X L X C ) R jX Z
Z的实部为R, 称为“电阻”, Z的虚部为X, 称为“电抗”,它
们之间
符合阻抗三角形。
Z R X
2
|Z|
2
X
arctan — 阻抗角
R
R Z cos
R
阻抗三角形
X Z sin
X
U u
U
Z Z
Ii
I
u i
Z称为该电路的阻抗
Z是一个复数, 所以又称为复阻抗, |Z|是阻抗的模, φ为
阻抗角。复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似。复阻
抗的单位为Ω。
3.6.2电路的三种性质
根据RLC串联电路的电抗
1
X X L X C L
C
1
1、 L
电感性电路
C
X
此时X 0,UL UC, 阻抗角 arct an 0
R
1
2. L
C
→电容性电路
此时,X 0,U L UC, 0
1
3. L
C
→电阻性电路
此时,X 0,U L UC, 0
这是一种特殊状态,称为谐振
例 3-15图 3-6-3(a)所示为RC串联移相电路,u为输入正弦电
压,以UC为输出电压。已知C=0.01μF,u的频率为6000Hz,有
效值为1V。欲使输出电压比输入电压滞后60°,试问应选配
多大的电阻R? 在此情况下,输出电压多大?
方法一:用相量法解 作出相量图,如图3-4-6(b)所示。容性电
路的阻抗角为负值,根据已知有
XC
1
30 arct an
arct an
30
R
R C
XC
1
R
t an30 C t an30
1
4600 4.6 K
1
6
2 6000 0.0110
3
输出电压:U C U sin 30 1 0.5 0.5V
方法二: 用代数法解: U 10 V ,
U
IR IC
2fC
2fCR j
j
R
2fC
j
2fC
j
U C I R
2fC 2fCR j 2fC
j
j (2fCR j ) (2fCRj 1)
U
60
C
2fCR j
(2fCR ) 2 1
(2fCR ) 2 1
2fCR
3
即 : tan(60 ) 3
R
4.6 K
1
2fC
1
Uc
(2fCR ) 2 1
1
(2 3.14 6000 0.01106 4.6 103 ) 2 1
1
0.5V
2
3.7
RLC并联电路
3.7.1电压和电流的关系
由于是并联电路,电压相同,所以以电压相量为参考相
量作出相量图。设IC>IL。
I I (IC I L )
2
G
2
导纳三角形
I I G I B [G j ( BC BL )]U (G jB) U U Y
B BC BL 称为电纳,Y 为导纳的模, 为导纳角
Y G2 B2
其关系为:
B
arctan
G
设端口电流、 电压相量分别为I Ii、U Uu
Im
I
Ii
I
I
I
Y U U
'
Y
(i u ) 所以:
m
U
'
U Uu U
i
u
1
其中:G 为电阻支路的“电导”
R
1
BL
为电感支路的“感纳”
L
BC C为电容支路的“容纳”
Im
I
Y U U
m
'
i
u
3.7.2 RLC并联电路的三种性质
RLC并联电路的电纳
1
B BC BL C
L
(1)当ωC>1/ωL时,电路呈容性 。
B>0,φ>0 ,IC>IL,端口电流超前电压90°
(1)
(2) 当ωC<1/ωL时,电路呈感性。B<0,φ<0,
IC<IL,端口电流滞后电压90°
(3) 当ωC=1/ωL时,电路呈阻性。
B=0,φ=0,IC=IL。
IB=0,Y=G,I=IG,端口电流与电压同相。
这是一种特殊情况,称为谐振。
导纳法分析并联电路
i
iR
u
R
iL
L
RLC并联电路
iC
C
1
Y1 G
R
1
j
Y2
jB L
jX L X L
1
j
Y3
jBC
jX C X C
I R Y1 U U G
I L Y2 U jBL U
I C Y3 U j BC U
I I R I L I C U (G jBL jBC ) U (G jB)
3.7.3 复阻抗和复导纳的等效互换
对于串联电路,有
Z R jX
1
1
R jX
R
X
Y
2
j 2
2
2
Z R jX R jX R jX R X
R X
G jB
R
X
其中G 2
,B 2
2
R X
R X2
对于并联电路,有
Y G jB
1
1
G
B
Z
2
j 2
2
2
Y G jB G B
G B
R jX
G
B
其中R 2
,X=- 2
2
2
G B
G B
3.8 用相量法分析正弦交流电路
相量法一般步骤为:
(1) 作出相量模型图
(2) 运用直流线性电路中所用的定律、定理、分析
方法进行计算。直接计算的结果就是正弦量的相
量值。
(3) 根据需要,写出正弦量的解析式或计算出其他
量。
3.8.1
例3.7电路如图3 8 1(a)所示,U S (t ) 40sin 3000tV
求i、I C 、I L
解 写出已知正弦电压的相量
U S 400 V
作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。其中,
电感元件和电容元件的复阻抗分别为
1
Z L jL j 3000 j1K
3
j
1
ZC
j
j 2 K
1
j C
3000 106
3
j (1 2 j )
2 j
Z 1.5 Z ab 1.5
1.5
j 1 2 j
1 j
(2 j )(1 j )
1 3 j
1.5
1. 5
2 1.5 j
(1 j )(1 j )
2
2.537 K
400 V
I
16
(
37
)m A
2.537 K
Z
2 j
I
K
I Z ab
2 j
1 j
IC
I
(1 2 j ) K (1 2 j ) K
(1 j )(1 2 j )
Us
1 j
2 j
2
I
I
16(37 )m A
135 11.398 m A
1 3 j
2
2
2 j
I
K
I Z ab
2 j 3 j
10
1 j
IL
I
I
(18.44 ) 16(37 )m A
jK
jK
j 1
2
2
25.3(55.4 )m A
各相量对应的正弦量为
i (t ) 16 2 sin(3000t 37 )m A
ic (t ) 11.3 2 sin(3000t 98 )m A
iL (t ) 25.3 2 sin(3000t 55.4 )m A
例 3-18 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络,端
口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压U2与端口
电压u同相时u的频率ω0,并计算U2/U。
C
R
Z1
.
