Transcript 第四章正弦交流电路

第四章 正弦交流电路
第一节 正弦交流电的基本概念
第二节 正弦交流电的相量表示法
第三节 单一理想元件的交流电路
第四节 RLC串联的交流电路
第五节 阻抗的串联与并联
第六节 正弦交流电路的分析方法
第七节 功率因数的提高
第八节 正弦交流电路的谐振
第九节 非正弦交流电路
习题
目录
第一节 正弦交流电的基本概念
正弦量
正弦量的三要素
返回
一、正弦量:
大小和方向随时间按正弦规律变化
的电压、电流和电动势统称为正弦量。
正弦信号的和、差、微积分等运算
结果仍是同频率的正弦信号。
当正弦信号作为电路的信号源时，
电路中产生的响应仍是同频率的正弦
信号。
返回
正弦电流 i 用三角函数表示为
i=Iｍsin(ωt+ )
其波形如图
i
Im
O

T
从表达式可以看出,当
Im 、ω、  确定后,正
弦量就被唯一地确定
t了,所以这三个量统称
为正弦量的三要素。
返回
二、正弦量的三要素
1.周期T、频率f 和角频率ω
2.最大值和有效值
3. 相位、初相、相位差
返回
1.周期Ｔ、频率f 和角频率ω
周期T : 正弦量变化一次所需要的时
间称为周期。单位是秒 (s)。
频率f : 1s正弦量变化的次数称为频率。
单位是赫兹(Hz)。
显然 f =1/T 或 T =1/f
角频率ω :
单位时间里正弦量变化的角度称为
角频率。单位是弧度/秒（rad/s）。
ω=2π/T=2πf
返回
周期，频率，角频率从不同角度描述
了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中
之一便可以求出另外两个。
2．最大值和有效值
正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬
时值中最大的称为最大值。Im、Um、
Em分别表示电流、电压和电动势的
最大值。
表示交流电的大小常用有效值的概念。
返回
把两个等值电阻分别通一交流电流i
和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内
所产生的热量相等，那么我们把这个直
流电流Ｉ定义为交流电流的有效值。
1 T 2
i dt
i Rdt  I RT 即 I 