£« £« U £1
£«
£«
u1
u
£R
£«
u2
£-
C
.
U
Z2
££-
£-
(a)
£«
.
U2
(b)
解
RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用Z1和Z2表示,
且
1
1 jRC
Z1 R
jC
jC
1
R
R
jC
Z2
1
1 jRC
R
jC
原电路的相量模型为Z1﹑Z2的串联,如图3-8-2(b), 由
分压关系得
.
.
1
Z
2
U2
U
U
Z1 Z 2
1 Z1 / Z 2
.
Z1
由题意得U 2 与U 同相, 则 必须是纯电阻
Z2
1 jRC
1 jRC 1 jRC ( j RC)(1 jRC)
j C
即
R
j C
R
RC
1 jRC
2RC j[(RC) 2 1]
1
2
(RC) 1 0 C
RC
2fR
.
Z1 20 RC
U2
1
1
那么:
2 .
Z 2 0 RC
U 1 Z1 / Z 2 3
1 .
U2 U;
3
.
1
则U 2 U为最大值
3
3.8.2
例3-19 下图所示电路中,求各支路的电流
U S1 1000 V ,U S 2 100(90 )V ,
R 5, X C 2, X L 5
解:方法一:
用支路电流法解
U S1 1000 V ,U S 2 100(90 )V ,
R 5, X C 2, X L 5
100 j 2 I 1 5 I 3 0
100 j 2( I 3 I 2 ) 5 I 3 0
5 I 3 j 5 I 2 (100 j ) 0
I 3 j I 2 20 j 0
I 1 I 3 I 2
100 j 2(20 j j I 2 I 2 ) 5(20 j j I 2 ) 0
100 40 2 I 2 2 j I 2 100 j 5 j I 2 0
140 100 j (140 100 j )(2 3 j ) 580 220 j
I 2
23j
13
13
I 2 580 220 j
13
580 j 220
220 320 j
20 j
I 3 j I 2 20 j
10
13
580 220 j 220 320 j 800 100 j
I 1 I 2 I 3
13
13
13
方法二:用网孔法解:
U S1 1000 V 100V ,
U S 2 100(90 )V 100 jV ,
R 5, X C 2, X L 5
Z R 5, Z C 2 j , Z L 5 j
I a (5 2 j ) 5 I b 100
I a (5 2 j ) 5 I b 100
I b (5 5 j ) 5 I a (100 j ) I a I b (1 j ) 20 j
[ I b (1 j ) 20 j ](5 2 j ) 5 I b 100
[ I b (1 j ) 20 j ](5 2 j ) 5 I b 100
140 100 j 580 220 j
I2 Ib
23j
13
800 100 j
I 1 I a I b (1 j ) 20 j
13
220 320 j
I3 Ia Ib
13
方法三:用节点电位法解
U S1 1000 V 100V ,
U S 2 100(90 )V 100 jV ,
R 5, X C 2, X L 5
Z R 5, Z C 2 j , Z L 5 j
100 100 j
50 j 20 500 j 200
2j
5j
Ua
1
1 1
j 1 j
3
j
2
2j 5 5j 2 5 5
500 j 200 100(11 16 j )
一支路:100 (2 j ) I 1 U a
3j2
13
50(11 16 j )
550 800 j 650 800 j 100
j I1
50
;
13
13
13
800 100 j
故 I1
13
100(11 16 j )
三支路:5 I 3 U a
13
220 320 j
故: I 3
13
100(11 16 j )
二支路: 100 j 5 j I 2 U a
13
580 220 j
故: I 2
13
3.8.3用戴维南定理分析正弦电路
例 3-20 用戴维南定理计算例3-19中R支路
的电流。
解 先将例3-19中所示的电路改画为下图 (a)所示
的电路
由R两端向左看进去,是一个有源二端网络。先求
其开路电压
U S1 1000 V 100V ,
R 5, X C 2, X L 5,
U S 2 10090 V 100 jV ,
Z R 5, Z C 2 j, Z L 5 j
j
j
100 j100 ( )
.
U S1 Y1 U S 2 Y2
2
5
U OC
j j
Y1 Y2
2 5
20 j50 53.968.20
0
179.1/ 21.8 V
0
j 0.3
0.390
.
.
再求输入复阻抗
j5( j2) 10
Z i j5 //( j2)
j33.3
j5 j2
j3
计算电流的等效电路如图3-8-4(b)所示, 则:
.