0
T 0
所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。

T
2
2
将电流的三角式带入上式中有:
I  Im
2
返回
同理:
U  Um
2
E  Em
2
3.相位、初相、相位差
i  I m sin( t  Ψ )A
相位：我们把 ωt+ 称为相位。
初相：t＝0时的相位称为初相。
相位差：任意两个同频率的正弦
量的相位之差。用φ 表示。
返回
例1、 u  Um sin( t u )V
i  I m sin( t  Ψ i )A
两者的相位差为:
  Ψu  Ψi
电压超前电流φ角
(或电流滞后电压φ 角)
=0 电压与电流同相位
<0 电流超前电压φ角
>0
若:φ
= ±π 电流与电压反相
返回
u、 i
i
O
ωt
φ
φ <0 φ=0
φ =π
返回
例2、已知：i =10sin(314t+30°) A，
u =220 2 sin(314t－45）V，试指出它们的角
频率、周期、幅值、有效值和初相，相位
差，并画出波形图。
解： ω=314rad/s，ω=2πf
f = ω/2π=50Hz，T=1/f = 0.02s
Im = 10A
Um =220 2V
Im
Um
I=
=5 2A， U =
=220V
2
2
i= 30°， u= －45°
φ = u－ i=－75°
返回
如图所示：
u、i
220 2V
10A
O
ωt
30° 45°
u 滞后 i 75°, i 超前 u 75°。
返回
第二节
正弦交流电的相量表示
相量图表示法
相量表示法（复数表示）
基尔霍夫定律的相量形式
返回
一、相量图表示法
正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令
矢量长度＝Im
矢量初始角＝Ψ
矢量旋转速度＝ω
如图：
Y
i
ω
ωt
O
O
X
返回
该矢量某一时刻在纵轴上的投影
刚好等于正弦量的瞬时值。
一般我们研究的是同频率的正弦量，
用相量表示时，它们同以ω速度旋
转相对位置保持不变。因此 ，在同
一相量图中，以t＝0时刻的相量表示
正弦量。
相量的写法为大写字母的上方加一
个“.”。
返回
例、用相量图来表示下列正弦量。
u1 =Um sinωt V
u2 =Um sin（ωt －120°）V
u3 =Um sin（ωt －240°）V
U3
120°
解：
U1
120°
U2
返回
注 意
•
只有正弦量才能用相量表示；
几个同频率正弦量可以画在同一
相量图上；
•
任意两个同频率正弦量的和或差
可用平行四边形法则求。
•
返回
二、相量表示法（复数表示）
我们知道一个相量可以用复数表示，
而正弦量又可以用相量表示，因此正
弦量可以用复数表示。
1. 复数表示法：
j
A
b r
A=a+jb 代数式
A=r(cosφ +jsinφ)三角式
+1 A=r e jφ 指数式
O
a
A=r∠φ 极坐标式
返回
其中
a=r cosφ
b=r sinφ
r 
a b
2
2
φ =arctan(b/a)
2. 有关复数的计算
加减运算用代数式, 实部与实部,
虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，
模相乘或相除，辐角相加或相减。
返回
3、 正弦量的相量表示
一个复数的辐角等于正弦量的初相
角， 复数的模等于正弦量的最大值或有
效值，该复数称为正弦量的相量。
R = a+jb 是t = 0 固定相量的复数形式。
 u  Um
返回
例、写出下列正弦量的相量， 并求
出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i1  20 2 sin( t  60 )A
o
i2  10 2 sin( t  30 )A
o
解： İ = 20∠60°A
1
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 =(20∠60°+10 ∠－30°)A
=[20(cos60 ° +jsin60 °)+
10[cos(－30°)+jsin (－30°)]A
返回
=（10+j17.39+8.66－j5）A
=（18.66+j12.39）A
=22.36∠33.4°A
i  22.36 2 sin( t  33.4 )A
o
相量图为:
I1
I
I2
返回
三、基尔霍夫定律的相量形式
KCL
∑i = 0
∑İ= 0
KVL
∑u = 0
∑U= 0
○
i
i1
○
i2
i=i1+i2
I  I1  I 2
返回
下列表达式书写正确的是：
u ＝u1＋u2
U  U1  U 2
i  Im (cos   sin  )
U=U1+U2
陷井挖好
了，跳吧
返回
来了？
哈哈，没掉
下去！！
来了？
第三节 单一理想元件的交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
返回
一、电阻电路
1. 电压与电流关系
i
u
为了比较各个正弦量之
间的相位关系，先规定一个
初相角为零的参考正弦量。
设 u  U m sin  t
u、i 满足欧姆定律
u Um
i 
sin  t  I m sin  t
R
R
返回
Im、Um（U、I）同样满足欧姆定律：
Um
Im 
R
U
I
R
复数形式
U  U 0
o
I1  I 0
o
复数形式欧姆定律
U U
 0  R
I
I
返回
U  IR
可见：电压与电流同相位
ui
相量图
u
i
ωt
O
I

U
φ＝０
返回
2．功率关系
ui
u
i
O
p
UI
O
⑴瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
ωt (2)平均功率
1 T
P
pdt

T 0
= UI = I2R = U2/R
可见:P≥0 电阻是
一个耗能元件。
ωt
返回
二、电感电路
1.电压与电流关系
i
u
XL= ωL 感抗
设 i =Imsinωt
u = L di/dt
= ωLImcosωt
=Umsin(ωt+90°)
Um= ωLIm
U=XLI
单位：欧姆（Ω）
返回
相量图
.
U
电感中的电流滞后电压90°
（电压超前电流90°）。
.
I
因此: U  U 90o
I  I 0
o
U U
 90  jX L
I
I .
.
相量表达式为: U  jX L I
返回
2．功率关系
(1) 瞬时功率
p＝u i =ImUmsinωt cosωt
＝ IUsin2ωt
在正弦交流电路中，电感功率以
2ω按正弦规律变化。
波形如图所示
返回
u、 i
u
i
O
p
ωt
 
 
O
ωt
显然,第一个
1/4 周期p>0，电
感吸收能量。
第二个 1/4 周
期 p<0，放出能
量。它与电源间
进行能量的互相
交换。
返回
⑵平均功率(有功功率)
1 T
P   pdt  0
T 0
电感是储能元件,不消耗电能。
⑶无功功率
无功功率反映的是电感与电源
间能量互相交换的规模。
QL= U I = I 2 XL = U 2／XL
单位: 乏（var）
返回
例、设电感Ｌ＝1.65H, ω= 314 rad/s
uL =190 2sin( t +20)V ，求XL、iL、QL 。
解： XL= ωL=520Ω
IL=UL/ XL=0.336A
电感中电流落后电压90º
iL =0.336 2sin( t +20－90)A
=0.336 2sin( t－70)A
QL=ULIL=69.54var
返回
三、电容电路
1.电压与电流关系
设： u  U m sin  t
i
u
C
du
iC
dt
  CU m cos  t