U OC
179 / 21.80 179.7 / 21.80
0
I3
29
.
9
/
11
.
8
0
Zi R
5 j3.33
6 / 33.6
.
20 j50
U OC
20 j50
3j
j 0.3
I3
10
Z ab R
j 0.3
10 15 j
5
j3
20 50 j 40 100 j 380 80 j
1 1.5 j
23j
13
I 3 29.9 A
80
20
tan
; arctan 0.207弧度 11.86
380
95
故 I 3 22.911.86
3.8.4
作相量图时,先确定参考相量。
对并联的电路,可以电压为参考相量;
对串联电路,可以电流为参考相量。
例 3-21
下图所示电路的相量模型中,
I L I 10A,U1 U 2 200V,求X C
解
先画出相量图
3.9 正弦交流电路中的功率
1 瞬时功率p
.
I
.
U
Z
图4.53 功率
i 2 I sin t
u 2U sin(t )
p ui 2U sin(t ) 2 I sin t
` 2UI sin(t ) sin t
1
2UI [cos(t t ) cos(t t )]
2
UI[cos cos(2t )]
2 有功功率P
我们把一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功
率”, 或称为“有功功率”, 用字母“P”表示, 即
p, u, i
p£½
ui
+
+
i
£-
0
P£½UI cos
£u
瞬时功率波形图
£-
2
t
1 T
1 T
P pdt UI [cos cos(2t )]dt
T 0
T 0
1 T
1 T
(UI cos )dt [UI cos(2t )]dt UI cos 0
T 0
T 0
P UI cos UI
P UI cos PR U R I
P UR I I 2R
3 无功功率Q
无功功率定义式: Q UI sin
Q QL QC
4 视在功率S
视在功率的定义式为
S UI
1kVA 1000VA
4 视在功率S
S UI
单位为伏安(VA)
1kVA 1000VA
5 功率三角形
S P Q
2
2
2
S P2 Q2
Q
t an
P
P
cos
S
功率三角形
例 已知一阻抗Z上的电压、 电流分别为
U 220 30V , I 5 30 A (电压和电流的参考方向一
致), 求Z、cosφ、P、Q、S。
U 220 30
Z
44 60
I 5 30
1
cos cos 60
2
1
P UI cos 220 5 550W
2
3
Q UI sin 220 5
550 3VA
2
S P 2 Q 2 1100VA
例 已知 40W的日光灯电路如图4.56所示, 在=220V的电
压之下, 电流值为I=0.36A, 求该日光灯的功率因数cosφ及所
需的无功功率Q。
解 因为 P
UI cos
所以
P
40
cos
0.5
UI 220 0.36
.
I
.
U
jXL
由于是电感性电路, 所以φ=60°电
路中的无功功率为
R
图4.56 例 4.33 图
Q UI sin 220 0.36 sin 60 69VA
6 功率因数的提高
1 功率因素的定义
有功功率大小的参数cosφ称功率因数, 用λ表示, 其定义
为功率因数的大小取决于电压与电流的相位差,故把φ角也
称为功率因数角。
2 提高功率因数的意义
(1)提高电源设备的利用率
(2) 减小线路压降及功率损耗
3 提高功率因数的方法
对于感性负载,通常是在其两端并联电容器。
感性负载并联电容器后, 它们之间相互补偿, 进行
一部分能量交换, 减少了电源和负载间的能量交换。
.
IC
£«
.
U
.
I .
I1
R
.
IC
1
£-j
C
jL
.
I
£-
(a)
功率因数的提高
.
U
(b)
.
I1
.
IC
并联电容前有
P
P UI1 cos1 , I 2
U cos1
并联电容后有
P
P UI1 cos 2 , I
U cos
由图(b)可以看出
I C I1 sin 1 I sin 2
又知
P sin 1 P sin 2
U cos1 U cos 2
P
(tan1 tan 2 )
U
U
IC
CU
XC
P
代入上式可得 CU (tan1 tan 2 )
U
即
因为
P
C
(tan1 tan 2 )
2
U
2
U
QC I 2 X C
CU 2
XC
QC
C
所以
U 2
代入式 (**)可得QC P (tan1 tan 2 )
(**)
3.10 正弦交流电路中的最大功率
负载
Z L R jX L
电路中电流相量为
.
.
US
US
I
Z S Z L ( RS RL ) j( X S X L )
.
电流的有效值为
I
US
( RS RL ) 2 j( X S X L ) 2
负载吸收的功率
2
U
2
S RL
PL I RL
( RS RL ) 2 j( X S X L ) 2
1. 负载的电阻和电抗均可调节
使PL获得最大值的条件是
dPL
0
dRL
ZL ZS
此时最大功率为
Pmax
2
S
U
4RS
2.负载为纯电阻
U S2
PL
RL
2
2
( RS RL ) X S
dPL
0 时,最大功率为
当
dRL
PR max
U S2
U S2
2 Z S (1 RS / Z S ) 2 Z S (1 cosS )
例 3-24 在图 3-10-2 所示的正弦电路中,R和L为
损耗电阻和电感。实为电源内阻参数。
已知u s (t ) 10 2 sin 105 tV R=5Ω,L=50μH。RL=5 Ω,
试求其获得的功率。 当RL为多大时, 能获得最大
功率? 最大功率等于多少?