 I m sin( t  90 )
返回
UmC  Im
XC
1

C
1
Um 
Im
C
容抗
相量图
I
单位：欧姆（Ω）
Um  X C Im
U
U  XC I
电容中的电流超前电压90

U  U 0


I  I 90
返回
U U
   90   jX C
I
I
∴相量表达式为：
U   jX C I
2. 功率关系
（1）瞬时功率
p  ui  Um I m cos  t sin  t
 UI sin 2t
返回
u、 i
u
i
O
p
ωt
 
 
O
ωt
显然,第一
个1/4周期
p>0，电容
储存能量。
第二个1/4
周期p<0，
放出能量。
返回
（2）平均功率（有功功率）
1
P
T

T
0
pdt  0
电容是储能元件，不消耗电能。
（3）无功功率
无功功率反映的是电容与电源间能量
互相交换的规模。
2
U
QC  UI  I X C 
XC
2
单位是乏（var）
返回
例1、设电容C＝0.1μF, ω= 6280 rad/s
uC=10sin(ωt+30°)V，求XC 、İC 、QC。
解：
XC= 1／ωC=1.59kΩ
IC＝UC／X C＝10／1.59 2 mA＝4.45mA
电容中电流超前电压90º
İC =4.45∠ 30º+90º = 4.45∠ 120ºmA
QC=UCIC=31.6×10－3 var
返回
例2、已知XL=10Ω，R= 2Ω，A2表读数2A，
设个表均为理想电表,求其余各表读数。
A
A1
A2
V
R
解：
U=I2XL=2×10V=20V
I1=U/R=20/2A=10A
L
设İ1= 10∠0 °A
=10A
İ = İ 1+ İ 2
İ2= 2∠－90 °A
=(10－j2)A
=－j2 A
=10.2 ∠－11.3°A
∴A1: 10A、A: 10.2A、V:20V
返回
例3、已知各电流表读数为A1=5A, A2=20A，
A3=25A，求(1)A表读数 (2)若维持A1读数不
变,而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。
○
解： 设 İ1=5∠0°A= 5A
A
∴ İ2= 20∠－90°A=－j20A
·A
A1
A3
2
R
L
○
·
C
İ3= 25∠90°A=j25A
İ = İ 1+ İ 2+ İ 3
=(5+j5)A
=5 245A
A:7.07A
返回
(2)若维持A1读数不变, R两端电压不变，
U = RI1 = XLI2 = XCI3
XL = ωL , XC = 1/ωC
f 提高一倍，ω'=2ω
U =ω′L I2' = 2ωL I2' = 2ωL I2'
I2' = 0.5I2 =10A
XCI3 =0.5XCI3 '
I3 ' = 2I3=50A
İ = İ1+ İ2+ İ3 =40.31∠82.9°A
A2: 10A 、A3:50A、A:40.31A
返回
第四节 RLC串联的交流电路
电压与电流关系
功率关系
返回
一、电压与电流关系
i
R
u
L
C
U  U R  U L  UC
uR
uL 以电流为参考正弦量，
u i = Im sinωt 即İ =I∠0°
C
1. 相量图法
相量图为：
返回
UL
电压三角形
U
U L  UC
U

φ
UL－UC
φ
I
UR
UR
UC
可见：
U  U  (U L  UC )
2
R
2
U L  UC
X L  XC
  arctan
= arctan
UR
R
返回
总电压有效值
2= U +U
2+U+U
2 +U 2
UU=U
R
LL C C
R
U 2= UR2+（UL—UC）2
电抗与阻抗
2
2
U  U R  (U L - UC )

( IR )  ( IX L - IX C )
2
I
R 2  ( X L - X C )2
I
R X
2
2
2
 Iz
返回
式中 X=XL－XC 称为电抗
z
R X
2
2
称为阻抗，单位Ω
∴U=Iz
相位关系
U L  UC
X L  XC
  arctan
=arctan
UR
R
 L  1 C
 arctan
R
可见φ 是由R、L、C及ω决定的。
返回
90°>φ > 0 电压超前电流电路呈感性。
－90°<φ < 0 电流超前电压电路呈容性。φ
=0
电压与电流同相,电路呈纯阻
性。
2.复数形式分析法
U  U R  U L  UC
 IR  jX L I - jX C I
 I [ R  j( X L  X C )]
 I ( R  jX )
返回
Z=R+j(XL－XC) = z∠φ
z
Z为复阻抗
R  ( X L  XC )
φ = arctan(XL-XC)/R
φ 角为阻抗角,它等于电压与电流
之间的相位差角。
U  IZ
阻抗三角形
R= z cosφ
X= z sinφ
2
2
复数形式欧姆定律
z
XL-XC
φ
R
返回
例1、在RLC串联交流电路中，R=15Ω，
L=12mH, 电源电压 u  100 2 sin(5000t )V，
C=5μF,求:⑴电路中的电流i 和各部分电压
uR ,uL ,uC (2)画相量图。
解： X =ωL =5000×12×10－3Ω =60Ω
L
XC=1/ωC =1／5000×5×10－6Ω =40Ω
Z  R  j（X L－X C )  15Ω  j20Ω
20
 15 +20  arctan Ω＝2553.13Ω
15
2
2
返回
U
1000V
I＝ 
 4  53.13 A
Z 2553.13
U R＝IR  60  53.13 V
U L＝jX L I  60  490V  53.13V
 24036.8V
U C＝- jX C I  40  4  90V  53.13V
 160  143.13V
返回
 i  4 2 sin(5000t  53.13 )A
o
uR  60 2 sin(5000t  53.13 )V
o
uL  240 2 sin(5000t  36.8o )V
uC  160 2 sin(5000t  143.13 )V
o
相量图如图：
UL
36.8o
U
o
53.13
UC
143.13o
I
UR
返回
例2、已知R1=1kΩ，R2=300Ω，L=0.4H，
ω=103rad/s，电压表V1的读数为2V，试求其
余电压表的读数。
解：
R1
设u1为参考正弦量
U1  U10  2V
V1
R2
u
V
i
L
V2
则I=U1/R1=2mA
İ = 2∠0°mA
U 2  Z 2 I  ( R2  j L) I
=(300+j400) ×2×10－3V
=500∠ 53.2°×2×10－3 =1∠ 53.2°V
返回



U  U 1  U2
=2V+1∠ 53.2 °V
= 2.72∠ 17.1°V
∴ V2表读数1V，V表读数2.72V。
相量图：


U
U2

I
U1
返回
例3、RC串联电路中,总阻抗z = 2000Ω,
f =1000Hz , u与uC夹角为30°,
试求R、C。
解： 设i 为参考正弦量 İ=I∠0°
作相量图：
φ
UC
I
UR
U
可得
U I    60

o
z、R、XC满足阻抗三角形
有 R= zcosφ =1000Ω
XC= zsinφ =1732Ω
C = 1/ωXC=0.1μF
返回
二、功率关系
在正弦交流电路中，不管阻抗如何联
接，电路的功率等于各元件功率之和。
1. 平均功率 (有功功率）
在RLC电路中，只有电阻消耗功率
Z = R + jX
所以电路的有功功率为：
P = ∑URIR
式中cosφ为
P =UIcosφ
功率因数。
返回
2. 无功功率
电路中无功功率包括电感和电容两个
元件的无功功率。
Z = R + j(XL-XC)
QL=ULI
QC=UCI
Q = QL－QC
Q＝UIsinφ
返回
φ ＞0， Q＞0 电路呈感性
φ ＜0 ， Q＜0 电路呈容性
3.视在功率
S=UI
一般它表示发电设备的容量。
单位是伏安（VA）
P = UIcosφ = Scosφ
Q = UIsinφ = Ssinφ
返回
S  UI  P  Q
2
2
得出功率三角形：
S
Q
φ
P
返回
φ
φ
U
z
φ
R
UL－UC
S
XL-XC
总结：
Q
UR
P
阻抗三角形,电压三角形和功率
三角形 是三个相似的三角形。
返回
例4、某感性负载端电压 u  220 2 sin 314tV
P=7.5kW,Q=5.5kvar,试求感性负载的
功率因数及其串联参数。
解：
P
7.5
cos 

2
2
2
2
P Q
= 0.81
电路为串联
P
I
U cos 
= 42.1A
7.5  5.5
∴φ =35.9°
R = P／I 2 = 4.2Ω
XL=Rtanφ =3.04Ω
L=XL／ω = 9.7mH
返回
下列表达式书写正确的是：
i ＝İ1＋İ2
u  u  ( IR)
2
L
2
R= Zcosφ
Um
Im 
Z
U=IZ
陷井挖好
了，跳吧
返回
来了？
哈哈，没掉
下去！！
来了？
第五节 阻抗的串联与并联
阻抗串联的交流电路
阻抗并联的交流电路
返回
一、阻抗串联的交流电路
i
Z1
U
U1
U  U1  U 2
=IZ1  IZ 2 =I (Z1 +Z 2 )
U2
=IZ
Z =Z1  Z 2
串联等效复阻抗为： Z =Z1  Z 2
Z2
分压公式为：
Z1
U1  IZ1 =
U
(Z1  Z 2 )
Z2
U 2  IZ 2 =
U
(Z1  Z 2 )
返回
二、阻抗并联的交流电路
I
U
I1
I2
Z1 Z2
1
1
1
当电路由几个阻抗并联时，