£-
US
£«
R
RL
L
电源内阻抗为Z S R jX S 5 j105 50106
5
o
已知u(
t
)
10
2
sin
10
t
5
j
5
5
2
/
45
s
.
设电压源的相量为U 10/ 0 V
o
.
US
10/ 0o
10
电路中的电流为I
Z S RL 5 j5 5 10 j5
.
o
10 / 0
o
0
.
89
/
26
.
6
o
11.8/ 26.6
负载获得的功率为PL I RL 0.89 5 4W
2
2
当 RL Z S
大功率,即
R 2 X L2 时,模匹配, 能获得最
本章小结
1
正弦交流量的基本概念
(1)正弦交流量的三要素 i = I m sin(t )
正弦交流量可由最大值 I m 、角频率
和初相位
来描述它的大小、变化快慢及t=0时初始时刻的大小和
变化进程。
(2)正弦交流量的有效值与最大值之间有I=
Im
2
的关系。
(3)两个同频率正弦量的初相位角之差,称为相位差。
两同频率的正弦量有同相、反相、超前和滞后的关系。
2 正弦交流量的相量表示法
正弦交流量除了可用解析式、波
形图表示,还可以用相量图(相
量复数式)的方法来表示。只有
同频率的正弦交流电才能在同一
相量图上加以分析。
解析式(三角式) : i(t ) I m sin(t ) 2 I sin(t )
I m j (t ) I m
相量指数式: I
e
I
2
2
相量复数式: I I (cos j sin )
3 电容元件和电感元件
(1)电容元件:
du
q cu,i c ,
dt
并联电容总电容: C总 C1 C 2 C 3
1
1
1
1
串联电容总电容:
,
C总 C1 C 2 C 3
1
j
复阻抗(容抗) : X C
jC 2fC
1 2
电容器的贮电能: WC (t ) Cu (t )
2
di
(2)电感元件: u L
dt
无偶合串联电感的总电感:L
总
L1 L2
L1 L2
无偶合并联电感的总电感:L 总
L1 L2
复阻抗(感抗) : X L jL 2fL
1 2
电感线圈的磁场能:W L (t ) Li (t )
2
4.三个元件伏安特性的相量形式:
R、L、C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值关系和
相位关系
元件名称 相量关系 有效值关系 相位关系
电容C
U IR
U IR
电阻R
电感L
U L jX L I
U C jX C I
u i
U L IX L
u i 90
UC IXC
u i 90
相量图
5.基尔霍夫定律的相量形式:
I 0
U 0
6.RLC串联的交流电路:
电压与电流相量关系:U R j( X L X C ) I
复阻抗:Z
U
R j( X L X C ) Z
I
阻抗模 : Z R 2 ( X L X C ) 2
X L XC
阻抗角 : arctan
R
7 RLC并联电路
电压与电流的关系: I G j(BC B L)U
复导纳:Y G j(BC BL) G jB
导纳模 :Y G 2 B 2
B
导纳角 : arctan
G
8 用相量法分析正弦交流电路
一般步骤为:
(1)作出相量模型图
(2)运用直流线性电路中所用的定律,定理,分析方
法进行计算,求出相量值。
(3)写出正弦量的解析式。
9
正弦交流电路中的功率
(1)有功功率:P UI cos
(2)无功功率:Q UI sin
(3)视在功率 :S UI P 2 Q 2
10
正弦交流电路中的最大功率
(1)负载的电阻和电抗可调节时负载获得最大功率的条件是:
X L X S
ZL ZS
最大功率:p
RL RS
U S2
max
4RS
(2)负载为纯电阻时,负载获得最大功率的条件为
RL Z S
U S2
最大功率: PR max
2 RS (1 cos S )
11
功率因数的提高
提高电路的功率因数对提高设备利用率和节约电能
有着重要意义。
一般采用在感性负载两端并联电容器的方法来提高
电路的功率因数。
各元件上电压与电流的比较
电路
u
i
u
i
u
相位关系
U IR
U
I
R
i
R
电压和电流
的大小关系
U IL IX L
L I U U
L X L
1
UI
IX C
C
U
C
I U C
XC
.
I
阻抗
功率
相量关系
P UI
.
U
电阻R
I 2R
UIR
2
U
R
P0
.
U
感抗
.
I
X L L
QL I 2 X L
2
U
XL
U j XL I
P0
容抗
1
XC
C
QC I X C U jX I
C
U2
XC
2
习题解答
3-1 已知一正弦电压的振幅为310V,频率为50Hz,初相
为-π/6,试写出其解析式,并绘出波形图。
解:u(t)=310sin(100πt-π/6)
3-2
图略
写出题图3-1所示电压曲线的解析式
解:u(t)=310sin(ωt+π/3)
3—3 一工频正弦电压的最大值为310V,初始值为-155V,
试求它的解析式。
解:工频:f=50Hz,u(0)=310sinφ=-155,所以φ=-π/6
故u(t)=310sin(100πt-π/6)V
3-4 已知u=220 2sin(314t+60°)V,当纵坐标向左移
π/6或右移π/6时,初相各为多少?