Z
Z
Z
1
等效复阻抗为： 2
1 1 1 Z1 Z 2
1
 Z     
Zn
Z Z1 Z2Z1  Z 2


分流公式：




U Z
Z2
I1   I 
I
Z1 Z1
Z1  Z2


U Z
Z1
I2   I 
I
Z2 Z 2
Z1 Z 2
返回
例、已知 R1=100Ω ，R2=1000Ω ， L=2H，

C =10μF， iC  sin(314t  60 )A,求u、i 。
R1
iL
u
R2
i
L
iC
C
解： İCm= 1∠60°A
XL=628Ω XC=318Ω
按分流公式：
R2  jX L
ICm  Im
(R2  jX L )  jX C
(R2  jX L )  jX C
I m  I Cm
R2  jX L
返回
10  j310
 I m  160 3
A = 0.89∠45.1°A
10  j628
 jX C  R2  jX L 
Z  R1 
R2  jX L  jX C
= 100Ω＋357∠－75.1°Ω
3
=395∠－61°Ω
U m  I m Z  351  15.9 V

u  351sin(314t  15.9 )V

i  0.89sin(314t  45.1 )A
返回
第六节 正弦交流电路的分析方法
例
题
返回
例1、已知 R1=2Ω ，X1=X2=10Ω，X3=5Ω
·
I =10A，求İ 、İ 、U、cosφ 、P、Q、S 。
1
2
X1
u
I1
3
R1 a
解：Z =jX +R =(j10+2)Ω
1
1
1
Z2=jX2=j10Ω
X2 X3
Z3=－jX3=－j5Ω
I2 I3
Zab=Z2∥Z3=－10jΩ
=10∠－90°Ω
b
Uab=I1 zab=10×10V=100V
U ab  1000 V
返回
U ab 1000 V
I2 

 10  90 A
Z2
j10
U ab 1000 V
I3 

 2090 A
Z3
 j5


U  I1 Z1  U ab  I 2  I 3 Z1  U ab
=(－j10+j20)(2+j10)V+100V
=j20V=20∠90°V
İ1 = j10 A=10 ∠90°A
∴φ = 0,
cosφ =1
返回
P＝UIcosφ ＝10×20×1W＝200W
Q＝ UIsinφ ＝10×20×0＝0var
S＝UI＝200VA
返回
例2、已知U=100V, ω=314rad/s,I=IC=IL,电
路消耗功率P＝866W，试求iL、iC、i 。
解：
设u为参考正弦量
iL iC
∵ iL+iC = i 且 I= IC=IL
R
u
所以İC 、İL和İ 组成等
C
L
边三角形
i
作相量图：
P
866
I

A = 10A I C I
U cos  10cos 30

30° U
i  10 2 sin(314t  30 )A

iL  10 2 sin(314t  30 )A
I
L

iC  10 2 sin(314t  90 )A
返回
有些情况借助于相量图求解方便。画相
量图时,参考相量的选择很关键。一般,
串联电路选电流为参考相量,并联电路
选两端电压为参考相量,在串、并混联
电路选最基本的并联电路的端电压为
参考相量。
返回
例3、 图示正弦交流电路中, P = 200 W, U=40V，
R=XC=8Ω， 求İ、İ1、İ2、XL、UL 。
İ XL a
设 U ab 为参考正弦量
İ1 İ2
U
UL
R
UC
XC
b
作相量图：
U
UL
I2
I1
P / R  5A
İ1=5∠0°A İ2=5∠90°A
İ=7.07∠45°A
Uab=I1×R＝40V
2
U L  Uab
 U 2  40 2V
I
45°
I 2  I1 
U ab
U L  40 2135V
X L  U L / I  8
返回
例4、已知 R1=1kΩ，f =50Hz，I1=0.035A，
I2=0.01 A，I=0.04A，求R、L。
i
u
i2 i1
R
L
R1
解：设 I1  0.0350 A
İ=I∠φ = 0.04∠φA
İ2=I2∠φ2= 0.01∠φ2A
有 İ= İ1+İ2
0.04∠φ= 0.035+0.01∠φ2
4∠φ= 3.5+1∠φ2
4cosφ +j4sin φ = 3.5+cosφ2 +jsin φ2
返回
∴
4cosφ = 3.5+ cosφ2
4sinφ = sinφ2
两式取平方相加 42=3.52+7cosφ2 +1
cosφ2=0.4，sinφ2 =0.916
U=I1R=35V
∴ z2=U／I2=3500Ω
R= z2 cosφ2 =1400Ω
XL= z2 sinφ2 =3210Ω
L=3210／2πf = 10.2H
返回
第七节 功率因数的提高
负载的功率因数cosφ
低带来的问题
提高功率因数的方法
返回
一、负载的功率因数cosφ低带来的问题
cos  
R
R X
2
2