解:φ1=60°-30°= 30°; φ2=90°+30°=120°
3-5 题图3—2中给出了u1、u2的波形图,试确定u1和u2
的初相各为多少?相位差为多少?哪个超前,哪个滞后?
解:
φ1=π/3;
φ2=-π/3;
Δφ=2π/3
u1超前u2
3-6
三个正弦电流i1、i2和i3的最大值分别为1A、2A、3A,
已知i2的初相为30°i1较i2超前60°较i3滞后150°,试分别
写出三个电流的解析式.
3-7
已知两复数Z1=8+j6,
3-6解:i1=sin(ωt+90°)V
Z2=10∠-60°求Z1+Z2、
i2=2sin(ωt+30°)A
Zl-Z2、Z1÷Z2。
i3=3sin(ωt-120°)
3 7解 : Z 2 5 j 5 3
Z1 Z 2 13 j (6 5 3 )
Z1 Z 2 3 j (6 5 3)
8 j6
(8 j 6)(5 j 5 3 )
Z1 Z 2
100
5 j5 3
40 30 j j 40 3 30 3 (4 3 3 ) j (3 4 3 )
100
10
3-8
写出下列各正弦量对应的相量。
(1)u1 220 2 sin(t 120 )V
(2)i1 10 2 sin(t 60 ) A
(3)u2 311 2 sin(t 200 )V
(4)i2 7.07 2 sin(t ) A
解 : U 1 220120 V ;
I 1 1060 A
: U 2 311160 V
3-9
I 2 7.070 A
写出下列相量对应的正弦量(f=50Hz)。
(1) U 1 220 V , (2) I 1 10(50 ) A
6
(3) U j110V , (4) I 1 6 j8 A
解 : (1)u1 220 2 sin(100t )V
(2)i1 10 2 sin(100t 50 ) A
6
(3)u 110 2 sin(100t )V
2
4
(3)i1 10 2 sin(100t arct an ) A
3
3 10电路如图所示,已知i1 20sin(t ) A, i2 20sin(t 90 ) A
试求 : (1) I 1、I 2 、I ;(2)各电流表的读数;(3)绘出电流相量图
解 : (1) I 1 10 20 A 10 2 0 jA;
I 2 10 290 A 10 2 jA
I I 1 I 2 10 2 10 2 j 2045 A
(2) I 20A; I1 10 2 A; I 2 10 2 A
(3)相量如图
3 11已知u1 220sin(t 60 )V , u2 220 2 sin(t 30 )V
试作出u1和u2的相量图, 并求u1 u2 , u1 u2 .
3-12
两个同频率的正弦电压的有效值分别为30V和40V,
试问:(1)什么情况下,u1+u2的有效值为70V?(2)什么情况
下u1+u2的有效值为50V?(3)什么情况下,u1-u2的有效值为
10V?
解:(1)当u1与u2同相时u1+u2有效值为70V
(2)当u1与u2相差为π/2时, u1+u2的有效值为50V
(3)当u1与u2反相时, u1+u2的有效值为10V
3-13
电压u=100sin(314t-60°)V施加于电阻,若电阻
R=20Ω,试写出其上电流的解析式,并作电压和电流的相
量图。
解:i=5sin(314t-60°)A,电流与电压同相,相量图略
3-14
有一“220V、1000W”的电炉,接在220V的交流
电压上,试求通过电炉的电流和正常工作时的电阻。
Pe 1000
解 : Pe U e I e , I e
4.55A
U e 220
Pe U e2 2202
R 2
48.4
Ie
Pe 1000
3-15
已知在10Ω的电阻上通过的电流为i=5sin(314t-
π/6)A,试求电阻上电压的有效值,并求电阻吸收的功率
为多少?
5
解 : I m 5 A, I
, 2f 314;
2
5
U IR
10 25 2 35.4V
2
5
25
P I 2 R ( ) 2 R 10 125W
2
2
3-16
电压u=220sin(100t+30°)V施加于电感,若
电感L=0.2H,选定u、i参考方向一致,试求通过电感
的电流i,并绘出电流和电压的相量图。
解 : 2f 100, Z L jL j100 0.2 j 20
220
220
30
30
U
11
2
2
I
(
60
)A
j 20
2090
2
ZL
i 11sin(100t 60 ) A, 相量图如右下:
3-17
一个L=0.15H的电感,先后接在f=50Hz和f=1000Hz,
电压为220V的电压上,分别算出两种情况下的XL、IL和QL.
解 : 当f 50Hz时
U
220
X L 2fL 15 47.1; I L
4.67 A
X L 47.1
U 2 2202
QL
1027.6W
X L 47.1
当f 1000Hz时
U
220
X L 2fL 300 942; I L
0.234A
X L 942
U 2 2202
QL
51.4W
X L 942
3-18
在关联参考方向下,已知加于电感元件两端的
电压为uL=100sin(100t+30°)V,通过的电流为
iL=10sin(100t+φi)A,试求电感的参数L及电流的初
相φi
100
30
解 : jX L X L 90 2
; X L L 100L
10
i
2
30 i 90 ; i 60 ;
100
XL
10 L 100L; L 0.1H
10
3-19
一个C=50μF,的电容接于u=220
2
sin(314t+60°)V的电源上,求ic、Qc,绘电流和电压的相
量图。
UC
22060
解: IC
j
jX C
C
220 314 50106 60
3
.
454
150
A
90
故i C I m sin(314t 150 ) 3.454 2 sin(314t 150 )
4.89sin(314t 150 ) A
QC UI 220 3.454 759.9W
3-20
把一个C=100μF的电容,先后接于f=50Hz和
f=60Hz,电压为220V的电源上,试分别计算上述两种
情况下XC、IC、QC
解 : 当f 50Hz时 :
1
1
XC
31.85
6
2fC 2 5010010
220
IC
6.9 A; QC U C I C 220 6.9 1519.76W
31.85
当f 60Hz时 :
1
1
XC
26.54
6
2fC 2 6010010
220
IC
8.3 A; QC U C I C 220 8.3 1823.76W
26.54
3-21 电路如题图3-4所示,R1=6Ω,R2=8Ω,R3=8Ω,
C=0.4F,IS=2A,电路已经稳定。求电容元件的电压及
储能
解 :电路已经稳定,
R3两端电压为0,
U C U R2
故U C I S R2 16V
储存的电场能:
1
QC CU C2 0.5 0.4 162 51.2 J
2
3-22 电压为250V、容量为0.5μF的三个电容器C1、
C2、C3连接如题图3—5所示。求等效电容,并问端口电
压不能超过多少?
C1 (C2 C3 ) 0.5 1
解 : Cab
0.33
C1 C2 C3
1.5
当C2与C3达到250V时C1早超250V
250 C1
故umax 250V
250 125 375V
C1 C2
3-23
电路如题图3-6所示R1=9Ω,R2=R3=8Ω,L1=0.3H,
L2=0.6H,Is=4A,电路已经稳定。求电感元件的电流及储能。
解 :电路稳定, R2与R3两端的电压为:
R2
4 4 16V
2
流过R3的电流为I 3 16 / 8 2 A
U2 U3 IS
L1和L2稳定之前它们内部电流iL1与iL 2之比
iL1 U / L1 L2 0.6
2
iL 2 U / L2 L1 0.3
I
L
最终稳定的时刻仍有 L1 2 2, 而I L1 I L 2 2 A
I L 2 L1
4
2
A, I L 2 A,
3
3
1
1
4 2
1
2
2
WL1 L1 I L1 0.3 ( ) 0.2 6 J ;WL 2 L2 I L 2 0.13 J
2
2
3
2
1
两电感的总磁场能W 0.2 2 2 0.4 J WL1 WL 2
2
故I L1
3-24 题图3-7所示电路中,已知也流表
为20A,求电路中电流表 的读数。
、 的读数均
U
U
解(a)图 : I
20 j 20 j 0 A即A 的计数为0
jX L jX C
解(b)图 : I
U
U
20 20 j 20 245 A
R jX C
即A的计数为20 2 28.3 A
3-25
题图3-8所示电路中,已知电压表V1、V2的
读数为50V,求电路中电压表V的读数。
解(a)图 : U I ( R jX L ) 50 50 j 50 245
即V的计数为50 2 70.71V
解(b)图 : U I ( R jX C ) 50 50 j 50 2(45)
即V的计数为50 2 70.71V
3 26电路如图所示, R 3, X L 4, X C 8, I C 100 A,
求U 、I R 、I L 及总电流 I 0 。
解 :U U R U L U C
I C ( jX C ) 100 8(90)
80(90)
U 80(90) 80
IR
(90) A
R
3
3
U
80(90) 80(90)
IL
20
(
180
)
A
20
0
A
jX L
4j
490
80
I 0 I R I L I C 100 A (90) A 200 A
3
80
80
10 20
j 10
j 28.5(110.6)
3
3
3 27电路如图3 10所示, 已知电流I C 30 , 求电压源U S
解 : U C U R I C (4 j ) 30 4(90 ) 12(90 )
UC
I L I C I R 30
30 4(90 ) 5(53 )
R
U S U L U C I L ( jX L ) U C
(3 4 j ) 4 j 12 j 16 0 j 160 V
3-28
电路如题图3-11所示,已知XC=50Ω,XL=100Ω,R=100
Ω ,I=2A,求IR和U。
jRX L
解 : U I ( jX C
)
R jX L
I R R
I IR IL IR
(1 j ) I R
jX L
I
1
2
2
IR
(1 j ) I ; 故I R
I
2 1.41A
1 j 2
2
2
jRX L
j100100
U I ( jX C
) I (50 j
)
R jX L
100 100 j
50 I ( j j 1) 50 I
U 50I 100V
3-29 电阻R与一线圈串联电路如题图3-12所示,已知
R=28Ω,测得I=4.4A,U=220V,电路总功率P=580W,频率
f=50Hz,求线圈的参数r和L。
解 : P I 2 ( R r )
r
P
580
R
28 2
2
2
I
4.4
U I ( R r jX L ) I (30 j 2fL)
U U 220 I 302 (2fL) 2
U 2
故 : (2fL) ( ) ( R r ) 2
I
1
U
1
L
( )2 (R r )2
2f
I
100
2
(50) 2 (30) 2
40
10
0.13H
100 25
3-30