P
P Q
2
2
1.电源设备的容量不能充分利用
交流电源的额定容量
为SN=UNIN，
例1、一个S
N=50kVA的电源，向功率因数
cosφ1=0.5的日光灯供电，它能供应40W的
因为P＝S
Ncosφ ,发电机能够输出的有功
625
日光灯_____只,如果用来供应cosφ
=1的
2
功率和负载的功率因数cosφ 成正比。
1250
40W日光灯，则可供应_______只？
所以，负载的功率因数低，电源发出的
P=n×40=SNcosφ
有功功率就小，电源的容量得不到充分
n1=50×103×0.5/40=625
利用。 n2=50×103×1/40=1250
返回
2. 供电效率低（输电耗能大）
P=UIcosφ
I=P/Ucosφ
当输电线路的电压和负载的功率一定
时，输电线上的电流与cosφ 成反比。
cosφ 越小，I越大。设输电线的电阻为r,
则它引起的功率耗损为：
ΔP = I2r =(P/Ucosφ)2r
cosφ 低，功率损耗大。降低了供电效率。
返回
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或
纯电容电路
R-L-C串联电路
电动机
空载
满载
日光灯
（R-L-C串联电路）
cos   1
(  0)
cos   0 (   90)
0  cos   1
( 90    90)
cos   0.2 ~ 0.3
cos   0.7 ~ 0.9
cos   0.5 ~ 0.6
返回
二、提高功率因数的方法
工业负载多数是感性负载，因此提
高负载功率因数可在其两端并联电容。
cos  
P
P Q
2
2
提高功率因数的基本思想是减少无功功率。
R
u
i
L
C
cos  
P
P  QL
2
2
返回
作相量图：
显然：
IC
cosφ ＜ cosφ′
φ′
φ
I
U
I′＜I
电容的选择：
I
UI sinφ－UI′sinφ′= QC
=U2／XC=U2ωC
I=P／Ucosφ I′=P／Ucosφ′
∴ C=（P／ωU2）(tanφ－tanφ′ )
返回
例2、 某发电厂以22万伏的高压向某地输送24
万千瓦电力,若输电线路的总电阻r =10Ω，
试计算当电路的功率因数由0.6提高到0.9
时,输电线上一年少损耗多少电能?
解: 当cosφ1=0.6时, 线路中的电流
I1=P/Ucosφ1=1818.2A
当cosφ=0.9时,线路中的电流
I=P/Ucosφ =1212A
一年输电线上少损耗的电能为:
W = (I12-I2) r t =1.609×1011W·h
=1.609×108kW·h
返回
例3、感性负载功率 P=100W，cosφ =0.2
接于 U=750V， f =1000Hz的电源上 ,
求（1）电源输出电流及无功功率；
（2）若使功率因数提高到cosφ′ =1
C=？并计算此时电源输出电流
及无功功率。
解：(1)
2）(tanφ－tanφ′
I=P/Ucosφ
=667A )
C=（P／ωU
Q=U I sinφ=490.2kvar
= 138.7μF
cosφ′=1, I=P/U =133.3A
(2)
φ = 78.5° φ′= 0°
Q＝0
返回
功率因数补偿到什么程度？
理论上可以补偿成以下三种情况:
IC
0
IC
 0
U
I
I RL
U
IC
0
I U
I
I RL
呈电感性
I RL
呈电阻性
呈电容性
cos   1
cos   1
cos   1
返回
一般情况下很难做到完全补偿（即：cos   1 ）
功率因数补偿成感性好，还是容性好？
IC
I 'C
 U
I
I RL
欠
补
偿
过
补
偿
I 
U
I RL
结论：在φ角相同的情况下，补偿成容性要求使
用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工
作在欠补偿状态。
返回
第八节
电路的谐振
串联谐振
并联谐振
返回
在含有电感和电容元件的电路中,若出
现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯
电阻性,此时电路的状态称为谐振。
谐振按电路接法分为串联谐振和并联
谐振。
一、串联谐振
i
u
Z=R+j(XL－XC)
U  IZ
返回
1.谐振条件 谐振时,φ =0
则有 XL=XC
2.谐振频率
根据谐振条件有ωL=1／ωC