电阻电容串联电路,其中R=8Ω,C=167μF,电
源电压u=141.1sin(1000t+30 °)V,试求电流I并绘出
相量图。
解 : U 10030 V 50( 3 j )
j
j
Z R jX C R
8
C
1000167106
8 6 j 10(37 )
I
U 50( 3 j ) 50( 3 j )(8 6 j )
Z
86 j
100
8 3 6 j (8 6 3 )
4 3 3 j (4 3 3 )
2
I (4 3 3) 2 (4 3 3 ) 2 10A
U
10030
或: I
10
67
A; 故I 10A
Z 10(37 )
相量图如右:
3 31电路如图3 13所示, Z 536.9 ,U1 U2 , 试求X C
解 : Z 536.9 5(0.8 0.6 j )
U1 I ( jX C Z ) I [4 j (3 X C )]
U 2 I Z I (4 3 j ),而U1 U 2
即 : I (4 3 j ) I [4 j (3 X C )]
0(无意义)
4 (3 X C ) 5, X 6 X C 0; X C
6 H
2
所以X C 6 H
2
2
C
3 32RLC串联电路中, 已知R 10,X
L
5,X
C
15
电压源电压u 200 2 sin(t 30 )V , 试求:
(1)电路的复阻抗Z , 并说明电路的性质;
(2)电路的 I 和U R 、U C ; (3)绘出电压、 电流相量图。
解 : Z 10 5 j 15 j 10 10 j 10 2(45 ), 为容性阻抗
U 20030 ,
U
20030
I
10
2
75
A
Z 10 2(45 )
U R I R 100 275 V
U L I jX L 10 275 1090 100 2165 V
U C I ( jX C ) 10 275 15(90 ) 150 2(15 )V
3 33 RLC串联电路中, 已知R 30,L 40m H, C 40F,
1000rad / s,U L 100 V, 试求:(1)电路的阻抗Z;
(2)电路的 I 和U R 及U C (3)绘出电压、 电流相量图。
解 : (1) X L L 1000 40103 40
1
1
XC
2.5
6
C 1000 4010
Z 30 40 j 2.5 j 30 37.5 j 4851.34 , 为感性阻抗
UL
100
(2) I I L
0
.
25
(
90
)A
jX L 4090
U R I R 0.25(90 ) 30 7.5(90 )V
U C I (2.5 j ) 0.25(90 ) 2.5(90 ) 0.625180 V
3 34 RLC串联电路中, 已知R 10,X
L
15,X
C
5,
其中电流I 230 A, 试求 : (1)总电压U ; (2)功率因数cos
(3)该电路的功率P和Q及S
解 :电路总阻抗为: Z 10 15 j 5 j 10 10 j 10 245
(1)总电压U I Z 230 10 245 20 275
(2)电压与电流的相差 75 30 45
2
功率因数 cos 45
0.7071
2
(3) P I 2 R 2 2 10 40W ; Q I 2 ( X L X C ) 2 2 10 40W
S UI 20 2 2 40 2 65.6VA
3-35 用三表法测线圈电路,已知电源频率f=50Hz,测得
数据分别是P=120W,U=100V,I=2A,试求:(1)该线圈的
参数及R、L;(2)线圈的无功功率Q、视在功率S及功率因
数cosφ
解 : P I 2 R 120 2 2 R, R 30
P 120
而S UI 100 2 200VA, cos
0.6
S 200
I 2R
R
30
即:
0.6
2
2
2
2
2
2
2
I R XL
R XL
30 X L
302 X L2 50 X L2 502 302 X L 40
40
40
2fL 40 L
0.127H
2f 100
Q I 2 X L 2 2 40 160W
S 200W
3 36 已知某一无源网络的等效阻抗Z 1060 , 外
加电压U 22015 , 求该网络的功率P,Q,S及功率
因数 cos
U 22015
解: I
22
(
45
)
Z 1060
视在功率 : S UI 220 22 4840VA
电压与电流的相差: 15 (45 ) 60
功率因数 : cos cos 60 0.5
故有功功率: P S cos 4840 0.5 2420W
3
无功功率 : Q S sin 4840
4191.6VA
2
3 37 电路如图所示,已知u 2 sin tV , i sin(t 45 ) A
试求两端电路N的等效元件参数
2
1
解 : U 10 1 0 jV ; I
45 (1 j ) A
2
2
U
1
故 :1 Z N
1 j
I 0.5(1 j )
故 : Z N j
即 : N内可以等效成一个阻抗为1的电容元件
3 38 已知一复阻抗上的电流电压分别为I 1015 A,
u 220 2 sin(t 60 )V , 试求(1) Z , Y ; (2)阻抗角及导纳角 '
解 : U 220(60 )V ; I 1015 A
220(60 )
故: Z
22
(
75
)
,
所以
:
Z
22
;
75
10
15
I
U
1015
1
1
'
而Y
75
所以
:
Y
西门子
,
75
220
(
60
) 22
22
U
I
3 39 已知某阻抗Z1 10030 , 求与之等效的复导纳Y1
1
1
解 : Y1
0
.
01
(
30
)S
Z1 10030
3 40 如图所示,已知R X C 10, X L 5,U 2200 V
试求 : (1)复导纳Y , 并说明电路的性质; (2) I 、I R 、I L 、I C ;
(3)绘出相量图。
1
1
1
解 : (1)Y
R jX L jX C
0.1 0.2 j 0.1 j 0.1 0.1 j
0.1 2(45 )西门子
(2) I Y U 0.1 2(45 ) 2200 22 2(45 ) A
I R G U 0.1 2200 220 A
I L YL U 0.2 j 2200 44(90 ) 0 44(90 ) A
I C YC U 0.1 j 2200 2290 A
(3)图略
3 41 电路如图所示, U 100(30 )V ,
R 4, X C X L 4, 求电路的(1) I 1、I 2
和 I 3 ;(2)绘出相量图。
U
100(30 ) 100(30 )
解: I1
jX C
4j
4(90 )
2560 A
U
100(30 ) 100(30 )
I2
12
.
5
2
(
75
)A
R jX L
44 j
4 2(45 )
I 3 I 1 I 2 2560 A 12.5 2(75 ) A
或先求总Z
jX C ( R jX L ) 4 j (4 4 j )
1 j 2(45 )
jX C R jX L
4
U 100(30 )
I3
50
2
15
A
Z
2(45 )
3 42如图所示,已知U C 100 V ,
R 3, X C X L 4, 求电路的功
率P、、Q、 及功率因数。
解 : Z
jX L ( R jX C ) 4 j (3 4 j )
jX L R jX C
3
4(4 3 j ) 20
16
37 4 j R ' jX '
3
3
3
UC
100
故 IC
2
.
5
(
90
),
jX C 4 90
U I C ( R jX C ) 2.590 5(53 ) 12.537
U 12.537
I
1.8750
P 12.5 1.875 0.8 18.75W
20
Z
37
3
Q S sin 12.5 1.875 0.6 14.06VA, S UI 12.5 1.875 23.44VA
P 12 4
cos
0.8 cos37
S 15 5
3 43电路如图所示, 已知 I S 20 A,
Z1 1 j, Z 2 6 8 j,
Z 3 10 10 j, 求 I 1、I 2 和U
IS
解: I1
IS
I2
Z 2Z3
Z 2 Z3
Z3
10 10 j 2(9 7 j )
IS
2
A
Z2
Z 2 Z3
16 2 j
13
Z 2 Z3
Z 2 Z3
Z2
6 8 j 2(4 7 j )
IS
2
A
Z3
Z 2 Z3
16 2 j
13
Z 2Z3
(10 10 j )(6 8 j )
10(11 3 j )
总阻抗Z Z1
1 j
1 j
Z 2 Z3
16 2 j
13
123 17 j
13
123 17 j 246 34 j
故:U I Z (2 0 j )
V
13
13
3-44 电路如题图3-18所示,列
出结点a的结点电位方程。
10
12 j
57 j 98 j 4 j
解 :U a
1
1
1
57 j 86 j 98 j 4 j
10(5 7 j ) 12 j (9 4 j )
10(5 7 j ) 97 50 12 j 74 50(9 4 j )
74
97
(5 7 j ) 4 3 j (9 4 j ) 4850(5 7 j ) 7178(4 3 j ) 3700((9 4 j )
74
50
97
420100 60100j (64900 60100j )(86262 2384j )
86262 2384j
7446816100
5612946200 739100j 56129462 7391j
0.754 9.93 105 j
7446816100
74468161
0.7540
3 45电路如图所示,已知U S1 U S 3
100 V ,U S 2 j10V , 试求 : (1)列出
节点1、2的电位方程; (2)求节点电位
U1和U 2
U S 1 10
1
1
1
1
(
)U 1
U2
4j
4j 4j
解: 4 j 3 4 j
U 2 U S 2 10 j
即 : (3 j 4 3 j ) U 1 30 30 j
15
U
(
1
j
)
15
(
135
)V
1
U1 15V
2
故:
U 2 10V
U 2 10 j 1090 V
3-46
电路如题图3—20所示,利用戴维宁定理求解电容支
路的电流I1。
解 : 将电路换成如图所示情形,
50
U ab
(3 4 j )
1 3 4 j
25(3 4 j ) 25(7 j )
V
2(1 j )
4
1 (3 4 j ) 7 j
Z ab
44j
8
U ab
7 j
5 j
8
25(7 j ) / 4 50(7 j ) 50(1 28 j )
(7 39 j ) / 8
7 39 j
157
所以 : I 1
此题也可用节点电位法来解 :
Ua
50
1
1
1
1
1 5 j 3 4 j
50
50 25
1250
j 3 4 j 25 5 j 3 4 j 28 j
1
5
25
1250
Ua
250
250(1 28 j ) 50(1 28 j )
28 j
I1
A
5 j
5 j
1 28 j
785
157
用这种方法解较用戴维宁定理解要简单.
3-47 电路如题图3—21所示,
求二端网络a、b端的戴维宁等
效电路。
解 : U ab
100
(3 8 j )
88 j
100
5 2(45 )
(3 8 j )
(3 8 j )
8
8 2(45 )
5 2 (1 j ) (3 8 j )
5 2 (11 5 j )
V
V
8
8
5(3 8 j )
5(3 8 j )(1 j )
Z ab 5 j
5j
538 j
16
55(1 j )
16
αΦωβμΩσεφπ°∠Δ