1
    谐振角频率
LC
1
f0 
    谐振频率
2π LC
f0仅与L、C有关，改变ω、L、C
可使电路发生或消除谐振
返回
3.谐振特征
 z0=R －－最小,
 I0=U／ z0=U／R －－最大。
 谐振时 XL=XC， UL=UC
U=UR
cosφ=1
UL=I0XL=（U／R）XL
=（XL／R）U
UC=I0XC=（U／R）XC
=（XC／R）U
一般 XL=XC>>R， UL=UC>>U
返回
 品质因数Q
0 L
U L UC
1
Q



U
U
R
 0CR
L

LC  1
R
R
L
C
Q是一个无量纲的参数
UL=QU=QUR
UC=QU=QUR
 功率 P0=UI0=I02R
Q0=0
返回
QL=I02XL=P0Q
QC=－I02XC=－P0Q
电感与电容的能量可以彼此交换而
电源与电路之间无能量交换，电源供给
的能量被电阻消耗。
.
相量图为：
UL
.
UC
.
UR
.
U
.
I
返回
4.电流频率特性
I
U
z

U
R X
电流谐振曲线
2
2

U
R   L  1 C 
2
I
I0
0.707I0
O
f1 f0 f2
f
返回
2
Δf = f2 － f1
可见,通频带△f 越小，表明谐振曲线
越尖锐，选择性越好。一般Q值越大曲线
越尖。 I
I0
0.707I0
Q1
O
f1 f0 f2
Q 2 > Q1
Q2
f
返回
例、在RLC串联交流电路中，C=8μF,
电压 u  10 2 sin(2500t  15)V ,要
使电路吸收功率P=Pmax=100W。求L、
R及电路的Q值。
解：电路发生谐振时，电流I最大，则
P=RI2=100W最大
ω0=2500 rad/s
L=1/ ω02C=(1/25002×8×10－6)H= 0.02H
R＝U2/P＝102/100Ω=1Ω
Q＝ω0L/R=2500×0.02/1=50
返回
收音机接收电路
L1
L1 : 接收天线
L2 与 C ：组成谐振电路
C
L2 L3
L3 : 将选择的信号送
接收电路
返回
L1
C
L2 L3
RL2
L2
e1
e2
e3
C
e1、e2、 e3为来自3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
L2－C组成谐振电路 ，选出所需的电台。
返回
问题：如果要收听 e1节目，C应配多大？
已知： L2  250μH、RL  20Ω
2
R
L2
L2
C
e1
e2
e3
f1  820 kHz
1
解： f1 
2π L2C
C 
C
1
 2πf 
1
 2π  820  10 
3
2
250  10
6
2
L2
 150pF
结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到e1的节目。
返回
二、并联谐振
图示为一线圈与电容并联的电路。
I
IL
U
IC
1.谐振条件
当XL/(R2+XL2)＝1/XC
或
2πf L/[R2+(2πf L)2]
＝2πf C 时，
电压与电流同相位，
发生谐振。
返回
2.谐振频率
由谐振条件可推出谐振频率为
1
1 R2
f 0＝
－ 2
2π LC L
一般 R2/L2<<1/LC
1
那么有：
f0 
2π LC
3.并联谐振的特征
 电路的阻抗最大，电流最小。
z0＝(R2＋XL2) ／R
＝[R2＋(2πf0L)2] ／R＝L／RC
返回
I0＝U／z0＝URC／L
 谐振时φ ＝0 电路呈纯电阻性。
IC
相量图为：
U
I
IL
 谐振时IL≈IC＝QI0
其中Q ＝ω0L／R ＝1／ω0RC
返回
4. 并联谐振特性曲线
|Z|、I
Z
O
感性
0
I

容性
阻性
返回
例、电路如图，若无论电源频率为何
值，电压u与电流i 都同相，则电路参
数用满足什么条件。
u
i
Z
R1
C
L
R2
解：电压与电流同相
位，发生谐振。
Z＝R
R1  j L   R2  1


j C 
R1  j L  R2  1 j C
 R
返回
R1


 j  R2 

C

C


 R  R1  R2   jR  L  1
C
虚部、实部分别相等有
R(R1+R2)＝ R1R2+L／C
(1)
R2ωL－R1／ωC＝RωL－R ／ωC
(2)
R1 R2  L

要使(2)对任意ω都成立则
R＝R1＝R2 代入(1)
2R2＝R2+ L/C
R L C
当满足R＝R1＝R2  L C 时，电路对任
意频率的信号都发生谐振。

返回
第九节
非正弦交流电
非正弦周期信号的分解
非正弦周期量的有效值、平
均值和平均功率
非正弦周期电路的计算
返回
几种常见的非正弦波
u
u
O
t O
T
整流波形
u
T
矩形波电压
t
O
t
T
锯齿波电压
返回
一、非正弦周期交流信号的分解
周期为T的f(t)的傅里叶展开式为
f ( t )  a0  a1 sin  t  a2 sin 2 t  …
 b1 cos  t  b2 cos 2 t  …

 a0   (ak sin k t  bk cos k t )
k 1
ω＝2π／T ，k为1～∞的正整数
返回
其中
1 T
a0  0 f ( t )dt
T
2 T
ak  0 f ( t )sin k dt
T
2 T
bk  0 f ( t )cos k tdt
T
k  1, 2, 3
k  1, 2, 3
由此，可得到另一种形式
返回
f ( t )  a 0
直流分量
 A sin(  t  φ )
1m
1
基波（和原
函数同频）
 A sin( 2  t   )
2m
2
…..

高次谐波
二次谐波
（2倍频）

 a0   Akm sin( k t   k )
k 1
返回
其中
Akm  a  b
2
k
2
k
ak
 k  arctan
bk
二、非正弦周期量的有效值、平均值和平
均功率
1. 有效值
假设一非正弦周期电流i(t)，分解后得：
返回

若
i ( t )  I 0   I km sin( k t   k )
k 1
则有效值:
1 2π 2
I
i   t  d( t )

2π 0
2

1 2π 

I 0   I km sin  k t   k   d( t )


2π 0 
k 1


返回
利用三角函数的正交性得：
I


I 
2
0
k 1
I
2
km
2
I  I  I  
2
0
2
1
2
2
结论：周期函数的有效值为直流分量及
各次谐波分量有效值平方和的方根。
返回
2. 平均值
非正弦周期变量平均值为：
1
U
T

T
0
u( t )dt
非正弦周期变量平均值等于它的直流分量
返回
3. 平均功率

u( t )  U 0   U km sin( k t   k )
k 1

i ( t )  I 0   I km sin( k t   k   k )
k 1
1
P
T

T
0
ui dt
返回
利用三角函数的正交性，整理后得：

P  U 0 I 0   U k I k cos  k
k 1
( k   ku   ki )
 P0  P1  P2  …
结论：
平均功率＝直流分量的功率
＋各次谐波的平均功率
返回
三、非正弦周期电路的计算
1. 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号。
2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波
信号分别计算。
（注意:对交流各谐波的 XL、XC不同，对直
流C 相当于开路、L相于短路。）
3. 将以上计算结果，用瞬时值叠加。
返回
例、 交、直流共存的电路。
R1
i1
+
_
E
C1
4kΩ
10µF
2kΩ
e
已知：
R2
E=12 V
+
e  40 2 sin1000t mV
R4
_
4kΩ
R3
4kΩ
10µF
C2
u4
求：
i1  ？
u4  ？
返回
(1) 直流电源作用 (E作用，e 短路)
R1
I1
+
_
E
C1
4kΩ
10µF
2kΩ
e
R2
+
R4
_
4kΩ
R3
4kΩ
E1
I '1 
R1  R2  R3
12
 mA  1.2( mA)
10
10µF
C2
直流通道
U '4  0V
返回
(2)交流电源作用 （e作用，E1 短路）
4kΩ
10µF
2kΩ
+
_
E
e
R2
+
R4
_
4kΩ
R3
4kΩ
10µF
C2
XC1  XC 2
1

Ω
6
1000  10  10
 100 Ω
以下介绍近似计算法

C1
R3>>XC2
R3 //( jX C 2 )   jX C 2
（C2称旁路电容）
返回
同理
R4>>XC1

 jX C 1  R4  R4
（C1称耦合电容）
R2>>XC2

C2也可视为短路
返回
对交流通道进行简化后的计算
R1
i1" 4k
2k R2
+ R
e
4
_
4k
1
u  e
2
"
4
u4"
简化后的交流通道
 20 2 sin1000t mV
"
4
u
i 
R1
"
1
 5 2 sin1000t A
返回
最后结果：交、直流叠加
u4  u '4  u "4
 20 2 sin1000tmV
i1  i '1  i "1
 1200A  5 2 sin1000t A
i1
直流分量
交流分量
O
t
返回
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
1. 最后结果只能是瞬时值叠加。
不同频率正弦量不能用相量相加。
U  U 0  U 1  U 3  U 5  …
2. 不同频率对应的 XC、XL不同。
返回